2024年新高考数学一轮复习讲义 第7讲 解析几何（2022-2023年高考真题）

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第7讲 解析几何（2022-2023年高考真题）
一．选择题
1．（2023•乙卷）设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为　　
A． B． C． D．
2．（2023•乙卷）已知实数，满足，则的最大值是　　
A． B．4 C． D．7
3．（2023•甲卷）设，为椭圆的两个焦点，点在上，若，则　　
A．1 B．2 C．4 D．5
4．（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
5．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则　　
A． B． C． D．
6．（2023•乙卷）设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是　　
A． B． C． D．
7．（2023•乙卷）已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，若，则的最大值为　　
A． B． C． D．
8．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则　　
A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
9．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则　　
A． B． C． D．
10．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则　　
A． B． C． D．
11．（2023•新高考Ⅰ）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则　　
A．1 B． C． D．
12．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆的左焦点和右焦点分别为和，直线与交于点，两点，若△面积是△面积的两倍，则　　
A． B． C． D．
13．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为　　
A． B． C． D．
14．（2022•北京）若直线是圆的一条对称轴，则　　
A． B． C．1 D．
15．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为　　
A． B．
C． D．
二．多选题
16．（2023•新高考Ⅱ）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则　　
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
17．（2022•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，两点，则　　
A．的准线为 B．直线与相切
C． D．
18．（2022•新高考Ⅱ）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点．若，则　　
A．直线的斜率为 B．
C． D．
19．（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为　　
A． B． C． D．
三．填空题
20．（2023•乙卷）已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ．
21．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
22．（2023•上海）已知圆的面积为，则 ．
23．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．
24．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．
25．（2022•天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
26．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
27．（2022•甲卷）设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
28．（2022•乙卷）过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．
29．（2022•北京）已知双曲线的渐近线方程为，则 ．
30．（2022•新高考Ⅱ）已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为 ．
31．（2022•甲卷）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
32．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
33．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
34．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是 ．
四．解答题
35．（2023•乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点．




36．（2023•天津）设椭圆的左、右顶点分别为，．右焦点为，已知，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若△的面积是△面积的二倍，求直线的方程．




37．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．




38．（2023•新高考Ⅱ）双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为．
（1）求的方程；
（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上．



39．（2022•天津）椭圆的右焦点为、右顶点为，上顶点为，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线与椭圆有唯一公共点，与轴相交于异于．记为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．




40．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，．
（1），中点在轴上，求点的坐标；
（2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求；
（3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值．





41．（2022•浙江）如图，已知椭圆．设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
（Ⅰ）求点到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求的最小值．





42．（2022•新高考Ⅰ）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．




43．（2022•北京）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值．




44．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点，，，在上，且，．过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．