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人教版数学八年级暑假作业 第03练 勾股定理 (原卷版+解析版）
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第03练 勾股定理
1. 勾股定理的内容：
在直角三角形中， 。
在中，∠C＝90°，所对的边分别是，则有 。
变形： ； ； 。
2. 勾股定理的证明：
勾股定理的证明均是用 法进行转化。利用不同的方法表示同一图形的面积进行转化。
如图①：由边长为的4个全等的直角三角形构成：
整体法表示面积： 。
用各部分面积之和表示面积： 。
整理可得：。
如图②：由边长为的4个全等的直角三角形构成：
整体法表示面积： 。
用各部分面积之和表示面积： 。
整理可得：。
如图③：由边长为的2个全等的直角三角形构成：
整体法表示面积： 。
用各部分面积之和表示面积： 。
整理可得：。
3. 特殊三角形三边的比值关系：
①含30°直角三角形三边的比值关系为 。
②等腰直角三角形三边的比值关系为 。
4. 等边三角形利用边长求面积的面积公式是 。
5. 两点间的距离公式：
若与，则= 。
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
第1题 第2题
A．5 B． C． D．2
2．如图，明德中学数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝20，∠A＝45°，∠C＝90°，据此可求得A，B之间的距离为（ ）
A．20 B．20 C．40 D．40
3．如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（ ）
第4题 第5题
A． B． C．12 D．24
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BF⊥AC于E，交CD于点F，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，BF＝4，△ABE的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，将△ABC沿AB方向平移得到△DEF．若点A的对应点D为线段AB的中点，则C，F两点间的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．2
7．在平面直角坐标系中，点P（3，4），则点P到原点的距离为（ ）
A．3 B．﹣5 C．5 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
第8题 第9题
A．3和4之间 B．4和5之间 C．﹣4和﹣3之间 D．﹣5和﹣4之间
9．如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得△ABC，则AC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
10．在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ）
A．a+b＞c B．a+b＜2c C． D．a2+b2＝c2
11．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝30，AB＝13，则△ABC的周长是（ ）
A．26 B．43 C．30 D．28
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC边的中点，点E和F分别在边AB和AC上，BE＝BD，CF＝CD．若DE＝2，DF＝2，则BC边的长为 ．
第12题 第13题 第14题
13．如图，在三角形ABC中，AB＝4cm，BC＝AC＝3cm，将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm得到三角形DEF，则线段AC与BC扫过的面积之和为 cm2．
14．如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于 ．
15．已知实数x，y满足；
（1）若a＝x+y，b＝x﹣y，求a2+2ab+b2的值；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若BC＝x，AC＝y，求CD的长．
16．如图，直线与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，∠OAB＝45°，第二象限的点C（m，n）在直线AB上，且mn＝﹣4，则OA2﹣OC2的值为 ．
17．如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为 ；
（2）求AC+CE的最小值 ；
（3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值．
第03练 勾股定理
1. 勾股定理的内容：
在直角三角形中， 。
在中，∠C＝90°，所对的边分别是，则有 。
变形： ； ； 。
2. 勾股定理的证明：
勾股定理的证明均是用 法进行转化。利用不同的方法表示同一图形的面积进行转化。
如图①：由边长为的4个全等的直角三角形构成：
整体法表示面积： 。
用各部分面积之和表示面积： 。
整理可得：。
如图②：由边长为的4个全等的直角三角形构成：
整体法表示面积： 。
用各部分面积之和表示面积： 。
整理可得：。
如图③：由边长为的2个全等的直角三角形构成：
整体法表示面积： 。
用各部分面积之和表示面积： 。
整理可得：。
3. 特殊三角形三边的比值关系：
①含30°直角三角形三边的比值关系为 。
②等腰直角三角形三边的比值关系为 。
4. 等边三角形利用边长求面积的面积公式是 。
5. 两点间的距离公式：
若与，则= 。
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝3，BC＝4，则CD的长为（ ）
第1题 第2题
A．5 B． C． D．2
2．如图，明德中学数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝20，∠A＝45°，∠C＝90°，据此可求得A，B之间的距离为（ ）
A．20 B．20 C．40 D．40
3．如图，数轴上点A表示的数为﹣1，Rt△ABC的直角边AB落在数轴上，且AB长为3个单位长度，BC长为1个单位长度，若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形A，B，C，若正方形B，C的面积分别为6，18，则正方形A的面积是（ ）
第4题 第5题
A． B． C．12 D．24
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BF⊥AC于E，交CD于点F，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，BF＝4，△ABE的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，将△ABC沿AB方向平移得到△DEF．若点A的对应点D为线段AB的中点，则C，F两点间的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．2
7．在平面直角坐标系中，点P（3，4），则点P到原点的距离为（ ）
A．3 B．﹣5 C．5 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）
第8题 第9题
A．3和4之间 B．4和5之间 C．﹣4和﹣3之间 D．﹣5和﹣4之间
9．如图，由单位长度为1的4个小正方形拼成的一个大正方形网格，连接三个小格点，可得△ABC，则AC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
10．在三边长分别为a，b，c（a＜b＜c）的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ）
A．a+b＞c B．a+b＜2c C． D．a2+b2＝c2
11．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝30，AB＝13，则△ABC的周长是（ ）
A．26 B．43 C．30 D．28
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC边的中点，点E和F分别在边AB和AC上，BE＝BD，CF＝CD．若DE＝2，DF＝2，则BC边的长为 ．
第12题 第13题 第14题
13．如图，在三角形ABC中，AB＝4cm，BC＝AC＝3cm，将三角形ABC沿着与AB垂直的方向向上平移3cm得到三角形DEF，则线段AC与BC扫过的面积之和为 cm2．
14．如图，在Rt△ABC，∠ACB＝90°，以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，P是HI上一点，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝16，S2＝25，则四边形ACBP的面积等于 ．
15．已知实数x，y满足；
（1）若a＝x+y，b＝x﹣y，求a2+2ab+b2的值；
（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若BC＝x，AC＝y，求CD的长．
16．如图，直线与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，∠OAB＝45°，第二象限的点C（m，n）在直线AB上，且mn＝﹣4，则OA2﹣OC2的值为 ．
17．如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为 ；
（2）求AC+CE的最小值 ；
（3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值．
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