湖南省永州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

这是一份湖南省永州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共25页。试卷主要包含了，其中x＝1等内容，欢迎下载使用。
湖南省永州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2021•永州）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．
二．一元一次方程的应用（共1小题）
2．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2021•永州）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物．预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？
四．函数的概念（共1小题）
4．（2023•永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t
（单位：分钟）
1
2
3
4
5
…
总水量y
（单位：毫升）
7
12
17
22
27
…
（1）探究：根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
五．二次函数与不等式（组）（共1小题）
5．（2021•永州）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
六．二次函数综合题（共2小题）
6．（2022•永州）已知关于x的函数y＝ax2+bx+c．
（1）若a＝1，函数的图象经过点（1，﹣4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值；
（2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．
（3）阅读下面材料：
设a＞0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x＝0对应图象上的点在x轴上方，即c＞0；
③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需﹣＜0．
综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：

请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数y＝ax2﹣2x+3的图象在直线x＝1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
7．（2023•永州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），
顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线OP：交BF于点G，求的最大值；
（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．

七．菱形的判定（共1小题）
8．（2023•永州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5．
（1）△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．

八．圆的综合题（共2小题）
9．（2021•永州）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．
10．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．

九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

一十．频数（率）分布直方图（共2小题）
12．（2023•永州）今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组（60≤x＜70）、2组（70≤x＜80）、3组（80≤x＜90）、4组（90≤x≤100），并绘制如图所示频数分布图．

（1）n＝　 　；所抽取的n名学生成绩的中位数在第 　 　组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为 　 　；
（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
13．（2021•永州）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动，根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
200名学生党史知识竞赛成绩的频数表
组别
频数
频率
A组（60.5～70.5）
a
0.3
B组（70.5～80.5）
30
0.15
C组（80.5～90.5）
50
b
D组（90.5～100.5）
60
0.3
请结合图表解决下列问题：
（1）频数表中，a＝　 　，b＝　 　；
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 　 　组；
（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．


湖南省永州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2021•永州）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．
【答案】2x+5，7．
【解答】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）
＝x2+2x+1+4﹣x2
＝2x+5，
当x＝1时，原式＝2+5＝7．
二．一元一次方程的应用（共1小题）
2．（2022•永州）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均（x+2）米/秒的速度滑到B端，用了24秒；第二次从滑雪道A端以平均（x+3）米/秒的速度滑到B端，用了20秒．
（1）求x的值；
（2）设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，请用含t的代数式表示v（不要求写出t的取值范围）．
【答案】（1）x＝3；
（2）v＝．
【解答】解：（1）由题意得：24（x+2）＝20（x+3），
解得：x＝3，
答：x的值为3；
（2）从滑雪道A端滑到B端的路程为：24×（3+2）＝120（米），
∵小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒，所用时间为t秒，
∴v＝．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2021•永州）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物．预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？
【答案】2022年A种经济作物应种植20亩，则B种经济作物应种植10亩．
【解答】解：设2022年A种经济作物应种植x亩，则B种经济作物应种植（30﹣x）亩，
根据题意，得+2＝．
解得x＝20或x＝﹣15（舍去）．
经检验x＝20是原方程的解，且符合题意．
所以30﹣x＝10．
答：2022年A种经济作物应种植20亩，则B种经济作物应种植10亩．
四．函数的概念（共1小题）
4．（2023•永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t
（单位：分钟）
1
2
3
4
5
…
总水量y
（单位：毫升）
7
12
17
22
27
…
（1）探究：根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
【答案】（1）y＝5t+2；
（2）①102毫升；②144天．
【解答】解：（1）根据上表中的数据，y＝kt+b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12，
∴，
∴，
∴y＝5t+2；
（2）①当t＝20时，y＝100+2＝102，
即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；
②当t＝24×60＝1440分钟时，y＝5×1440+2＝7202（毫升），
当t＝0时，y＝2，
∴＝144（天），
答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
五．二次函数与不等式（组）（共1小题）
5．（2021•永州）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；
（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．
【答案】（1）y1＝x2﹣2x+4．
（2）b的取值为﹣或4．
（3）m的最小值为4．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），
∴c＝4；
∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4．
（2）当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当b＜﹣，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；
∴b2+b2+b2＝21，解得b1＝﹣，b2＝（舍去）；
②b﹣3＞﹣，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b3＝4，b4＝﹣1（舍去）；
③b﹣3≤﹣≤b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x＝﹣处取到；
∴（﹣）2+b•（﹣）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）．
综上所述，b的值为﹣或4．
（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，
设函数y3＝y2﹣y1＝x2+3x+m﹣4，
对称轴为直线x＝﹣＜0，
∴当0≤x≤1时，y3随x的增大而增大，
∴当x＝0时，y3即y2﹣y1有最小值m﹣4，
∴m﹣4≥0，
∴m≥4，即m的最小值为4．
六．二次函数综合题（共2小题）
6．（2022•永州）已知关于x的函数y＝ax2+bx+c．
（1）若a＝1，函数的图象经过点（1，﹣4）和点（2，1），求该函数的表达式和最小值；
（2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．
（3）阅读下面材料：
设a＞0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：
①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；
②因为A，B两点在原点左侧，所以x＝0对应图象上的点在x轴上方，即c＞0；
③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需﹣＜0．
综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：

请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：
若函数y＝ax2﹣2x+3的图象在直线x＝1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣2x+1或y＝（x﹣1）2，当x＝﹣1时，y的最小值为﹣8；
（2）m≤0；
（3）a的值﹣1＜a≤0或a＝．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣7＝（x+1）2﹣8，
∴该函数的表达式为y＝x2+2x﹣7或y＝（x+1）2﹣8，
当x＝﹣1时，y的最小值为﹣8；
（2）根据题意得y＝x2﹣2x+m+1，
∵函数的图象与x轴有交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（m+1）≥0，
解得：m≤0；
（3）根据题意得到y＝ax2﹣2x+3的图象如图所示，
∵抛物线y＝ax2﹣2x+3经过（0，3），
∴如图1，
，即，
∴a的值﹣1＜a≤；
如图2，如图3不成立；
如图4，
，即
∴a的值不存在；
如图5，
，即，
∴a的值为；
如图6，
当a＝0时，函数解析式为y＝﹣2x+3，函数与x轴的交点为（1.5，0），
∴a＝0成立；

综上所述，a的值﹣1＜a≤0或a＝．
7．（2023•永州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），
顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线OP：交BF于点G，求的最大值；
（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．

【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）的最大值为；
（3）点P的横坐标为．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9），
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点G作GT⊥x轴于点T，如图所示，

在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得0＝﹣x2+4x+5，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（5，0），
∵F（0，5），
∴BO＝FO＝5，
设直线BF的解析式为：y＝kx+5，
∴y＝5k+5，
解得k＝﹣1，
∴直线BF的解析式为y＝﹣x+5，
由G在直线BF上，设G（m，﹣m+5），
∵G在直线OP上，直线OP为，
∴﹣m+5＝m，
∴，
∴，
由P（x1，y1） 在抛物线 y＝﹣x2+4x+5上，知P（x1，﹣+4x1+5），
∴，
∵S△BPG＝S△BPO﹣S△BOG，
∴＝＝﹣1＝﹣1＝﹣1，
∵＝＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝﹣（x1﹣）2+，
∵，，
∴当 时，取最大值，最大值为；
（3）设MF交PH于T，如图：

∵OBFM为正方形，F（0，5），
∴FM＝BM＝OF＝BO＝5，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∵PH⊥x，∠MBO＝90°，FC∥OB，
∴MTBH为矩形，
∴TH＝MB＝FM＝5，
∵PH＝FC，
∴PT＝MC，
∵BC⊥BE，
∴∠MBC+∠MBE＝90°，
∵∠MBO＝90°，
∴∠OBE+∠MBE＝90°，
∴∠OBE＝∠MBC，
∴∠CMB＝∠EOB＝90°，
∴△EOB∽△CMB，
∴，
∵OB＝MB，
∴EO＝MC，
∵PH＝FC，
∴PT＝MC，
∴EO＝MC＝PT，
设 EO＝MC＝PT＝a，
∴PH＝PT+TH＝5+a，E（0，a），
∵A（﹣1，0），
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线AP的解析式为y＝ax+a，
∵PH＝a+5，P在直线AP上，
∴a+5＝ax+a，
∴，即P点横坐标为 ，
∴x1＝，y1＝a+5，
∴a＝，y1＝+5
∴+5＝﹣+4x1+5，
∴﹣4+5＝0，
∴（x1+1）（﹣5x1+5）＝0，
解得x1＝1或x1＝或x1＝，
∵x1≥，
∴x1＝，
∴点P的横坐标为．
方法2：

设P（m，﹣m2+4m+5），
∴OH＝m，PH＝﹣m2+4m+5，
∵＝tan∠EAO＝，
∴＝，
∴EO＝5﹣m，
∵BC⊥BE，
∴∠CBM＝90°﹣∠MBE＝∠EBO，
∵∠CMB＝90°＝∠EOB，BM＝OB，
∴△CMB≌△EOB（ASA），
∴CM＝EO＝5﹣m，
∴CF＝CM+FM＝5﹣m+5＝10﹣m，
∵PH＝CF，
∴﹣m2+4m+5＝10﹣m，
解得m＝或m＝，
∵m≥，
∴m＝，
∴点P的横坐标为．
七．菱形的判定（共1小题）
8．（2023•永州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5．
（1）△AOB是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．

【答案】（1）△AOB是直角三角形，理由见解析；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：△AOB是直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝4，
∵OA＝3，OB＝4，AB＝5，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°；
（2）证明：由（1）可知，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
八．圆的综合题（共2小题）
9．（2021•永州）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）证明过程见解析．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠OAC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠OAC，
∴∠BAE＝∠BOC，
∴CO∥AD，
∵CD⊥AE，
∴∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）连接BC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△BAC∽△CAD，
∴，
∴AC2＝AB•AD，
∵AB＝2AO，
∴AC2＝2AD•AO．
（3）∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，
∴∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，
∵∠QBM是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，
∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝（∠CBM﹣∠CAM），
∵∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，
∴∠Q＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠Q＝45°，
同理可证：∠P＝＝＝45°，
∴∠P＝∠Q．

10．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．

【答案】（1）证明见解答过程；
（2）BC＝3；
（3）证明见解答过程．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，
∴∠BDA+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，
∴△ACB∽△DCA，
∴，
∴，
解得BC＝2或BC＝3，
当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3，
当BC＝3时，CD＝BD﹣BC＝2，
∵AC＞CD，即＞CD，
∴BC＝3；
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCA＝90°，
∵∠BAC＝∠BDA，
∴△ABC∽△DAC，
∴，
∴AC•AD＝CD•AB，
∵DE•AM＝AC•AD，
∴DE．AM＝CD•AB，
∴，
∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°，
∴∠BAM＝∠CDE，
∴△AMB∽△DCE，
∴∠E＝∠ABM，
∵∠EGA＝∠BGN，
∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，
∴∠BNG＝90°，
∴BM⊥CE．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
11．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．

【答案】D、N两点间的距离约为1.5米．
【解答】解：由题意得：AB⊥BN，AH⊥HN，BH＝CD＝MN＝0.9米，AB＝2.9米，CM＝DN，
∴AH＝AB﹣BH＝2.9﹣0.9＝2（米），
在Rt△AHC中，∠ACH＝45°，
∴CH＝＝2（米），
在Rt△AHM中，∠AMH＝30°，
∴HM＝＝＝2（米），
∴CM＝HM﹣HC＝2﹣2≈1.5（米），
∴DN＝CM＝1.5米，
∴D、N两点间的距离约为1.5米．
一十．频数（率）分布直方图（共2小题）
12．（2023•永州）今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组（60≤x＜70）、2组（70≤x＜80）、3组（80≤x＜90）、4组（90≤x≤100），并绘制如图所示频数分布图．

（1）n＝　600　；所抽取的n名学生成绩的中位数在第 　3　组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为 　0.25　；
（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
【答案】（1）600；3；
（2）0.25；
（3）15606名．
【解答】解：（1）由题意得，n＝90+160+200+150＝600，
所抽取的n名学生成绩的中位数在第3组．
故答案为：600；3；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为＝0.25．
故答案为：0.25；
（3）18360×＝15606（名），
答：估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数约15606名．
13．（2021•永州）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动，根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
200名学生党史知识竞赛成绩的频数表
组别
频数
频率
A组（60.5～70.5）
a
0.3
B组（70.5～80.5）
30
0.15
C组（80.5～90.5）
50
b
D组（90.5～100.5）
60
0.3
请结合图表解决下列问题：
（1）频数表中，a＝　60　，b＝　0.25　；
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 　C　组；
（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．

【答案】（1）60，0.25；
（2）补全的频数分布直方图见解答；
（3）C；
（4）大约550人．
【解答】解：（1）∵30÷0.15＝200，
∴a＝200×0.3＝60，
b＝50÷200＝0.25，
故答案为：60，0.25；
（2）由（1）知，a＝60，

如图，即为补全的频数分布直方图；
（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；
故答案为：C；
（4）1000×（0.25+0.3）＝1000×0.55＝550（人），
即本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数大约有550人．