2024年新高考数学一轮复习讲义 专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法

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专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法
【命题方向目录】
命题方向一：不含参数一元二次不等式的解法
命题方向二：含参数一元二次不等式的解法
命题方向三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
命题方向四：其他不等式解法
命题方向五：二次函数根的分布问题
命题方向六：一元二次不等式恒成立与存在问题
命题点1　在R上恒成立问题
命题点2　在给定区间上恒成立问题
命题点3　给定参数范围的恒成立问题
【2024年高考预测】
2024年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法
【知识点总结】
1、一元二次不等式
判别式




二次函数的图象



方程的根
有两个不相等的实数根，
有两个相等的实数根
没有实数根
的解集



的解集



例1．分式不等式与整式不等式
（1）；
（2）且．
（3）与或同解；与同解．
（4）．
例2．简单的绝对值不等式
的解集为的解集为．
例3．一元高次不等式的解法
数轴穿根法的注意点：当不等式中含有时，运用标根法不穿过点，而则穿过点，俗称“奇穿偶不穿”．
【方法技巧与总结】
一元二次不等式与判别式
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为R，则一定满足；
已知关于的一元二次不等式的解集为∅，则一定满足．
【典例例题】
命题方向一：不含参数一元二次不等式的解法
例4．（2023·上海长宁·统考一模）不等式的解集为___________

例5．（2023·上海·高三统考学业考试）一元二次不等式的解集为______________

例6．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．或

变式1．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．

【通性通解总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集
命题方向二：含参数一元二次不等式的解法
例7．（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式.




例8．（2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式.




例9．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．




变式2．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式




变式3．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．




【通性通解总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
命题方向三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
例10．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则不等式的解集为______．

例11．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集为，则ab＝_________________.

例12．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设关于的不等式的解集为，则__________.

变式4．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为______________．

变式5．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集是，则（    ）
A． B． C． D．

【通性通解总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
命题方向四：其他不等式解法
例13．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集是_______．

例14．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为________.

例15．（2023·上海·高三专题练习）不等式的解集为_____．

变式6．（2023·北京·高三专题练习）函数的定义域是______.

变式7．（2023·上海徐汇·统考一模）不等式的解集为____________.

变式8．（2023·上海崇明·统考一模）不等式的解集为______.

【通性通解总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
命题方向五：二次函数根的分布问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．




例17．（2023·全国·高三专题练习）方程 有一正一负根的充要条件是_______

例18．（2023·全国·高三专题练习）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.

变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（    ）
A．4 B．2 C．1 D．

变式10．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ）
A．-2 B． C． D．1

变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

【通性通解总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
命题方向六：一元二次不等式恒成立与存在问题
命题点1　在R上恒成立问题
变式12．（2023·上海松江·统考一模）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______

变式13．（2023·全国·高三专题练习）对恒成立，则实数的范围为________________.

变式14．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数m的取值范围是______．

变式15．（2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为___________．

变式16．（2023·全国·高三专题练习）已知对任意，恒成立，则实数a的取值范围是________．

变式17．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则的取值范围是________.

变式18．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足，若不等式恒成立，则实数m的取值范围________．

命题点2　在给定区间上恒成立问题
变式19．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若存在实数（），使得关于x的不等式对恒成立，则b的最大值是_________.

变式20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的最小值为________．

变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.若对于，恒成立，则实数m的取值范围________________.

变式22．（2023·全国·高三专题练习）命题:，的否定为真命题，则实数a的最大值为__________.

变式23．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________.

变式24．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的最大值为______．

命题点3　给定参数范围的恒成立问题
变式25．（2023·全国·高三专题练习）若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．

变式26．（2023·全国·高三专题练习）函数是奇函数，且在是单调增函数，又，则满足对所有的及都成立的t的范围是___________.

变式27．（2023·高一课时练习）已知不等式．
(1)若不等式在时有解，求实数的取值范围；
(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．




变式28．（2023·辽宁本溪·高一校考期末）函数．
（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数x的取值范围．




变式29．（2023·浙江湖州·高一统考期中）已知不等式.
(1)若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.




【过关测试】
一、单选题
1．（2023·重庆·统考三模）“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要分件
2．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·校联考模拟预测）设集合，，，则（    ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东·统考模拟预测）若集合，，且，则实数a的取值范围为（   ）
A． B．
C． D．
5．（2023·江西南昌·统考三模）函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
6．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（    ）
A． B．
C． D．
7．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·校联考模拟预测）已知，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·海南·模拟预测）已知命题:“”，"”，则下列正确的是（    ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若为假命题，则的取值范围是
D．若为真命题，则的取值范围是
10．（2023·海南·统考模拟预测）已知实数x，y满足，则（    ）．
A． B．
C． D．
11．（2023·重庆·统考三模）已知，，且，则下列结论正确的是（    ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是 D．的最小值是3
12．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）下列说法正确的是（    ）
A．若，，且，则的最小值为1
B．若，，且，则的最小值为1
C．若关于的不等式的解集为，则
D．关于的不等式的解集为
三、填空题
13．（2023·河北·统考模拟预测）若，，则a的一个可取的正整数值为___________.
14．（2023·重庆·统考一模）已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为___________.
15．（2023·广西玉林·统考模拟预测）函数，且，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为______.
16．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）对任意实数，都有恒成立，则的取值范围为____________.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为R，求m．




18．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围




19．（2023·全国·高三专题练习）不等式有解，求a.




20．（2023·高三课时练习）已知关于x的方程，
（1）若方程有两个正根，求：m的取值范围；
（2）若方程有两个正根，且一个比2大，一个比2小，求m的取值范围.




21．（2023·全国·高三专题练习）对于函数，若存在，使得成立，则称为的一个动点.设函数.
(1)当，时，求的不动点；
(2)若有两个相异的不动点，.若且，求实数的取值范围.




22．（2023·全国·高三专题练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，集合且，．
(1)求全集和集合.
(2)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由．
(3)若，且，求出实数的取值范围.