江苏省南京市中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类(含解析)

这是一份江苏省南京市中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类(含解析)，共31页。试卷主要包含了解不等式组，两点等内容，欢迎下载使用。
江苏省南京市中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2022•南京）某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱．求购买的白色复印纸的箱数和彩色复印纸的箱数．
二．解一元一次不等式组（共1小题）
2．（2022•南京）解不等式组：．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2022•南京）某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为3000m3，原有水量分别为1200m3，300m3，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为100m3，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水．设注水第xmin时，甲、乙水池中的水量分别为y1m3，y2m3．
（1）若每分钟向甲注水40m3，分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）若每分钟向甲注水50m3，画出y2与x之间的函数图象；
（3）若每分钟向甲注水am3，则甲比乙提前3min注满，求a的值．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
4．（2020•南京）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1）．
（1）求k的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解：解不等式①，得　 　．
根据函数y＝的图象，得不等式②的解集　 　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　 　．
五．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
5．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　 　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为　 　m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2021•南京）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．

八．菱形的判定（共1小题）
8．（2022•南京）如图，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于点C，过点B作BD⊥AC，交AM于点D，垂足为O，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．

九．圆周角定理（共1小题）
9．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
10．（2022•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．
（1）求证AF⊥BC；
（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．

一十一．圆的综合题（共1小题）
11．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　 　（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

一十二．作图—复杂作图（共1小题）
12．（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

一十三．轴对称-最短路线问题（共1小题）
13．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．

（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
一十五．相似形综合题（共2小题）
15．（2022•南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E是AD上一点，AE＝2．F是AB上的动点，连接EF，G是EF上一点，且为常数，k≠0）．分别过点F、G作AB、EF的垂线相交于点P．设AF的长为x，PF的长为y．
（1）若，则y的值是 　 　；
（2）求y与x之间的函数表达式；
（3）在点F从点A到点B的整个运动过程中，若线段CD上存在点P，则k的值应满足什么条件？直接写出k的取值范围．

16．（2022•南京）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．

（1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　 　；（填写所有符合要求的序号）
（2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC．
一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
17．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

一十七．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 　 　．

江苏省南京市中考数学试卷2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题提升题知识点分类
参考答案与试题解析
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2022•南京）某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱．求购买的白色复印纸的箱数和彩色复印纸的箱数．
【答案】购买的白色复印纸的箱数为22箱，彩色复印纸的箱数为5箱．
【解答】解：设购买的白色复印纸的箱数为x箱，彩色复印纸的箱数为y箱，
由题意得：，
解得：，
答：购买的白色复印纸的箱数为22箱，彩色复印纸的箱数为5箱．
二．解一元一次不等式组（共1小题）
2．（2022•南京）解不等式组：．
【答案】x≤1．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
故不等式组的解集为x≤1．
三．一次函数的应用（共1小题）
3．（2022•南京）某蔬菜基地有甲，乙两个用于灌溉的水池，它们的最大容量均为3000m3，原有水量分别为1200m3，300m3，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止．已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为100m3，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水．设注水第xmin时，甲、乙水池中的水量分别为y1m3，y2m3．
（1）若每分钟向甲注水40m3，分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；
（2）若每分钟向甲注水50m3，画出y2与x之间的函数图象；
（3）若每分钟向甲注水am3，则甲比乙提前3min注满，求a的值．
【答案】（1）y1＝1200+40x（0≤x≤45），y2＝300+60x（0≤x≤45）；
（2）图象见解答；
（3）．
【解答】解：（1）若每分钟向甲注水40m3，则注满甲需要（3000﹣1200）÷40＝45（分），
若每分钟向乙注水100﹣40＝60（m3），则注满乙需要（3000﹣300）÷60＝45（分），
则按照每分钟向甲注水40m3，甲乙同时注满，
∴y1＝1200+40x（0≤x≤45），y2＝300+60x（0≤x≤45）；
（2）若每分钟向甲注水50m3，则注满甲需要（3000﹣1200）÷50＝36（分），
若每分钟向乙注水100﹣50＝50（m3），则注满乙需要（3000﹣300）÷50＝54（分），
则按照每分钟向甲注水50m3，甲在36分时注满，之后乙注水的量为每分钟100m3，
（3000﹣300﹣36×50）÷100＝9（分），36+9＝45（分），

y2＝300+50x（0≤x≤36），
y2＝100x﹣1500（36≤x≤45）；
（3），
解得a＝，
则a的值为．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
4．（2020•南京）已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1）．
（1）求k的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组
解：解不等式①，得　x＜1　．
根据函数y＝的图象，得不等式②的解集　0＜x＜2　．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．

从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集　0＜x＜1　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1），
∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；
（2）解不等式组
解：解不等式①，得x＜1．
根据函数y＝的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．
把不等式①和②的解集在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为0＜x＜1，
故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．
五．二次函数图象与系数的关系（共1小题）
5．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 　1　．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）b＝﹣1；
（2）1；
（3）a＜0或．
【解答】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：1＝4a+2+c，
∴a＝，
∴顶点的纵坐标，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥，
∵，
∴a+b，当a＝b时取等号，
∴＝1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1．
解法二：∵a＜0，抛物线开口向下，抛物线顶点纵坐标就是抛物线最高点，抛物线又必过（﹣2，1），
∴顶点纵坐标不可能比1小．
∴1就是顶点纵坐标最小值．
（3）方法一、由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣4a，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
若﹣1＜m＜2，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，且，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，且＜3，
解得a，
方法二、由题意可得：或，
解得：a＞或a＜0，
综上 a＜0或．
六．二次函数的应用（共1小题）
6．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为　250　m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵y1＝﹣180x+2250，y2＝﹣10x2﹣100x+2000，
∴当x＝0时，y1＝2250，y2＝2000，
∴小丽出发时，小明离A地的距离为2250﹣2000＝250（m），
故答案为：250；
（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则
s＝（﹣180x+2250）﹣（﹣10x2﹣100x+2000）＝10x2﹣80x+250＝10（x﹣4）2+90，
令y1＝0，则0＝﹣180x+2250，得x＝12.5，
∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90，
答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．
七．全等三角形的判定与性质（共1小题）
7．（2021•南京）如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证△AOB≌△DOC；
（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS）；
（2）解：由（1）得：△AOB≌△DOC，
∴AB＝DC＝2，
∵BC＝3，CE＝1，
∴BE＝BC+CE＝4，
∵EF∥CD，
∴△BCD∽△BEF，
∴＝，
即＝，
解得：EF＝．
八．菱形的判定（共1小题）
8．（2022•南京）如图，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于点C，过点B作BD⊥AC，交AM于点D，垂足为O，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．

【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AM∥BN，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BAM，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
九．圆周角定理（共1小题）
9．（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；


（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
一十．三角形的外接圆与外心（共1小题）
10．（2022•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，BD＝CE．过A，D，E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F．
（1）求证AF⊥BC；
（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半径长．

【答案】（1）见解析；
（2）⊙O的半径长为5．
【解答】（1）证明：连接AD，AE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∴，
∴AF⊥BC；
（2）解：∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝CF＝BC＝6，
∴AF＝＝＝8，
∵BD＝2，
∴DF＝4，
连接OD，设DO＝AO＝x，
∴OF＝AF﹣x＝8﹣x，
∵OD2＝OF2+DF2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴⊙O的半径长为5．

一十一．圆的综合题（共1小题）
11．（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 　l+h　（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

【答案】（1）6；（2）①h+l；②示意图见解答，思路见解答．
【解答】解：（1）如图②中连接AO，AC，AB．设∠AOC＝n．

∵的长＝4π，
∴＝4π，
∴n＝60°，
∴∠COA＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵OB＝BC＝6，
∴AB⊥OC，
∴AB＝＝＝6．
最短的路径是线段AB，最短路径的长为6．

（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即为h+l．
故答案为：h+l．

②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如图④，最短路径为AB，
思路：
Ⅰ、记AB与圆柱的展开图的上边的交点记作点G，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，
Ⅱ、由题可知，GF＝h，OB＝b，由的长为a，得展开后的线段AD＝a，
Ⅲ、设线段GC的长为x，则的弧长GC'也为x，
Ⅳ、由母线长为l，可求出∠C'OG，作BE⊥OG，垂足为E，
Ⅴ、因为OB＝b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，
Ⅵ、利用勾股定理表示出BG，接着由FD＝CG＝x，得到AF＝a﹣x，利用勾股定理可以求出AG，
Ⅶ、将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，因为两点之间线段最短，得出A、G、B三点共线，
Ⅷ、利用勾股定理可以得到关于x的方程，即可解出x，
Ⅸ、将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．

一十二．作图—复杂作图（共1小题）
12．（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．
要求：（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【答案】作图见解析部分．
【解答】解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．

方法二：作P点关于点O的对称点P′，以PO为半径作圆O，连接PP′，设原来的圆O半径为r，以AB（即2r）的长度为半径，P′为圆心画圆，交弧PP′于点Q，连接PQ，交于原来的圆O于点D，点D即为切点（中位线能证明OD是半径且垂直PQ）．

方法三：可以用构造直角三角形．以OP为斜边，半径为直角边构造出一个直角三角形，再构造全等三角形解决问题．
一十三．轴对称-最短路线问题（共1小题）
13．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）如图②，连接A'C'，
∵点A，点A'关于l对称，点C在l上，
∴CA＝CA'，
∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，
同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，
∵A'B＜A'C'+C'B，
∴AC+BC＜AC'+C'B；
（2）如图③，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（其中点D是正方形的顶点）；
如图④，

在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD++EB（其中CD，BE都与圆相切）．
一十四．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝．

（1）当＝＝时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

（2）当＝＝时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△ADC∽△A′D′C'，
∴∠A＝∠A′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案为：＝＝，∠A＝∠A′．

（2）结论：∴△ABC∽△A′B′C′．
理由：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．

∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
同理，＝＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
同理，＝，
∴＝，即＝，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED＝∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB＝180°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′．
一十五．相似形综合题（共2小题）
15．（2022•南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E是AD上一点，AE＝2．F是AB上的动点，连接EF，G是EF上一点，且为常数，k≠0）．分别过点F、G作AB、EF的垂线相交于点P．设AF的长为x，PF的长为y．
（1）若，则y的值是 　5　；
（2）求y与x之间的函数表达式；
（3）在点F从点A到点B的整个运动过程中，若线段CD上存在点P，则k的值应满足什么条件？直接写出k的取值范围．

【答案】（1）5；
（2）y＝kx2+2k．
（3）．
【解答】解：（1）∵PF⊥AF，
∴∠AFP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠A+∠AFP＝180°，
∴AD∥FP，
∴∠AEF＝∠PFG，
∵AE＝2，AF＝x＝4，
∴EF＝＝2，
∵k＝，
∴FG＝EF＝，
∵cos∠PFG＝cos∠AEF，
∴，
∴，
∴PF＝5，
故答案为：5；
（2）∵PF⊥AB，
∴∠PFA＝90°，
∴∠PFG+∠AFE＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝90°，在Rt△EAF中，∠A＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠PFG＝∠AEF，
∵PG⊥EF，
∴∠PGF＝90°，
∴∠A＝∠PGF，
∴△PGF∽△FAE，
∴，
∴GF•EF＝PF•AE，
在Rt△EAF中，∵AE＝2，AF＝x，
∴EF2＝AE2+AF2＝22+x2＝4+x2，
∵，
∴GF＝kFE，
∴kEF2＝PF•AE，
∴y＝kx2+2k．
（3）∵线段CD上存在点P，
∴y＝6，
6＝，
则k＝，
∵0≤x≤10，4≤x2+4≤104，
∴，
∵，点G在EF上，
∴k≤1，
∴．
16．（2022•南京）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称．

（1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　①②　；（填写所有符合要求的序号）
（2）如图3，已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE，Q是DE上一点，用直尺和圆规作点P，使P与Q是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图4，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点．∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连结DE，求证：DE∥AC．
【答案】（1）过程详见解答；
（2）过程详见解答；
（3）过程详见解答．
【解答】（1）解：如图1，

故答案为：①②；
（2）解：如图3，

（Ⅰ）分别在AE和AD的延长线上截取AC′＝AC，AB′＝AB，连接B′C′，
（Ⅱ）作射线AQ，交B′C′于点P′，
（Ⅲ）连接BC′，CB′，交于点O，作射线AO，
（Ⅳ）作P′P⊥AO，交BC于点P，
则点P就是Q点变换前的对应点；
（3）证明：如图4，

延长BE，交AC于F，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，
∴∠BAD＝∠FAE，
∵∠AEF＝∠ABE+∠BAE，∠ADB＝∠CAD+∠C，
∴∠AEF＝∠ADB，
∴△EAF∽△DAB，
∴，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴CD＝BD，
∴BE＝EF，
∴DE∥AC．
一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
17．（2020•南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，

在Rt△DCH中，∠C＝37°，
∴CH＝，
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，
∴BH＝，
∵BC＝CH﹣BH，
∴﹣＝6km，
解得DH≈18km，
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∴AD＝≈20km．
答：轮船航行的距离AD约为20km．
一十七．列表法与树状图法（共1小题）
18．（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是 　　．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）画树状图如图：

共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为；
（2）由题意得：第一次摸出白球的概率为，第二次摸出白球的概率也为，
∴两次摸出的球都是白球的概率为×＝，
故答案为：．
解法二：
若第一次摸到红球，则两次摸出的球都是白球的概率为P′＝0，
若第一次摸到白球，则两次摸出的球都是白球的概率为P″＝×＝，
∴所求概率为P＝P′+P″＝0+＝，
故答案为：．
解法三：
第一次取到白球的概率为，
即一个圆的，
第二次再取到白球的概率是将上面的（扇形）再分为3等份，取到的白球的概率是的，
即，
∴两次摸出的球都是白球的概率为，
故答案为：．