03正弦定理-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编

这是一份03正弦定理-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编，共12页。试卷主要包含了在△ABC中，，b＝6，在△ABC中，等内容，欢迎下载使用。
03正弦定理-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编
一．选择题（共2小题）
1．（2023•东城区一模）在△ABC中，，b＝2c，，则S△ABC＝（　　）
A． B．4 C． D．
2．（2023•丰台区一模）在△ABC中，若2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二．填空题（共3小题）
3．（2023•朝阳区一模）在△ABC中，a＝4，b＝m，sinA﹣cosA＝0．
①若m＝8，则c＝　 　；
②当m＝　 　​（写出一个可能的值）时，满足条件的△ABC有两个．
4．（2023•房山区一模）在△ABC中，sinA＝sin2A，2a＝b，则∠A＝　 　；的值为 　 　．
5．（2023•顺义区一模）在△ABC中，asinB＝bcosA，a＝，b＝2，则A＝　 　，c＝　 　．
三．解答题（共7小题）
6．（2023•通州区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinAcosB＝2sinA﹣cosAsinB．
（1）求的值；
（2）若b＝3，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；条件②：；条件③：△ABC的周长为9．
7．（2023•延庆区一模）在△ABC中，，b＝6．
（Ⅰ）当a＝5时，求A和c；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
8．（2023•爱民区校级三模）在△ABC中，．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
9．（2023•门头沟区一模）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA﹣asinB＝0．D是AB的中点，AC＝2，CD＝2．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）求a的值．
10．（2023•西城区一模）如图，在△ABC中，∠A＝，AC＝，CD平分∠ACB交AB于点D，CD＝．
（Ⅰ）求∠ADC的值；
（Ⅱ）求△BCD的面积．

11．（2023•石景山区一模）如图，在△ABC中，，，点D在边BC上，cos∠ADB＝．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）若△ABD的面积为，求AB的长．

12．（2023•平谷区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanB＝2bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．

03正弦定理-北京市各地区2023年高考数学模拟（一模）高考考点试题汇编
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2023•东城区一模）在△ABC中，，b＝2c，，则S△ABC＝（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【解答】解：，b＝2c，，
所以，解得c＝2，b＝4，
因为A∈（0，π），
所以，．
故选：C．
2．（2023•丰台区一模）在△ABC中，若2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状一定是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解答】解：∵在△ABC中，sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2cosAsinB＝sinC＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A，B∈（0，π），
∴A﹣B∈（﹣π，π），
∴A﹣B＝0，即A＝B，则△ABC为等腰三角形．
故选：A．
二．填空题（共3小题）
3．（2023•朝阳区一模）在△ABC中，a＝4，b＝m，sinA﹣cosA＝0．
①若m＝8，则c＝　4　；
②当m＝　6　​（写出一个可能的值）时，满足条件的△ABC有两个．
【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：①∵sinA﹣cosA＝0，∴tanA＝1，
∵，
由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA，即，
解得．
（2）因为，
所以当时，方程有两解，
即，
取m＝6即可，满足条件（答案不唯一）．
故答案为：．
4．（2023•房山区一模）在△ABC中，sinA＝sin2A，2a＝b，则∠A＝　　；的值为 　2　．
【答案】；2．
【解答】解：sinA＝sin2A＝2sinAcosA，
因为A∈（0，π），所以sinA≠0，
所以，，
又，则，即，
所以sinB＝1，又B∈（0，π），则，
所以，
所以．
故答案为：；2．
5．（2023•顺义区一模）在△ABC中，asinB＝bcosA，a＝，b＝2，则A＝　　，c＝　5　．
【答案】，5．
【解答】解：因为在△ABC中，asinB＝bcosA，
又由正弦定理，可得asinB＝bsinA，
所以bsinA＝bcosA，
所以tanA＝，
又A∈（0，π），
所以A＝，
因为a＝，b＝2，
所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得19＝4+c2﹣2c，整理可得c2﹣2c﹣15＝0，
所以解得c＝5或﹣3（舍去）．
故答案为：，5．
三．解答题（共7小题）
6．（2023•通州区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinAcosB＝2sinA﹣cosAsinB．
（1）求的值；
（2）若b＝3，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；条件②：；条件③：△ABC的周长为9．
【答案】（1）＝2；
（2）△ABC的面积为．
【解答】解：（1）∵sinAcosB＝2sinA﹣cosAsinB，则2sinA＝sinAcosB+cosAsinB＝sin（A+B）＝sinC，
∴；
（2）由（1）得sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，
若选条件①：由余弦定理得，即，
又a＞0，解得a＝2，则c＝4，
此时△ABC存在且唯一确定，
∵，则，
∴，
∴；
若选条件②：∵c＞a，即C＞A，
∴若C为锐角，则，
由余弦定理，即，整理得2a2+a﹣6＝0，且a＞0，解得，则c＝3；
若C为钝角，则，
由余弦定理得，即，整理得2a2﹣a﹣6＝0，且a＞0，解得a＝2，则c＝4；
综上所述，此时△ABC存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：由题意得a+b+c＝9，即a+3+2a＝9，解得a＝2，则c＝4，
∴此时△ABC存在且唯一确定，
由余弦定理得，
则，，
∴．
7．（2023•延庆区一模）在△ABC中，，b＝6．
（Ⅰ）当a＝5时，求A和c；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
【答案】（I）A＝，c＝4+3；
（Ⅱ）27．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以sinB＝，
又b＝6，
由正弦定理得sinA＝＝＝，
因为a＜b，
所以A＜B，即A为锐角，
故A＝，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＝＝，
由正弦定理得c＝＝＝4+3；
（Ⅱ）由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accosB，
即36＝a2+c2﹣＝，当且仅当a＝c时取等号，
故ac≤90，
△ABC面积S＝＝≤27，即面积的最大值为27．
8．（2023•爱民区校级三模）在△ABC中，．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（Ⅰ）A＝；（Ⅱ）选②或③，．
【解答】解：（Ⅰ）因为bsin2A＝asin B，由正弦定理得，sinBsin2A＝sinAsin B，
又B∈（0，π），所以sinB≠0，得到sin2A＝sinA，
又sin2A＝2sinAcosA，所以2sinAcosA＝sinA，
又A∈（0，π），所以sinA≠0，得到cosA＝，所以A＝；
（Ⅱ）选条件①：sinC＝；
由（1）知，A＝，根据正弦定理知，＝＝＝＞1，即c＞a，
所以角C有锐角或钝角两种情况，△ABC存在，但不唯一，故不选此条件．
选条件②：；
因为S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，
又，得到b＝c，代入bc＝12，得到c2＝12，解得c＝4，所以b＝3，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（3）2+42﹣2×3×4×＝27+16﹣36＝7，所以a＝．
选条件③：cosC＝；
因为S△ABC＝bcsinA＝bcsin＝bc＝3，所以bc＝12，
由cosC＝，得到sinC＝＝＝，
又sinB＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sin AcosC+cosAsin C，由（1）知A＝，
所以sinB＝×+×＝，
又由正弦定理得＝＝＝，得到b＝c，代入bc＝12，得到c2＝12，解得c＝4，所以b＝3，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（3）2+42﹣2×3×4×＝27+16﹣36＝7，所以a＝．
9．（2023•门头沟区一模）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA﹣asinB＝0．D是AB的中点，AC＝2，CD＝2．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）求a的值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
由正弦定理得：，
因为sinB＞0，所以，得，
因为A∈（0，π），所以；
（Ⅱ）在△ACD中，由余弦定理得：，
即AD2﹣2AD﹣8＝0，解得：AD＝4（负值舍去），则AB＝8，
在△ABC中，由余弦定理得：，
所以，所以．
10．（2023•西城区一模）如图，在△ABC中，∠A＝，AC＝，CD平分∠ACB交AB于点D，CD＝．
（Ⅰ）求∠ADC的值；
（Ⅱ）求△BCD的面积．

【答案】（I）；（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）在△ADC中，由正弦定理可得，，
则＝，
∵，
∴；
（Ⅱ）由（I）可知，，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴，
∴，
∴△ABC为等腰三角形，
∴＝，
∵sin∠ACD＝＝，
∴△BCD的面积为＝×＝．
11．（2023•石景山区一模）如图，在△ABC中，，，点D在边BC上，cos∠ADB＝．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）若△ABD的面积为，求AB的长．

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）3．
【解答】解：（Ⅰ）∵cos∠ADB＝，∴，且0＜∠ADC＜π，
∴，
根据正弦定理，
可得；
（Ⅱ）∵，
∵，
∴，得BD＝2，
又∵，
由余弦定理得，
∴AB＝3．
12．（2023•平谷区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanB＝2bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵atanB＝2bsinA，
∴，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，
∴sinA＞0，sinB＞0，
∴，
∵0＜B＜π，
∴；
（2）由（1）知，，
∵，
∴C＝π﹣A﹣B，
∴，
由正弦定理，得，
故．