能力拓展04 活用三次函数的图象和性质（7种考向）

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能力拓展04 活用三次函数的图象和性质
【命题方向目录】
命题方向一：三次函数的零点问题
命题方向二：三次函数的最值、极值问题
命题方向三：三次函数的单调性问题
命题方向四：三次函数的切线问题
命题方向五：三次函数的对称问题
命题方向六：三次函数的综合问题
命题方向七：三次函数恒成立问题
【方法技巧与总结】
1、基本性质
设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：
性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：





图像








性质2：三次方程的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数:，
判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;
(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;
(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
【典例例题】
命题方向一：三次函数的零点问题
例1．（2023·河南南阳·高二校联考阶段练习）一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
例2．（2023·江西景德镇·高二景德镇一中校考期末）若指数函数（且）与三次函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，且在和处取得极值.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围.




变式1．（2023·甘肃天水·统考模拟预测）设三次函数的导函数，且，则函数的零点个数为（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
命题方向二：三次函数的最值、极值问题
例4．（2023·云南·高三统考期末）已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.




例5．（2023·高三课时练习）已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求在上取得最大值时，对应的值.




例6．（2023·江苏·高二专题练习）已知三次函数f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在定义域R上无极值点，则m的取值范围是（    ）
A．m＜2或m＞4 B．或
C． D．2＜m＜4
变式2．（2023·湖南·高三校联考开学考试）三次函数的图象在点处的切线与轴平行，则在区间上的最小值是（    ）
A． B． C． D．
变式3．（2023·高二课时练习）已知三次函数无极值，且满足，则______.
命题方向三：三次函数的单调性问题
例7．（2023·河北衡水·高二河北武强中学校考期中）已知三次函数在是增函数，则的取值范围是
A．或 B． C． D．以上皆不正确
例8．（2023·全国·高三专题练习）三次函数在上是减函数，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
例9．（2023·湖北十堰·高二统考期末）已知三次函数在上单调递增，则的最小值为____________.
命题方向四：三次函数的切线问题
例10．（多选题）（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）对于三次函数，若在处的切线与在处的切线重合，则下列命题中真命题的为（    ）
A． B． C．为奇函数 D．图象关于对称
例11．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若过点可作曲线的三条切线，证明:.




例12．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为.
(1)求切线的倾斜角的取值范围；
(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.




变式4．（2023·安徽·高三校联考期末）已知函数在 处取得极值．
（1）求m的值；
（2）若过可作曲线的三条切线，求t的取值范围．




变式5．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．




变式6．（2023·全国·高三专题练习）设函数在处取得极值．
(1)设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程；
(2)若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；
(3)设曲线在点、处的切线都过点，证明：．




命题方向五：三次函数的对称问题
例13．（2023·北京西城·高二校考期中）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（   ）
①函数对称中心
②的值是
③)函数对称中心
④的值是
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
例14．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ）
A．0 B．1 C．2 D．4
例15．（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数，且为曲线的对称中心，则必有其中函数若实数，满足，则（    ）
A． B． C． D．
命题方向六：三次函数的综合问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，则的最小值是（    ）
A．5 B．6 C．1 D．8
例17．（2023·陕西西安·高三西安中学校考期中）已知函数，，给出下列四个结论，分别是：①；②在上单调；③有唯一零点；④存在，使得．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是（     ）
A．① B．② C．③ D．④
命题方向七：三次函数恒成立问题
例18．（2023·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考期中）已知三次函数，若函数在点处的切线方程是．
（1）求函数的解析式；
（2）若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围．




例19．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知三次函数的两个极值点，均为正数，，且不等式对于所有的都恒成立，则实数的取值范围是______.
例20．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（    ）
A． B．
C．的值不可能是 D．的值可能是
变式7．（2023·高二单元测试）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数.
（1）当时，求的值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.




【过关测试】
1．（2023·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）2022年北京冬奥会山地滑雪比赛，滑雪场中某一段滑道的示意图如下所示，A点､B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（A､B分别在该三次函数的极值处）.综合考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成45°的夹角.则A､B两点在水平方向的距离约为（    ）

A．20 B．30 C．25 D．27
2．（2023·四川宜宾·高三校考阶段练习）已知三次函数y=f(x)的图像如下图所示，若是函数f(x)的导函数，则关于x的不等式的解集为

A． B．
C． D．
3．（2023·江西上饶·上饶市第一中学校考模拟预测）已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（    ）
A．0 B．4 C． D．
4．（2023·山东枣庄·高二统考期末）已知三次函数的图象如图，则不正确的是（    ）

A．
B．
C．若，则
D．的解集为
5．（2023·浙江温州·高二校联考期末）若三次函数有极值点、且，设是的导函数，那么关于的方程的不同实数根的个数为（   ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2023·广西桂林·高二统考期中）已知三次函数的图象如图所示，则（    ）

A．5 B．－5 C．2 D．－2
7．（多选题）（2023·高二单元测试）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是的对称中心
D．
8．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ）
A． B．函数既有极大值又有极小值
C．函数有三个零点 D．在区间上单调递减
9．（多选题）（2023·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的可能取值为（    ）
A．3 B．1 C． D．
10．（多选题）（2023·山东泰安·高二统考期中）已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ）

A． B．
C． D．的解集为
11．（多选题）（2023·广东东莞·高二校联考期中）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表.下列关于函数的结论正确的是（　　）

x
-1
0
2
4
5
f（x）
1
3
1
3
2
A．函数在和上单调递减
B．函数在的最小值为1
C．函数的极大值点的个数为2
D．若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
12．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三次函数的拐点（使二阶导数的点）正好是它的图像的对称中心．若，则______．（且）
13．（2023·安徽滁州·高二校考期中）对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为______．
14．（2023·全国·高三校联考开学考试）对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”，也是函数图象上的点，则函数的最大值是______.
15．（2023·广东·高二校联考期末）写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数__________．
①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上单调递减．
16．（2023·北京朝阳·高二统考期中）已知函数分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图像如图所示，设函数，则，，的大小关系是__________．

17．（2023·河北衡水·高二统考期末）三次函数在处的切线方程为，则______
18．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考阶段练习）某学生在研究函数时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数后得到一个新函数，此时除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③.写出一个符合条件的函数解析式__________.
19．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）对于三次函数．
定义：①设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；
定义：②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称．
已知，请回答下列问题：
（1）求函数的“拐点”的坐标
（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）




20．（2023·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习）已知三次函数.
（1）若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围.




21．（2023·北京房山·高二北师大良乡附中校考阶段练习）已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示.

(1)求的单调区间；
(2)求a，b，c的值；
(3)若函数有三个零点，求m的取值范围.




22．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知三次函数(为常数).
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若，讨论函数在的单调性.




23．（2023·四川绵阳·高二统考期末）已知三次函数在和处取得极值，且在处的切线方程为.
（1）若函数的图象上有两条与轴平行的切线，求实数的取值范围；
（2）若函数与在上有两个交点，求实数的取值范围.




24．（2023·高二课时练习）在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.
（1）求函数的解析式；
（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.




25．（2023·高二单元测试）已知三次函数.
（1）若函数在区间上具有单调性，求a的取值范围；
（2）当时，若，求的取值范围.




26．（2023·北京·高三北师大实验中学校考期中）已知三次函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；
（3）当时，若，求的取值范围.




27．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）已知三次函数，
(1)若函数过点且在点处的切线方程是，求函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，都有，求实数的最小值．




28．（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期末）已知x＝2是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的极值点，且直线3x＋y－5＝0与曲线y＝f(x)相切与点(1，f（1）).
(1)求实数a，b，c的值；
(2)若f(t)＝－1，f(s)＝5，求f(t＋s)的值；
(3)若对于任意实数x，都有f(x2－2x＋4)＋f(x2＋λx)＞4恒成立，求实数λ的取值范围.




29．（2023·重庆·高二重庆一中校考期末）已知三次函数.
(1)若曲线在点处切线的斜率为12，求的值；
(2)若在区间上的最小值为-2，最大值为1，且，求函数的解析式.




30．（2023·四川成都·高二四川省蒲江县蒲江中学校考阶段练习）已知三次函数
（1）若，求的递增区间
（2）若在是增函数，求m的取值范围




31．（2023·江苏扬州·高三阶段练习）已知三次函数的最高次项系数为，三个零点分别为，，．
（1）若方程有两个相等的实根，求的值；
（2）若函数在区间内单调递减，求的取值范围．




32．（2023·广东茂名·高三校联考阶段练习）已知任意三次函数都有对称中心，且的对称中心为，
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.




33．（2023·江西新余·新余市第一中学校考二模）已知三次函数的导函数，，为实数.
(1)若曲线在点处切线的斜率为12，求的值；
(2)若在区间上的最小值，最大值分别为 ，1，且，求函数的解析式.