能力拓展02 函数的综合应用

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能力拓展02 函数的综合应用
【命题方向目录】
命题方向一：函数与数列的综合
命题方向二：函数与不等式的综合
命题方向三：函数中的创新题
命题方向四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
命题方向五：倍值函数
命题方向六：函数不动点问题
命题方向七：函数的旋转问题
命题方向八：函数的伸缩变换问题
命题方向九：V型函数和平底函数

【典例例题】
命题方向一：函数与数列的综合
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，，是数列的前100项和，且满足，则不可能是（    ）
A． B．
C． D．

例2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，.则下列说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．

例3．（2023·北京·高三校考强基计划）已知数列满足，其中，记表示数列的前n项乘积，则（    ）
A． B．
C． D．

变式1．（2023·全国·高三专题练习）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素（也称互质）的正整数的个数，例如，，．则（    ）
A．数列单调 B．
C．数列是等比数列 D．

变式2．（2023·北京·高三强基计划）已知实数．数列满足对任意的，有现知，则可能的的个数为（    ）
A．2021个 B．个 C．个 D．以上答案都不对

命题方向二：函数与不等式的综合
例4．（多选题）（2023·山东潍坊·三模）已知函数，实数满足不等式，则的取值可以是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3

例5．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知，若正数满足，则下列不等式可能成立的是（    ）
A． B．
C． D．

例6．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则下列不等式正确的是（    ）
A． B．
C． D．

变式3．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）下列不等式成立的是（    ）
A． B．
C． D．

变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，实数，满足不等式，则（    ）
A． B．
C． D．

变式5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若 ，则下列不等式中成立的是（    ）
A． B．
C． D．

命题方向三：函数中的创新题
例7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是（    ）
A． B．
C． D．

例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.则下列说法正确的是（    ）
A．函数在区间（）上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，

例9．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式： ，其中为曲线顶点到横坐标轴的距离， 称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数双曲正弦函数的图象分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论正确的为（    ）
A．
B．是偶函数
C．
D．若是以为直角顶点的直角三角形，则实数

变式6．（多选题）（2023·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（    ）

A．对于圆O，其“太极函数”有1个
B．函数是圆O的一个“太极函数”
C．函数不是圆O的“太极函数”
D．函数是圆O的一个“太极函数”

变式7．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利､欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有（    ）
A． B．
C． D．

变式8．（多选题）（2023·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．在内单调递增
B．和之间存在“隔离直线”，且的最小值为
C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是
D．和之间存在唯一的“隔离直线”

变式9．（多选题）（2023·江苏常州·高三江苏省前黄高级中学校考阶段练习）意大利著名画家列奥纳多·达·芬奇（1452.4—1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，有人曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为（其中为自然对数的底数，下同），相应地，双曲正弦函数的表达式为．若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数分别相交于，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．
C．随的增大而减小 D．的面积随的增大而减小

命题方向四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例10．（2023·浙江·高一期中）已知函数在区间[1，4]上的最大值为，当取到最小值时则______.

例11．（2023·上海·高一专题练习）对于实数a，，函数在区间上的最大值记为，的最小值为______．

例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，的最大值为，则的最小值为_________.

变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.当，的最大值为，则的最小值为______

变式11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为__________．

变式12．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是________．

变式13．（2023·山东·高三校联考竞赛）设函数f(x)=x2+ax+b，对于任意的a，b∈R，总存在t∈[0，4]，使得成立，则实数m的最大值是______ .

变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间，上的最大值为，当实数，变化时，最小值为__，当取到最小值时，__.


命题方向五：倍值函数
例13．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有__________．
①；    ②；
③；    ④．

例14．（2023·四川绵阳·高一绵阳中学实验学校校考期中）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有_______
①        ②        ③

例15．（2023·宁夏·统考模拟预测）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”，下列函数中存在“倍值区间”的函数有________（填序号）.
①；
②；
③；
④

变式15．（2023·山东临沂·高三阶段练习）函数的定义域为D，若存在闭区间[a，b]D，使得函数满足：
(1) 在[a，b]内是单调函数；
(2)在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=的“和谐区间”．
下列函数中存在“和谐区间”的是___________ (只需填符合题意的函数序号).
①；②；③；④.

变式16．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为___________.

变式17．（2023·内蒙古赤峰·高一统考期末）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：在内是单调函数；在上的值域为，则称区间为的“等值区间”下列函数中存在“等值区间”的有______．





命题方向六：函数不动点问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）设D是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间D上存在“次不动点”，若函数在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是（    ）
A．[,+∞) B． C．(-∞,0) D．(0, )

例17．（2023·全国·高三专题练习）若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

例18．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若存在(为自然对数的底数)，使得，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

变式18．（2023·全国·高三专题练习）设函数，定义在上的连续函数使得是奇函数，当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

变式19．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考二模）设函数，为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足：，且当时，，若存在，使得，则实数的取值范围为(    )
A． B． C． D．

命题方向七：函数的旋转问题
例19．（2023·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）函数的图象绕着原点旋转弧度，若得到的图象仍是函数图象，则可取值的集合为_________.

例20．（2023·上海静安·高三上海市第六十中学校考阶段练习）函数的图象绕着坐标原点旋转弧度，若仍是函数图象，则可取值的集合为________

例21．（2023·全国·高三校联考阶段练习）将函数的图象绕点逆时针旋转后与轴相切，则_______.

变式20．（2023·高一课时练习）已知函数，若将函数图像绕原点逆时针旋转角（）后得到的函数 存在反函数，则的取值集合是_________

变式21．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
（1）该函数的最小值为______；
（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的取值范围是______．

变式22．（2023·全国·高三专题练习）设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数．
若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则______填是或否可能为1．
若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则可能取值只能是______．
        

命题方向八：函数的伸缩变换问题
例22．（2023·天津北辰·高一天津市第四十七中学校考期中）定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是________.

例23．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列5个结论正确的是_________.
①任取，都有；
②函数在区间上单调递增；
③对一切恒成立；
④函数有3个零点；
⑤若关于的方程有且只有两个不同实根，则.

例24．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列5个结论正确的是___________.
（1）任取，都有；
（2）函数在上严格递减；
（3）（），对一切恒成立；
（4）函数有3个零点；
（5）若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则.

变式23．（2023·北京·高三北京二中校考开学考试）对于函数，下列4个结论正确的是______.
①任取，都有；
②，对一切恒成立；
③若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则；
④函数有5个零点

变式24．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，下列五个结论中正确的是________.
（1）任取，都有；
（2），其中；
（3）对一切恒成立；
（4）函数有个零点；
（5）若关于的方程（），有且只有两个不同的实根、，则.

变式25．（2023·北京东城·高一统考期末）已知函数．
______．
若方程有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．

变式26．（2023·北京东城·北京市第五中学校考模拟预测）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是_____.

变式27．（2023·安徽黄山·高一屯溪一中校考期中）设函数的定义域为R，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是______．

变式28．（2023·高一单元测试）已知函数定义域为，对于任意的都有，当时，，则_______；若当时，恒成立，则的取值范围是_______.

命题方向九：V型函数和平底函数
例25．（上海市金山区2023届高三上学期一模（期末教学质量检测）数学试题）若，，且，则满足条件的所有整数的和是___________.

例26．（上海市建平中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列满足：，则正整数的最大值为________

例27．（上海市上海中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数的最大值为_________；

变式29．（浙江省温州市苍南县树人中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题）等差数列满足：，则其公差的取值范围为______.

变式30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷精编版））已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________

变式31．（上海市控江中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是_________.