人教版 数学 九上 第24章24.1圆的基本性质 同步测试卷

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人教版 九年级 数学 第24章《圆的有关性质》
一． 选择题（共30分）
1.下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆；正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据弧的分类、圆的性质对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：①直径是最长的弦，故本小题说法正确；
②弦是不一定是直径，故本小题说法错误；
③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本小题说法正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故本小题说法错误．
故选：．
2.如图，点是⊙O的圆心，点、、在⊙O上，，则的度数是（        ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：在⊙O中，
∠ACB＝∠AOB，
∠AOB＝48°，
∴∠ACB＝24°，
故选：B．
3.对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是　　
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理
【解答】解：、把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理，所以选项说法正确；
、木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“两点确定一条直线”的原理，所以选项的说法错误；
、将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理，所以选项说法正确；
、将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理，所以选项说法正确．
故选：．

4.如图，经过圆心，于，若，，则所在圆的半径为　　

A．3 B．4 C． D．
【解答】解：如图，连接，
设弧所在圆的半径为，则，，
经过圆心，于，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故选：．
5.下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：．

6.如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为　　

A． B． C． D．2
【解答】解：延长、交于，
，
，
，
，，
在中，，
在中，，
，
故选：．

7.如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为（        ）

A． B． C． D．
【答案】D
把弧AEC的圆补全为⊙F，可知点F与点O关于AC对称，半径为2，
∴∠FCA=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠FCA=∠CAO，
∴CF∥AB，
∵是弧的中点，
∴FE⊥AB，
∴∠F=∠BGE=90°，
∵FC=FE=2，
∴EC=，
∵OE≥EC-OC
即OE≥-2，
的最小值为，
故选：D．


8.如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是　　

A． B． C． D．

【解答】解：过点作于点，于，连接、、，如图所示：
则，，
，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，，
；
故选：
9.如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为　　

A．16 B．20 C．18 D．22
．
【解答】解：延长交于，作于．

，
；
为等边三角形；
；
，
又，
；
；
；
故选：．

10.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为　　

A．3.5 B．2.5 C．2 D．1.2
【解答】解：连接，如图，
点为弦的中点，
，
，
点在以为直径的圆上（点、除外），
以为直径作，过点作直线于，交于、，
当时，，则，
当时，，
解得，则，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得，
，，
，，
设面积为，
当点与点重合时，最大；点与点重合时，最小，
的范围为，
面积的最小值为2．
故选：．


二． 填空题（共24分）
11.如图，是的直径，点，，都在上，，则　 　．

【解答】解：如图，连接．

是直径，
，
，
，
，
，
故答案为35．
12.如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为　 　．

【解答】解：，
而是的角平分线，
．
故答案为：．
13.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(−1,3)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是______．
【答案】(0,0) 
【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为(−1,3)，
∴点O的坐标为(0,0)．
故答案为：(0,0)．

14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠BAC=28°，则∠D=______°.
答案】62 
【解析】解：如图，连接BC．

∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−∠CAB=62°，
∴∠D=∠ABC=62°，
故答案为：62．
15，如图，在中，，，以为圆心，为半径的圆交于点，交于点．求弧所对的圆心角的度数_____．

【答案】
【详解】
解：连接CD，如图所示：

∵∠ACB=90°，∠B=36°，
∴∠A=90°-∠B=54°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠A=54°，
∴∠ACD=180°-54°-54°=72°，
∴∠DCE=90°-∠ACD=18°，
故答案为：18°．
16．如图，的半径为6，的面积为18，点为弦上一动点，当长为整数时，点有 　 个．

【解答】解：解法一：过作于，则，

设，，
是的一条弦，的半径为6，
，
的面积为18，
，
则，
，
解得或（舍，
，
，
点为弦上一动点，当长为整数时，或6，点有4个．
解法二：设中边上的高为，
则，即，
，
，
，即，
，图中，
同理得：点为弦上一动点，当长为整数时，或6，点有4个．
故答案为：4．

三． 解答题（共66分）
17.（6分）已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M．

求证：．
证明：连接，，则．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
，
∴
∴．
18（8分）．如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作．
（1）求证：AB是的直径；
（2）延长CB交于点E，连接DE，求证：DC=DE．

【详解】
（1）连接BD，

∵，，
∴，
∴，
∴AB是的直径；
（2）∵，
∴，
由圆周角定理可得：，
∴，
∴．

19.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
(1)求证：BD=CD；
(2)连结OD若四边形AODE为菱形，BC=8，求DH的长．

【答案】(1)证明：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD．

(2)解：如图，连接OE．

∵四边形AODE是菱形，
∴OA=OE=AE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵OA=OB=BD=CD
∴AE=EC，
∴CD=CE，∵∠C=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∵DH⊥EC，CD=4，
∴DH=CD⋅sin60°=23． 



20.（10分）如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．

（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的长；
（3）若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3）
【详解】
（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝，
∴PC+PD的最小值为．


21.（10分）已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F．

（1）如图1，如果，求弦的长；
（2）如图2，如果E为弦的中点，求
【答案】（1）；（2）
【详解】
如图 ，连接OC，



又，
即，

，



则；
如图2，连接，

为直径，
，
，



，
又是的中位线，
设，则
解得：，
则




22.（12分）问题探究
（1）在中，，分别是与的平分线．
①若，，如图，试证明；

②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由．

迁移运用
（2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明．

【答案】（1）①见解析；②结论成立，见解析；（2），见解析
【详解】
（1）①，，

．
又、分别是、的平分线．
点D、E分别是、的中点．
，．
．
②结论成立，理由如下：

设与交于点F，
由条件，得，．
又
．
．
．
∴．
在上截取．
由∵BF=BF，
∴．

．
．
又∵CF=CF，
∴．

∴．
（2），理由如下：

∵四边形是圆内接四边形，
∴．
∵，
∴，，
∴．
∴．
作点B关于的对称点E，连结，，的延长线与的延长线交于点M，与交于点F，
∴，．
∴．
∴
∴
∴
∵AE、DC分别是、的角平分线
由②得．


23.（12分）如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．

（1）证明：连接OD，

由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=120°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD，OC=OD，
∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB=BD=DC=OC，
∴四边形OBDC是菱形；
（2）解:连接OA，
∵OB=OA，∠ABO=15°，
∴∠AOB=150°，
∴∠AOC=360°-150°-60°-60°=90°，
∴AC=．