2022-2023学年贵州省贵阳市白云区兴农中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年贵州省贵阳市白云区兴农中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省贵阳市白云区兴农中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=2−i，则复数z的虚部为(    )
A. −32 B. −32i C. 32 D. 32i
2. 设e1,e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(    )
A. e1=e2 B. e1//e2 C. e1=−e2 D. |e1|=|e2|
3. 圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为(    )
A. 20πcm2 B. 10πcm2 C. 28πcm2 D. 14πcm2
4. 复数z满足(1−3i)z=5，则z−在复平面内对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 10.已知向量a=(2,−1),b=(1,1)，则a在b上的投影向量为(    )
A. (−1,−1) B. (−12,12) C. (12,12) D. (1,1)
6. 已知向量a、b不共线，若AB=λ1a+b,AC=a+λ2b，且A、B、C三点共线，则关于实数λ1、λ2一定成立的关系式为(    )
A. λ1=λ2=1 B. λ1=λ2=−1 C. λ1λ2=1 D. λ1+λ2=1
7. 如图，在矩形ABCD中，AB= 3，AD=1，点P为CD的中点，则DA⋅DB+AP⋅DB=(    )


A. 0 B. 32 C. 3 D. 2 3
8. 在达州市北部的凤凰山上有一座标志性建筑—凤凰楼，某同学为测量凤凰楼的高度MN，在凤凰楼的正北方向找到一座建筑物AB，高约为22.5m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，凤凰楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得凤凰楼顶部M的仰角为15°，凤凰楼的高度约为(    )


A. 32m B. 39m C. 45m D. 55m
二、多选题（本大题共2小题，共8.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 根据下列所给条件解三角形，其中有两个解的是(    )
A. b=4，A=55°，C=65° B. a=14，b=16，A=45°
C. a=4 3，c=4 2，C=45° D. a=4，b=8，A=30°
10. 若直线a平行于平面α，则下列结论正确的是(    )
A. 直线a与平面α无交点
B. 直线a平行于平面α内的所有直线
C. 平面α内有无数条直线与直线a平行
D. 平面α内存在无数条直线与直线a为异面直线
三、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知向量a，b的夹角为3π4，且|a|=3 2，|b|=2，则a⋅b= ______ ．
12. 已知a，b∈R，(1+2i)a=1+bi，则|a−bi|= ______ ．
13. 已知向量a和b满足：|a|=1，|b|=2，|2a−b|=2 3，则向量a与向量b的夹角为______ ．
14. 若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为______ ．
15. 如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为12π，则其体积为______ ．
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
已知a=(1,2)，b=(−3,1)，
(1)设a，b的夹角为θ，求cosθ的值；
(2)若向量a+kb与a−kb互相垂直，求k的值．
17. (本小题8.0分)
当实数m取何值时，复数z=(m2−4m)+(m2−m−6)i满足：
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z在复平面内对应的点在第三象限．
18. (本小题8.0分)
在△ABC中，a=7，b=8，cosB=−17．
(1)求边长c与∠A；
(2)求△ABC的面积．
19. (本小题8.0分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1C，AB的中点．
(1)求证：EF//平面A1AD；
(2)求四棱锥A1−ABCD的体积．

20. (本小题8.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，2b=2acosC+c．
(1)求角A；
(2)若a=10，△ABC的面积为8 3，求△ABC的周长．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵z=2−i1+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i，
∴z的虚部为−32．
故选：A．
由复数除法运算可求得z，由虚部定义可得结果．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．

2.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了对单位向量的理解和应用，属于基础题．
根据单位向量的模长相等，方向不一定相同，即可判断选项中的命题是否正确．
【解答】
解：因为e1,e2是单位向量，但方向不一定相同，∴e1=e2不一定成立，A、B错误；
对于C，e1,e2是单位向量，不一定是相反向量，∴e1=−e2不一定成立，C错误；
对于D，e1,e2是单位向量，∴|e1|=|e2|=1，D正确．
故选D．  
3.【答案】B 
【解析】解：根据圆锥侧面积公式可知S=πrl=π×2×5=10πcm2．
故选：B．
根据圆锥侧面积公式，即可计算结果．
本题考查了圆柱的侧面积计算问题，是基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：由题意得z=51−3i=5(1+3i)(1−3i)(1+3i)=12+32i，
故z−=12−32i对应的点(12,−32)在第四象限．
故选：D．
先结合复数的四则运算进行化简，然后结合共轭复数的定义及复数的几何意义可求．
本题主要考查了复数的四则运算，共轭复数的概念及复数的几何意义的应用，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：∵a=(2,−1),b=(1,1)，
∴a⋅b=2−1=1，|b|= 12+(−1)2= 2，
∴a在b上的投影向量为a⋅b|b|×b|b|=(12,12)．
故选：C．
根据已知条件，结合平面向量的投影公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的投影公式，属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】解：由于AB，AC有公共点A，
∴若A、B、C三点共线
则AB与AC共线
即存在一个实数t，使AB=tAC
即λ 1=at1=λ 2t
消去参数t得：λ1λ2=1；
反之，当λ1λ2=1时
AB=λ 1a+b
此时存在实数1λ 1使AB=1λ 1AC
故AB与AC共线
又由AB，AC有公共点A，
∴A、B、C三点共线
故A、B、C三点共线的充要条件是λ1λ2=1．
故选：C．
先求A、B、C三点共线的充要条件，我们要先根据已知条件a、b是不共线的向量AB=λ1a+b,AC=a+λ2b，判断λ与μ满足的关系；并以此关系为已知条件，看能不能反推回来得到A、B、C三点共线．如果两个过程都是可以的，该关系式即为所求．
判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

7.【答案】B 
【解析】解：在矩形ABCD中，AB= 3，AD=1，点P为CD的中点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B( 3,0)，C( 3,1)，P( 32,1)，D(0,1)，
则DA⋅DB+AP⋅DB=(0,−1)⋅( 3,−1)+( 32,1)⋅( 3,−1)=0× 3+(−1)×(−1)+ 32× 3+1×(−1)=32．
故选：B．
先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．

8.【答案】C 
【解析】解：在△AMC中，∠MAC=15°+30°=45°，∠ACM=180°−30°−45°=105°，∠AMC=180°−105°−45°=30°，
在Rt△ABC中，AC=2AB=45，
由正弦定理得CMsin45∘=ACsin30∘,CM=45×sin45°sin30∘=45 2，
所以在等腰Rt△MNC中，有MN=45 2× 22=45m．
故选：C．
利用正弦定理求得正确答案．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．

9.【答案】BC 
【解析】解：对于A：已知两角与一边，只有一个解，故A错误；
对于B：由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=4 27> 22，则角B有两个解，即三角形有两个解，故B正确；
对于C：由asinA=csinC得sinA=asinCc= 32> 22，则角A有两个解，即三角形有两个解，故C正确；
对于D：由asinA=bsinB得sinB=bsinAa=1，此时B=90°，则三角形只有一个解，故D错误．
故选：BC．
A选项中已知两角及一边，则只有一个解；对于B、C、D利用正弦定理判断解的个数，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．

10.【答案】ACD 
【解析】解：由题意，知直线a平行于平面α，
对于A，直线a与平面α无交点是正确的；
对于B，直线a与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；
对于C，平面内有无数条直线与直线a平行，是正确的；
对于D，平面α内存在无数条直线与直线a成异面直线，是正确的．
故选：ACD．
根据线面平行的定义和性质，逐项判断即可．
本题主要考查了直线与平面平行的定义和性质，同时考查了推理能力，属于基础题．

11.【答案】−6 
【解析】解：向量a，b的夹角为3π4，且|a|=3 2，|b|=2，
所以a⋅b=|a||b|cos3π4=3 2×2×(− 22)=−6．
故答案为：−6．
根据给定条件，利用向量数量积的定义计算作答．
本题考查向量的数量积的运算，属基础题．

12.【答案】 5 
【解析】解：依题意，(1+2i)a=1+bi化为：a+2ai=1+bi，
而a，b∈R，则a=1b=2a，解得a=1，b=2，
所以|a−bi|= a2+(−b)2= 12+(−2)2= 5．
故答案为： 5．
利用复数相等求出实数a，b，再利用复数模的定义计算作答．
本题考查复数的模，属于基础题．

13.【答案】23π 
【解析】解：设向量a与向量b的夹角为θ，|2a−b|=2 3，
则(2a−b)2=4a2−4a⋅b+b2=4−4a⋅b+4=12，
故a⋅b=−1，
故cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=−12×1=−12，θ∈[0,π]，
故θ=23π．
故答案为：23π．
设向量a与向量b的夹角为θ，根据(2a−b)2=12得到a⋅b=−1，再利用向量的夹角公式计算得到答案．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．

14.【答案】4 3π 
【解析】解：∵棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，
则球的直径等于正方体的体对角线长，即2R=2 3，R= 3，
则该球的体积V=43πR3=4 3π．
故答案为：4 3π．
根据球的体积公式可解．
本题考查球的体积公式，属于中档题．

15.【答案】16π3 
【解析】解：依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半径为1，高为h的圆柱组合而成，
于是几何体的表面积S=4π×12+2π×1×h=4π+2πh=12π，解得h=4，
所以该几何体的体积V=4π3×13+π×12×4=16π3．
故答案为：16π3．
根据给定条件，求出中间圆柱的高，再利用球和圆柱的体积公式求解作答．
本题考查几何体的体积的求解，属中档题．

16.【答案】解：(1)a=(1,2)，b=(−3,1)，a，b的夹角为θ，
cosθ=a⋅b|a|⋅|b|，
=1×(−3)+2×1 1+(−3)2 22+1
=− 210；
(2)因为向量a+kb与a−kb互相垂直，
所以(a+kb)⋅(a−kb)=0，
即a2−k2b2=0，
因为a2=5，b2=10，
所以5−10k2=0⇒k=± 22． 
【解析】本题考查向量的数量积以及向量的夹角的求法与应用，考查计算能力，属于基础题．
(1)利用已知条件通过向量的数量积求解即可；
(2)利用向量垂直，数量积为0，转化求解即可．

17.【答案】解：(1)若z=(m2−4m)+(m2−m−6)i为实数，则m2−m−6=0，
解得：m=−2或m=3；
(2)若z=(m2−4m)+(m2−m−6)i为纯虚数，则m2−4m=0m2−m−6≠0，
解得：m=0或m=4；
(3)若z=(m2−4m)+(m2−m−6)i在复平面内对应的点在第三象限，
则m2−4m