四川省内江市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

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四川省内江市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2023•内江）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
20
乙
b
23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率＝）不低于16%，求m的最大值．
2．（2021•内江）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
衬衫价格
甲
乙
进价（元/件）
m
m﹣10
售价（元/件）
260
180
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
二．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．


4．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

5．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

三．平行四边形的判定（共1小题）
6．（2021•内江）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．
求证：（1）△ADE≌△BCF；
（2）四边形DECF是平行四边形．

四．圆的综合题（共3小题）
7．（2023•内江）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长．

8．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

9．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．

五．相似形综合题（共1小题）
10．（2022•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．

六．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）

七．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2023•内江）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
​
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 　 　名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角α＝　 　度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
13．（2022•内江）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝　 　，n＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．


四川省内江市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共2小题）
1．（2023•内江）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
20
乙
b
23
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率＝）不低于16%，求m的最大值．
【答案】（1）a＝14；b＝19；
（2）超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系为：y＝．
（3）m的最大值为1.2．
【解答】解：（1）由题可列，
解得．
（2）由题可得当30≤x≤60时，
y＝（20﹣14）x+（23﹣19）（100﹣x）＝2x+400，
当60＜x≤80时，
y＝（20﹣3﹣14）（x﹣60）+（20﹣14）×60+（23﹣19）（100﹣x）＝﹣x+580，
答：超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系为：y＝．
（3）∵y＝，
∴当x＝60时，y的值最大，即y＝520，
由题可列×100%≥16%，
解得m≤1.2，
答：m的最大值为1.2．
2．（2021•内江）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：
衬衫价格
甲
乙
进价（元/件）
m
m﹣10
售价（元/件）
260
180
若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．
（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；
（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a元（60＜a＜80）出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【答案】（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当60＜a＜70时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当a＝70时，（2）中所有方案获利都一样；当70＜a＜80时，应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
【解答】解：（1）依题意得：＝，
整理，得：3000（m﹣10）＝2700m，
解得：m＝100，
经检验，m＝100是原方程的根，
答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；
（2）设购进甲种衬衫x件，乙种衬衫（300﹣x）件，
根据题意得：，
解得：100≤x≤110，
∵x为整数，110﹣100+1＝11，
答：共有11种进货方案；
（3）设总利润为w，则
w＝（260﹣100﹣a）x+（180﹣90）（300﹣x）＝（70﹣a）x+27000（100≤x≤110），
①当60＜a＜70时，70﹣a＞0，w随x的增大而增大，
∴当x＝110时，w最大，
此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；
②当a＝70时，70﹣a＝0，w＝27000，
（2）中所有方案获利都一样，
③当70＜a＜80时，70﹣a＜0，w随x的增大而减小，
∴当x＝100时，w最大，
此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件；
综上：当60＜a＜70时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当a＝70时，（2）中所有方案获利都一样；当70＜a＜80时，应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．
二．二次函数综合题（共3小题）
3．（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．


【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．

设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；

（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣，
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
4．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；
（2）最大值为，此时P（，﹣）；
（3）存在，M的坐标为（1，6）或（1，﹣4）．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
设P （0＜m＜4），则，
∴PK+PD＝（m﹣m2+m）+（﹣+m+2）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，PK+PD有最大值，最大值为，此时P（，﹣）；

（3）存在．过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M1（1，n），则＝n2+4n+5，＝n2+9，

由AB2+＝，可得22+42+n2+9＝n2+4n+5，
∴n＝6，
∴M1（1，6），
∴直线 BM1 解析式为y＝﹣2x+8，
∵AM2∥BM1，且经过A（0，﹣2），
∴直线 AM2 解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴当x＝1时，y＝﹣2×1﹣2＝﹣4，
∴M2（1﹣4），
综上所述：存在，M的坐标为（1，6）或（1，﹣4）．
5．（2021•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3，y＝x+1．
（2）△PAD的面积最大值为，此时P（1，）．
（3）点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
∵D（4，3）在抛物线上，
∴3＝a（4+2）×（4﹣6），
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+x+3，
∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），
设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），
则，
解得，，
∴直线l的解析式为y＝x+1；

（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣m2+m+3），则K（m，m+1）．

∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，
∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，
∵PK＝﹣m2+m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），

设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，
∵D（4，3），
∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（0，），
作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），
则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，
设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，
∴Q′（0，﹣9），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．
三．平行四边形的判定（共1小题）
6．（2021•内江）如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF．
求证：（1）△ADE≌△BCF；
（2）四边形DECF是平行四边形．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AC＝BD，
∴AC﹣CD＝BD﹣CD，
即AD＝BC，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
在△ADE与△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）；
（2）由（1）得：△ADE≌△BCF，
∴DE＝CF，∠ADE＝∠BCF，
∴∠EDC＝∠FCD，
∴DE∥CF，
∴四边形DECF是平行四边形．
四．圆的综合题（共3小题）
7．（2023•内江）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接BD并延长交AC的延长线于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）当∠F＝30°时，判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，ME＝1，连接BC交AD于点P，求AP的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）△ABM是等边三角形，理由见解析；
（3）．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：△ABM是等边三角形，理由如下：
∵DE⊥AC，∠F＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAD＝∠DAF＝30°，
∴∠CBD＝∠CAD＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠EAF＝30°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠CBD＝60°，
∴△ABM是等边三角形；
（3）解：∵△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∴∠MDE＝30°，
∵ME＝1，
∴MD＝2ME＝2，
∴AB＝MB＝4，
∵AB为⊙O的直径，∠ABC＝30°，
∴，
∵∠CAD＝30°，cos∠CAD＝，
即cos30°＝＝，
∴．
8．（2022•内江）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）直线AF与⊙O相切．
理由如下：连接OC，

∵PC为圆O切线，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠AOF＝∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF＝∠OCF＝90°，
∴AF⊥OA，
又∵OA为圆O的半径，
∴AF为圆O的切线；
（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，
∴E为AC中点，
即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，
∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，
∴tan∠AOF＝，
∴∠AOF＝30°，
∴AE＝OA＝3，
∴AC＝2AE＝6；
（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝6，
∵∠OCP＝90°，
∴CP＝OC＝6，
∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，
∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．
9．（2021•内江）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连结AD、OE交于点G．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结BE，在（2）的条件下，求BE的长．

【答案】（1）证明见解答过程；（2）2﹣；（3）．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ODA，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AE，
∴△OGD∽△EGA，
∴＝，
∵＝，⊙O的半径为2，
∴＝，
∴AE＝3，
如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，
∴∠AED＝∠ADB＝90°，
∵∠CAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，
即＝，
∴AD＝2，
在Rt△ADB中，cos∠DAB＝＝，
∴∠DAB＝30°，
∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，
∴∠F＝30°，
∵OD＝2，
∴DF＝＝＝2，
∴S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB＝×2×2﹣＝2﹣；
（3）如图，过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，

在Rt△AEM中，AM＝AE•cos60°＝3×＝，EM＝AE•sin60°＝，
∴MB＝AB﹣AM＝4﹣＝，
∴BE＝＝＝．
五．相似形综合题（共1小题）
10．（2022•内江）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
（1）当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
（2）若＝2，求的值；
（3）若MN∥BE，求的值．

【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝DE，
∴BM＝CE＝DE，
∵AB＝CD，
∴AM＝CE；
（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴，
∵CE＝3，
∴BM＝，
∴AM＝，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴；
（3）解：∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴，
∴，
∴，
∴＝，
由（2）同理得，，
∴，
解得AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴＝．
六．解直角三角形的应用（共1小题）
11．（2022•内江）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）

【答案】（1）河的宽度为（30+30）米；
（2）古树A、B之间的距离为20米．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥l，垂足为E，

设CE＝x米，
∵CD＝60米，
∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝30+30，
经检验：x＝30+30是原方程的根，
∴AE＝（30+30）米，
∴河的宽度为（30+30）米；
（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，

则CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，
∵∠BCD＝120°，
∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，
在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，
∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），
∴古树A、B之间的距离为20米．


七．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2023•内江）某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
​
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了 　200　名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（2）扇形统计图中圆心角α＝　54　度；
（3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
【答案】（1）200，图形见解析；
（2）54；
（3）．
【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名），
∴C的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名），
故答案为：200，
补全条形统计图如下：

（2）扇形统计图中圆心角α＝360°×＝54°，
故答案为：54；
（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为＝．
13．（2022•内江）为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝　14　，n＝　0.2　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

【答案】（1）14，0.2；
（2）图形见解析；
（3）．
【解答】解：（1）m＝40×35%＝14，n＝8÷40＝0.2，
故答案为：14，0.2；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，
∴2名是男生，2名是女生，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．