2022-2023学年新疆巴音郭楞州博湖县奇石中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆巴音郭楞州博湖县奇石中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆巴音郭楞州博湖县奇石中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列物理量中，不能称为向量的是(    )
A. 质量 B. 速度 C. 位移 D. 力
2. 化简：3(a+b)+b−4(a−b)=(    )
A. 2b−a B. −a C. 6a−b D. 8b−a
3. 已知z=3−i，则|z|=(    )
A. 3 B. 4 C. 10 D. 10
4. i(3−i)的共轭复数为(    )
A. 3+i B. 3−i C. 1+3i D. 1−3i
5. 如图图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(    )
A. B. C. D.
6. 用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面的面积为(    )
A. 8 B. 8π C. 4π D. 2π
7. 如果直线a和b没有公共点，那么a与b(    )
A. 共面 B. 平行
C. 可能平行，也可能是异面直线 D. 是异面直线
8. 在以下调查中，适合用普查的是(    )
A. 调查一批小包装饼干的卫生是否达标
B. 调查一批袋装牛奶的质量
C. 调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间
D. 调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求
9. 已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用比例分配的分层随机抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则抽样比为(    )
A. 940 B. 310 C. 34 D. 无法确定
10. 已知一组数据为−1，1，4，4，2，8，则该组数(    )
A. 众数是1 B. 平均数是3 C. 第50百分位数是2 D. 方差是9
11. 若事件E与F相互独立，且P(E)=P(F)=14，则P(E∩F)的值等于(    )
A. 0 B. 116 C. 14 D. 12
12. 如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为4cm，高为10cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为(    )
A. 16cm
B. 12 3cm
C. 24 3cm
D. 26cm
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 频率分布直方图中各小矩形面积的和等于______ ．
14. 已知一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的下四分位数是______ ．
15. 当实数m= ______ 时，复数(m2−3m+2)+(m2−4)i是纯虚数．
16. 在△ABC中，已知a=1，b=2，C=60°，则c= ______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
计算：
(1)(5−6i)+(−2−2i)−(3+4i)；
(2)(2−3i)(2+3i)．
18. (本小题12.0分)
已知a=(1,1),b=(2,m)．
(1)若a//b，求实数m的值；
(2)若a⊥b，求实数m的值；
(3)若a与b夹角为锐角，求实数m的取值范围．
19. (本小题12.0分)
已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且AC=BD．
(1)判断四边形EFGH的形状，并加以证明；
(2)求证：BD//平面EFGH．

20. (本小题12.0分)
某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05．

求(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
21. (本小题12.0分)
已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率．
22. (本小题12.0分)
如图，正四棱锥S−ABCD的高和底面边长都是8．
(1)求S−ABCD的表面积；
(2)求S−ABCD的体积．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查向量的概念，属于基础题．
根据向量的概念进行排除，质量只有大小没有方向，因此质量不是向量，而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．
【解答】
解：既有大小，又有方向的量叫做向量；
质量只有大小没有方向，因此质量不是向量．
而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．
故选A．  
2.【答案】D 
【解析】解：原式=3a+3b+b−4a+4b=8b−a．
故选：D．
进行向量的数乘运算即可．
本题考查了向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：z=3−i，
则|z|= 32+(−1)2= 10．
故选：C．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：由题意得z=i⋅(3−i)=1+3i，
所以z−=1−3i．
故选：D．
根据复数乘法运算求出z，再求出共轭复数即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．

5.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了展开图折叠成几何体，中间是几个矩形，两边分别是相同的几边形，可以围成棱柱
根据几棱柱展开可得侧面是几个矩形，矩形的两边分别是相同的几边形．
【解答】
解：A：中间是三个矩形，矩形两边分别是四边形，故A不能围成棱柱；
B：中间是五个矩形，矩形一边有两个四边形，另一边没有四边形，故B不能为成棱柱；
C：中间是五个矩形，矩形两边分别是四边形，故C不能围成棱柱；
D：中间是四个矩形，矩形两边分别是四边形，故D能围成棱柱；
故选：D．  
6.【答案】B 
【解析】解：若以长4的边为底面周长，2为母线长，
则底面直径为4π，
则圆柱轴截面是长为4π，高为2的矩形，此时S=8π，
若以长2的边为底面周长，4为母线长，
则底面直径为2π，
则圆柱轴截面是长为2π，高为4的矩形，此时S=8π，
故选：B．
由圆柱的几何特征我们可知，圆柱轴截面是一个以底面直径为宽，以母线长为高的矩形，根据已知中用长为4、宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，分类讨论，计算出满足条件的底面直径及母线长，代入矩形面积公式即可得到答案．
本题考查的知识点是圆柱的侧面积和轴截面面积，其中根据圆柱的几何特征计算出满足条件的轴截面的宽和高是解答本题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵直线a和b没有公共点，∴直线a与b不是相交直线．
∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．
故选C．
根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断．
本题主要考查空间直线的位置关系，空间直线平行和异面都没有公共点．

8.【答案】C 
【解析】解：对于A，调查一批小包装饼干的卫生是否达标，不适合用普查，适合抽样调查，故A错误；
对于B，调查一批袋装牛奶的质量，不适合用普查，适合抽样调查，故B错误；
对于C，调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间，适合用普查，故C正确；
对于D，调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求，不适合用普查，适合抽样调查，故D错误．
故选：C．
选项A，B，D的调查，对于个体具有破坏性，不适合用普查，选项C适合用普查．
本题主要考查了抽样方法的选取，属于基础题．

9.【答案】B 
【解析】解：男职工90人中抽取27名，
故抽样比为2790=310．
故选：B．
根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，是基础题．

10.【答案】B 
【解析】解：把该组数据从小到大排列：−1，1，2，4，4，8，
所以这组数据的众数为4，平均数为−1+1+2+4+4+86=3，
第50百分位数是2+42=3，
方差为16×[(−1−3)2+(1−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(4−3)2+(8−3)2]=8．
故选：B．
根据众数，平均数，第50百分位数，方差的定义求解．
本题主要考查了数据的数字特征，是基础题．

11.【答案】B 
【解析】解：P(E∩F)
=P(E)⋅P(F)
=14×14
=116．
故选B．
本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P(E∩F)=P(E)⋅P(F)，将P(E)=P(F)=14代入即可得到答案．
相互独立事件的概率计算公式：
P(E∩F)=P(E)⋅P(F)，
P(E∪F)=P(E)+P(F)．

12.【答案】D 
【解析】解：将正三棱柱ABC−A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，

在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．
由已知求得矩形的长等于6×4=24，宽等于10，由勾股定理d= 242+102=26cm．
故选：D．
将三棱柱展开两次，可知最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径，再由勾股定理求解．
本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化思想，是基础题．

13.【答案】1 
【解析】解：在频率直方图中纵坐标表示频率组距，横坐标表示组距，
则小长方形的高表示频率组距，小长方形的长表示组距，
则长方形的面积为长乘宽，即组距×频率组距=频率；
根据所有频率和为1可知频率分布直方图中各小长方体的面积和为1；
故答案为：1
根据频率分布直方图中纵横坐标的意义，易得长方形的面积为长乘宽，即组距×频率组距=频率，而所有频率和为1可知频率分布直方图中各小长方体的面积和为1．
本题主要考查频率直方图中横纵坐标表示的意义，以及频率分布直方图的意义，属于基础题．

14.【答案】15 
【解析】解：将数据由小到大排列为6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，共11项，
由11×25%=2.75．
故下四分位数是第3个数，即15．
故答案为：15．
根据百分位数的定义，计算即可．
本题考查百分位数的应用，属于基础题．

15.【答案】1 
【解析】解：复数(m2−3m+2)+(m2−4)i是纯虚数，
则m2−3m+2=0m2−4≠0，解得m=1．
故答案为：1．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．

16.【答案】 3 
【解析】解：由a=1，b=2，C=60°，
根据余弦定理得：
c2=a2+b2−2ab⋅cosC=1+4−2=3，
则c= 3．
故答案为： 3
由C的度数求出cosC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解即可求出c的值．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

17.【答案】解：(1)(5−6i)+(−2−2i)−(3+4i)=(5−2−3)+(−6−2−4)i=−12i．
(2)(2−3i)(2+3i)=22−(3i)2=4−(−9)=13． 
【解析】(1)根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解；
(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

18.【答案】解：(1)若a//b，则1×m=2×1，解得m=2．
(2)若a⊥b，则1×2+1×m=0，解得m=−2．
(3)若a与b夹角为锐角，则1×2+1×m>0，
且a与b不同向共线，即m≠2，
所以实数m的取值范围为m>−2且m≠2． 
【解析】(1)利用a//b，列出方程1×m=2×1，求解即可．
(2)通过a⊥b，列出1×2+1×m=0，求解即可．
(3)利用a与b夹角为锐角，数量积大于0，并且a与b不同向共线，转化求解m的范围即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的共线与垂直条件的应用，是基本知识的考查，易错题．

19.【答案】证明：(1)因为AE=EB，BF=FC，故EF//AC，EF=12AC，
同理GH//AC，GH=12AC，故GH//EF，GH=EF=12AC，
故四边形EFGH为平行四边形，
同理可证：EH=FG=12BD，而AC=BD，故EF=FG，
故四边形EFGH为菱形．
(2)∵DG=GC，BF=FC，
∴BD//FG，
∵FG⊂平面EFGH，
BD⊄平面EFGH，
∴BD//平面EFGH． 
【解析】(1)根据题意可判断四边形EFGH为平行四边形，从而可解．
(2)利用线面平行判定定理相关知识可解．
正确理解菱形的定义和使用三角形的中位线定理是解题的关键，属于基础题．

20.【答案】解：(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
前两个小矩形的面积和为0.3+0.4=0.7>0.5，
∴设第二个小矩形底边的一部分长为x，
则0.04x=0.5−0.3=0.2，解得：x=5，
∴中位数为60+5=65；
(2)依题意，平均成绩为：
55×0.3+65×0.4+75×0.15
+85×0.1+95×0.05=67，
∴平均成绩约为67． 
【解析】本题考查了利用频率分布直方图求众数与中位数、平均数的应用问题，是基础题目．
(1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得出众数，利用中位数的两边频率相等，求出中位数；
(2)利用各小组底边的中点值乘以对应频率，再求和，得出数据的平均值．

21.【答案】解：(1)甲获胜的概率为1−12−13=16；
(2)甲不输的概率为16+12=23． 
【解析】(1)利用互斥事件的概率公式求解即可；
(2)甲不输的概率即为甲赢与和棋的概率之和．
本题考查互斥事件的概率计算，是基础题．

22.【答案】解：(1)取底面ABCD的中心O，经过点O作OE⊥BC于点E，连结SE，SO，则BC⊥SE，

在直角三角形SOE中，SE2=SO2+OE2=82+42=80，
所以斜高h′=SE= 80=4 5，
因此，S正四棱锥侧=12ch′=12×8×4×4 5=64 5，
S正四棱锥表=S正四棱锥侧+S底=64 5+8×8=64(1+ 5)；
(2)VS−ABCD=13Sh=13×SABCD×SE=13×82×8=5123． 
【解析】(1)取底面ABCD的中心O，经过点O作OE⊥BC于点E，连结SE，SO，则BC⊥SE，利用勾股定理求得斜高，代入棱锥的表面积公式即可求解；
(2)代入棱锥的体积公式即可求解．
本题考查了正四棱锥的表面积和体积的计算，属于中档题．