能力拓展06 利用导数研究双变量问题（6种考向）

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能力拓展06 利用导数研究双变量问题
【命题方向目录】
命题方向一：双变量单调问题
命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题
命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题
命题方向四：双变量不等式:中点型
命题方向五：双变量不等式:剪刀模型
命题方向六：双变量不等式:主元法
【方法技巧与总结】
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
【典例例题】
命题方向一：双变量单调问题
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，证明：对任意，，．




例2．（2023·安徽·校联考三模）设，函数.
（Ⅰ）讨论函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线与直线平行，且对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.




命题方向二：双变量不等式:转化为单变量问题
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，若存在两个极值点，且，求的取值范围.




例4．（2023·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．




例5．（2023·河南洛阳·高二统考期末）已知函数（a为常数）．
(1)若函数是增函数，求a的取值范围；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．




变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在两个极值点的取值范围为，求a的取值范围.




命题方向三：双变量不等式:极值和差商积问题
例6．（2023·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知函数
(1)若，求不等式的解集；
(2)若存在两个不同的零点，，证明：.




例7．（2023·四川成都·校考一模）已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，证明：.




例8．（2023·海南·高三校联考期末）已知函数
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．




变式2．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数，其中.
(1)讨论函数在上的极值；
(2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围.




命题方向四：双变量不等式:中点型
例9．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数．
（1）已知为的极值点，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若对于任意，都存在，使得，证明：．




例10．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数 .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，证明：当时， ；
（Ⅲ）设是的两个零点，证明 .




命题方向五：双变量不等式:剪刀模型
例11．（2023·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数在点(，)处的切线方程为．
(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明：．




例12．（2023·辽宁沈阳·统考三模）已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．




命题方向六：双变量不等式:主元法
例13．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数．
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)当时，求证：（其中为自然对数的底数）；
(3)若，求证：．




例14．（2023·全国·高三专题练习）设函数.
(1)求的极值；
(2)设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，证明：.





【过关测试】
1．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（    ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林长春·高三长春市第五中学校考期末）已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（    ）．
A．1 B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知，，且，则（    ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
6．（2023·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知函数，若，则可取（    ）
A． B． C．1 D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，若对于任意的，都存在，使得，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（    ）
A． B．1 C． D．
10．（2023·福建福州·福建省福州格致中学校考模拟预测）已知，若，则a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
11．（多选题）（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知函数，，则（    ）
A．函数在上存在唯一极值点
B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D．若，则的最大值为
12．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则（    ）
A． B． C． D．
13．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知方程有两个不同的根，，则下列结论一定正确的是（    ）
A． B．
C． D．
14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知函数和，若，则（    ）
A． B．
C． D．
15．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（    ）
A． B． C． D．1
16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若对，，使得成立，则a的取值范围是______．
17．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三大兴安岭实验中学校考期末）已知函数，若，且恒成立，则实数a的取值范围为_________．
18．（2023·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考期中）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.
19．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，，若，则的最小值为______.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，，则_______．
21．（2023·全国·高三专题练习）若函数存在两个极值点和，则取值范围为____.
22．（2023·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列说法正确的是______.
①；
②；
③；
④.
23．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，存在满足，且，求的取值范围.




24．（2023·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求的取值范围．




25．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知，函数．
(1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；
(2)当时，若，求证：




26．（2023·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数.
(1)讨论极值点的个数；
(2)若函数恰有2个极值点，3个零点，，（），探究：是否存在实数，使得.




27．（2023·福建宁德·高三统考阶段练习）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，.
(1)已知函数，，求实数取值的集合；
(2)已知函数有两个不同极值点、，证明




28．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知函数为函数的导函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知函数，存在，证明：．




29．（2023·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）已知函数有两个零点，且，
(1)求的取值范围；
(2)证明：.




30．（2023·福建三明·高二三明市第二中学校考阶段练习）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.




31．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)记函数，且的最小值为.
（i）求实数的值；
（ii）若存在实数满足，求的最小值.




32．（2023·全国·高三对口高考）已知．
(1)若对任意，有，求实数a的取值范围；
(2)当时，的值域为，求实数a的取值范围；
(3)，，使得成立，求实数a的取值范围．
(4)，使得成立，求实数a的取值范围．




33．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知函数．
(1)若a＝1，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求证：．




34．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若有两个不同零点，证明：．




35．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若是的两个不相等的零点，证明：.




36．（2023·江西抚州·高三校联考阶段练习）已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．
(1)已知函数，，求实数取值的集合；
(2)已知函数有两个不同极值点、．
①求实数的取值范围；
②证明：．




37．（2023·陕西西安·统考二模）已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)若有两个零点，，求证：.




38．（2023·福建三明·高二校联考期中）已知函数．
(1)若，求方程的解；
(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．




39．（2023·河南开封·统考二模）已知函数图象上三个不同的点．
(1)求函数在点P处的切线方程；
(2)记（1）中的切线为l，若，证明：．




40．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若，，且满足，求证：.




41．（2023·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数，．
(1)求证：存在唯一零点；
(2)设，若存在，使得，求证：．