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人教版数学八年级暑假作业 第08练 正方形 (原卷版+解析版）
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第08练 正方形
1. 正方形的定义：
四条边都 相等 ，四个角都是 直角 的四边形是正方形。
2. 正方形的性质：
正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形，所以包含平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
（1） 对边 平行 且四条边都 相等 且邻边 相互垂直 。
（2） 对角 相等 ，邻角 互补 且四个角都是 直角 。
（3） 对角线 相互平分 且对角线 相等且相互垂直 且对角线 平分 每一组对角。
（4） 正方形既是一个 中心对称 图形又是一个 轴对称 图形。
（5） 正方形的面积等于 边长×边长 或 对角线乘积的一半 。
3. 正方形的判定：
（1） 四条边都 相等 且四个角都是 直角 的四边形是正方形。
（2） 有一个角是 直角 且邻边 相等 的平行四边形是正方形。
（3） 有一个角是 直角 且对角线 相互垂直 的平行四边形是正方形。
（4） 对角线 相等 且邻边 相等 的平行四边形是正方形。
（5） 对角线 相等 且对角线 相互垂直 的平行四边形是正方形。
注意：在（2）-（5）的证明过程中，可先证明菱形在证明矩形。
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等
B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角
D．四边相等
【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质进行综合比较分析即可得出答案．
【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知，
它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
故选：A．
2．满足下列条件的四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的菱形
C．对角线相等的矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形
【分析】根据正方形的判定方法即可求解．
【解答】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项正确，符合题意；
B选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故B选项错误，不符合题意；
C选项，对角线相等的菱形是正方形，故C选项错误，不符合题意；
D选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
3．正方形ABCD的对角线长为，则其周长为（ ）
A．8 B． C． D．16
【分析】根据正方形对角线的长度和正方形的边长相等，利用勾股定理可求出边长，即可求出答案．
【解答】解：设正方形的边长为x，
∵正方形的对角线为2，
∴由勾股定理得：，
解得：x＝2（负值舍去），
∴正方形的周长为：2×4＝8，
故选：A．
4．如图，以正方形ABCD的边AD为一边，在正方形内部作等边△ADE，连接BE，则∠ABE的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠BAE＝30°，再利用正方形的性质得到等腰三角形ABE，再利用三角形的内角和即可解答．
【解答】解：∵△ADE是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠EAD＝60°，AB＝AD＝AE，
∴∠BAE＝30°，
在△ABE中，，
故选：C．
5．已知正方形ABCD的边长为2，点A在原点，点B在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
【分析】利用正方形的性质可求解．
【解答】解：∵点A在原点，点B在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，
∴点C在第四象限，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴点C（2，﹣2），
故选：D．
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点，若△CEF的周长为18，则OF的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【分析】因为四边形ABCD是正方形，得出∠DCE＝90°，OD＝OB，由DF＝FE，推出CF＝FE＝FD，进而推出EF+FC＝13，根据DC＝＝12，则推出BC＝CD，则BE可得，又因OD＝OB，DF＝FE，得出OF．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝90°，OD＝OB，
∵DF＝FE，
∴CF＝FE＝FD，
∵EC+EF+CF＝18，EC＝5，
∴EF+FC＝13，
∴DC＝＝12，
∴BC＝CD＝12，
∴BE＝BC﹣EC＝7，
∵OD＝OB，DF＝FE，
∴OF＝BE＝，
故选：B．
7．如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据正方形的性质和已知条件可证得△FBE≌△GCF≌△HDG≌△EAH，于是得到EF＝FG＝GH＝HE，可证得四边形EFGH是菱形，再证得∠EFG＝90°，即可证明四边形EFGH是正方形．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠FBE＝∠GCF＝∠HDG＝∠EAH＝90°，
∵BE＝CF＝DG＝AH，
∴AB+BE＝BC+CF＝CD+DG＝DA+AH，
即AE＝BF＝CG＝DH，
在△FBE和△GCF中，
，
∴△FBE≌△GCF（SAS），
∴EF＝FG，∠BFE＝∠CGF，
∵∠GCF＝90°，
∴∠CGF+∠GFC＝90°，
∴∠BFE+∠GFC＝90°，
即∠EFG＝90°，
同理可得△GCF≌△HDG，△HDG≌△EAH，△EAH≌△FBE，
∴FG＝GH，GH＝HE，HE＝EF，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
又∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
故选：D．
8．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
【分析】根据AB＝BC＝CD＝AD＝1，求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲是否正确，若四边形PQMN为正方形，根据边的关系可以求出AB＝BC＝CD＝AD，且四个角都是直角即可证明乙是否正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∠BAD＝90°，
∴AQ＝4﹣1＝3，AP＝3+1＝4，∠PAQ＝90°，
∴PQ2＝AQ2+AP2＝25，
∴PQ＝5，
同理MN＝5，
∴四边形PQMN是菱形，
在△QMD和△PQA中，
，
∴△QMD≌△PQA（SSS），
∴∠MQD＝∠APQ，
∵∠AQP+∠QPA＝90°，
∴∠AQP+∠MQD＝90°，
∴∠MQP＝90°，
则四边形PQMN必是正方形；
∴甲正确；
若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QPA＝90°，
在△QMD和△PQA中，
，
∴△QMD≌△PQA（ASA），
∴QD＝AP＝4，
同理QD＝AP＝MC＝BN＝4，
又∵BP＝MD＝AQ＝3，
∴QD﹣AD＝PA﹣AB，
∴AB＝AD＝1，
同理AB＝CD＝AD＝BC＝1，
即四边形ABCD为菱形，
∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，
则四边形ABCD必是边长为1的正方形，
∴乙正确，
故选：D．
9．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A，B重合）．连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE．下列四个结论中：①四边形AECF始终是平行四边形；②若∠ABC＞90°，则存在点E，使得四边形AECF是矩形；③若AB＞AD，则存在点E，使得四边形AECF是菱形；④若∠BAC＝45°，则存在点E，使得四边形AECF是正方形．正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形．
【解答】解：①如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，故①正确；
②如图2，
当∠ABC＞90°时，
∵∠AEC＞∠ABC，
∴∠AEC＞90°，
∴四边形AECF不可能是矩形，故②错误．
③如图3，
若AB＞AD，当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故③正确．
④如图4，
当∠BAC＝45°时，
如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故④错误．
综上分析可知，正确的有2个，故B正确．
故选：B．
10．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连接ED，则∠ADE的度数为（ ）
A．60° B．15° C．45° D．15°或45°
【分析】首先根据题意画出示意图，然后分两种情况进行讨论：①当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，点E与点B重合，据此可依据正方形的性质求出∠ADE的度数；②当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由作图可知AM＝AE′＝ME′＝AD，据此可得出∠DAE′＝150°，∠ADE＝∠AE′D，最后再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ADE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
由作图可知有以下两种情况：
①当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，
依题意可知：点E与点B重合，
此时DE为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADE＝45°，
②当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，
连接AE′，ME′，
由作图可知：AM＝AE′＝ME′＝AD，
∴△AE′M为等边三角形，
∠E′AM＝60°，
∴∠PAE′＝180°﹣∠E′AM＝180°﹣60°＝120°，
又∠PAD＝30°，
∴∠DAE′＝∠PAD+∠PAE′＝30°+120°＝150°
又∵AD＝AE′，
∴∠ADE＝∠AE′D，
∴∠，
综上所述：∠ADE的度数为15°或45°
故选：D．
11．正方形ABCD的边长为3，点E、F分别是对角线上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，则图中阴影部分的面积等于 ．
【分析】首先证Rt△CFH和Rt△CFP全等，得出S△CFH＝S△CFP，同理可证S△CEG＝S△CET，进而得S四边形EFHG＝S四边形EFPT，再根据S△CAD＝S△CAB可得S四边形ADGE＝S四边形ABTE，据此可得阴影部分的面积与△ABC的面积相等，据此可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠D＝∠B＝90°，AC为∠BCD的平分线，
∵FH∥AD，FP∥AB，
∴FH⊥CD，FP⊥BC，
∴FH＝FP，
在Rt△CFH和Rt△CFP中，
∴Rt△CFH≌Rt△CFP（HL），
∴S△CFH＝S△CFP，
同理：S△CEG＝S△CET，
∴S△CFH+S四边形EFHG＝S△CFP+S四边形EFPT，
∴S四边形EFHG＝S四边形EFPT，
∵S△CAD＝S△CAB，
∴S△CEG+S四边形ADGE＝S△CET+S四边形ABTE，
∴S四边形ADGE＝S四边形ABTE，
∴S阴影＝S四边形ADGE+S四边形EFPT+S△CFH
＝S四边形ABTE+S四边形EFPT+S△CFP
＝．
故答案为：．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E是边AD的中点，连接BE，在DC边上有一点F，满足∠FEB＝∠AEB，则EF的长为 ．
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得EF的长．
【解答】解：作BG⊥EF，交EF于点G，连接BF，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为AD的中点，∠FEB＝∠AEB，
∴AE＝DE＝3，∠D＝∠A＝90°，BA＝BG＝6，
在Rt△EAB和Rt△EGB中，
，
∴Rt△EAB≌Rt△EGB（HL），
∴EA＝EG＝3，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴FG＝FC，
设DF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∵∠D＝90°，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴32+x2＝（9﹣x）2，
解得x＝4，
∴EF＝9﹣x＝5，
故答案为：5．
13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若∠EGF＝45°，则GF的长为 ．
【分析】连接BF交AE于H，根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，推出△FGH是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接BF交AE于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，
∵点E、F分别是边BC，CD的中点，
∴BE＝CF，
在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB+∠EBH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴∠GHF＝90°，
∵∠FGH＝45°，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∵AB＝BC＝6，
∴BE＝CF＝3，
∴，
∵S△ABE＝＝，
∴BH＝，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线L上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：
①∠COD＝45°；
②AE＝5；
③CF＝BD＝；
④S△CFO＝3．
其中正确的序号为 ①② ．
【分析】由四边形ABCD和四边形DEFO是正方形，知∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，故∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，判断①正确；由勾股定理可得EO＝＝2，从而AE＝OA+EO＝3+2＝5，判断②正确；过C作CM⊥CO交CO延长线于M，过D作DN⊥AE于N，过D作DH⊥AB于H，由勾股定理可得CF＝＝，BD＝＝2，判断③错误；求出S△CFO＝，判断④错误．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DEFO是正方形，
∴∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确；
∵DE＝DO＝EF＝，
∴EO＝＝2，
∵OA＝AB＝3，
∴AE＝OA+EO＝3+2＝5，故②正确；
过C作CM⊥CO交CO延长线于M，过D作DN⊥AE于N，过D作DH⊥AB于H，如图：
∵∠FOM＝180°﹣∠COD﹣∠DOF＝45°，
∴△FOM是等腰直角三角形，
∴OM＝FM＝＝1，
∴CM＝OC+OM＝3+1＝4，
∴CF＝＝＝，
∵DN＝＝＝1＝ON，
∴AH＝DN＝1，AN＝OA+ON＝3+1＝4，
∴DH＝AN＝4，BH＝AB﹣AH＝3﹣1＝2，
∴BD＝＝＝2，故③错误；
∵CO•FM＝×3×1＝，
∴S△CFO＝，故④错误；
∴正确的有①②，
故答案为：①②．
15．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，与BC相交点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：四边形CEDG的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）作出辅助线，得到EM＝EN，然后再判断∠MEF＝∠NED，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，即可判断矩形DEFG为正方形；
（2）由四边形ABCD为正方形，四边形DEFG是正方形可知AD＝CD，DE＝DG，故可得△ADE≌△CDG，得到AE＝CG，即可判断CE+CG＝10，为定值．
【解答】（1）证明：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠EMF＝∠ENC＝∠END＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠FED＝90°，
∴∠MEN﹣∠FEN＝∠FED﹣∠FEN，即∠MEF＝∠NED，
∵E是正方形ABCD对角线的点，
∴EN＝EM，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形．
（2）解：四边形CEDG的面积为定值，
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∵S四边形CEDG＝S△CDE+S△CDG，
∴S四边形CEDG＝S△CDE+S△ADE＝＝1，
∴四边形CEDG的面积为定值1．
16．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．连接DE，EF，DF，AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上下列条件 后，能使四边形ADEF为正方形，请从①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC；④AE＝DF这四个条件中任选两个填空（填序号），并加以证明．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可证出DE∥AF，DE＝AF，则可得出结论；
（2）根据正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，
∴DE∥AC，DE＝AC＝AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）解：选①②后，能使四边形ADEF为正方形．
证明：∵EF∥AB，EF＝AB，DE∥AC，DE＝AC，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADEF为正方形．
故答案为：①②（答案不唯一）．
17．如图，正方形OABC中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线AC，BO交于点D，作以下操作：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BO，AB于点E，F两点；②分别以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG，交AC于点M，交OA于点N．若点N的坐标为（2，0），则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点N作NT⊥OB于点T，过点M作MQ⊥AB于Q，作MP⊥OA于P，先在Rt△ONT中求出，则，进而再求出，再证四边形AQMP为正方形，设边长为a，则，MD＝MQ＝a，据此得，据此可求出a的值，进而即可求出点M的坐标．
【解答】解：过点N作NT⊥OB于点T，过点M作MQ⊥AB于Q，作MP⊥OA于P，
∵四边形OABC为正方形，
∴∠BOA＝∠BAC＝∠OAC＝45°，∠OAB＝90°，OB⊥AC，OD＝AD，
∴△ONT为等腰直角三角形，
∵点N的坐标为（2，0），
∴ON＝2，
在Rt△ONT中，OT＝NT，ON＝2，
由勾股定理得：OT2+NT2＝ON2，
即：2NT2＝22，
∴，
由作图可知：BN为∠OBA的平分线，
又NT⊥OB，∠OAB＝90°，
∴，
∴，
在Rt△OAD中，OD＝AD，，
由勾股定理得：OD2+AD2＝OA2，
即：，
∴，
∵∠BAC＝∠OAC＝45°，MQ⊥AB，MP⊥OA，
∴△AMQ和△AMP均为等腰直角三角形，
∴MQ＝AQ，MP＝AP，
∵AC为∠OAB的平分线，MQ⊥AB，MP⊥OA，
∴MQ＝MP，
∴MQ＝AQ＝MP＝AP，
∴四边形AQMP为正方形，
设MQ＝a，则AQ＝AP＝a，
在Rt△AMQ中，MQ＝AQ＝MP＝a，
由勾股定理得：，
∵BN为∠OBA的平分线，MQ⊥AB，MD⊥OB，
∴MD＝MQ＝a，
∴，
∴，
解得：a＝1，
∴MP＝AP＝a＝1，
∴，
∴点M的坐标为．
故选：C．
18．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：△AMB≌△ENB；
（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可得BM＝BN，∠MBN＝60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）根据等边三角形的性质可得AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，再求出∠ABM＝∠EBN，然后利用“边角边”证明△AMB和△ENB全等即可；
（3）①根据两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，再根据正方形的性质解答；
②根据全等三角形对应边相等可得AM＝EN，然后求出AM+BM+CM＝EN+MN+CM，再根据两点之间线段最短证明．
【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．
理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形；
（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，
∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，
即∠ABM＝∠EBN，
在△AMB和△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点M为BD的中点；
②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵△BMN是等边三角形，
∴BM＝MN，
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，
由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，
故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．
第08练 正方形
1. 正方形的定义：
四条边都 相等 ，四个角都是 直角 的四边形是正方形。
2. 正方形的性质：
正方形是特殊的平行四边形，特殊的矩形，特殊的菱形，所以包含平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
（1） 对边 平行 且四条边都 相等 且邻边 相互垂直 。
（2） 对角 相等 ，邻角 互补 且四个角都是 直角 。
（3） 对角线 相互平分 且对角线 相等且相互垂直 且对角线 平分 每一组对角。
（4） 正方形既是一个 中心对称 图形又是一个 轴对称 图形。
（5） 正方形的面积等于 边长×边长 或 对角线乘积的一半 。
3. 正方形的判定：
（1） 四条边都 相等 且四个角都是 直角 的四边形是正方形。
（2） 有一个角是 直角 且邻边 相等 的平行四边形是正方形。
（3） 有一个角是 直角 且对角线 相互垂直 的平行四边形是正方形。
（4） 对角线 相等 且邻边 相等 的平行四边形是正方形。
（5） 对角线 相等 且对角线 相互垂直 的平行四边形是正方形。
注意：在（2）-（5）的证明过程中，可先证明菱形在证明矩形。
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等
B．对角线互相垂直
C．每条对角线平分一组对角
D．四边相等
【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质进行综合比较分析即可得出答案．
【解答】解：根据平行四边形、矩形、菱形、正方的性质可知，
它们共同的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
故选：A．
2．满足下列条件的四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形
B．对角线互相垂直的菱形
C．对角线相等的矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形
【分析】根据正方形的判定方法即可求解．
【解答】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项正确，符合题意；
B选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故B选项错误，不符合题意；
C选项，对角线相等的菱形是正方形，故C选项错误，不符合题意；
D选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
3．正方形ABCD的对角线长为，则其周长为（ ）
A．8 B． C． D．16
【分析】根据正方形对角线的长度和正方形的边长相等，利用勾股定理可求出边长，即可求出答案．
【解答】解：设正方形的边长为x，
∵正方形的对角线为2，
∴由勾股定理得：，
解得：x＝2（负值舍去），
∴正方形的周长为：2×4＝8，
故选：A．
4．如图，以正方形ABCD的边AD为一边，在正方形内部作等边△ADE，连接BE，则∠ABE的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠BAE＝30°，再利用正方形的性质得到等腰三角形ABE，再利用三角形的内角和即可解答．
【解答】解：∵△ADE是等边三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠EAD＝60°，AB＝AD＝AE，
∴∠BAE＝30°，
在△ABE中，，
故选：C．
5．已知正方形ABCD的边长为2，点A在原点，点B在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
【分析】利用正方形的性质可求解．
【解答】解：∵点A在原点，点B在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，
∴点C在第四象限，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴点C（2，﹣2），
故选：D．
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点，若△CEF的周长为18，则OF的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【分析】因为四边形ABCD是正方形，得出∠DCE＝90°，OD＝OB，由DF＝FE，推出CF＝FE＝FD，进而推出EF+FC＝13，根据DC＝＝12，则推出BC＝CD，则BE可得，又因OD＝OB，DF＝FE，得出OF．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝90°，OD＝OB，
∵DF＝FE，
∴CF＝FE＝FD，
∵EC+EF+CF＝18，EC＝5，
∴EF+FC＝13，
∴DC＝＝12，
∴BC＝CD＝12，
∴BE＝BC﹣EC＝7，
∵OD＝OB，DF＝FE，
∴OF＝BE＝，
故选：B．
7．如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE＝CF＝DG＝AH，则四边形EFGH是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据正方形的性质和已知条件可证得△FBE≌△GCF≌△HDG≌△EAH，于是得到EF＝FG＝GH＝HE，可证得四边形EFGH是菱形，再证得∠EFG＝90°，即可证明四边形EFGH是正方形．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，
∴∠FBE＝∠GCF＝∠HDG＝∠EAH＝90°，
∵BE＝CF＝DG＝AH，
∴AB+BE＝BC+CF＝CD+DG＝DA+AH，
即AE＝BF＝CG＝DH，
在△FBE和△GCF中，
，
∴△FBE≌△GCF（SAS），
∴EF＝FG，∠BFE＝∠CGF，
∵∠GCF＝90°，
∴∠CGF+∠GFC＝90°，
∴∠BFE+∠GFC＝90°，
即∠EFG＝90°，
同理可得△GCF≌△HDG，△HDG≌△EAH，△EAH≌△FBE，
∴FG＝GH，GH＝HE，HE＝EF，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
又∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
故选：D．
8．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形ABCD为矩形，连接PQ，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形，则四边形PQMN必是正方形；
乙：若四边形PQMN为正方形，则四边形ABCD必是边长为1的正方形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确
【分析】根据AB＝BC＝CD＝AD＝1，求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲是否正确，若四边形PQMN为正方形，根据边的关系可以求出AB＝BC＝CD＝AD，且四个角都是直角即可证明乙是否正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，∠BAD＝90°，
∴AQ＝4﹣1＝3，AP＝3+1＝4，∠PAQ＝90°，
∴PQ2＝AQ2+AP2＝25，
∴PQ＝5，
同理MN＝5，
∴四边形PQMN是菱形，
在△QMD和△PQA中，
，
∴△QMD≌△PQA（SSS），
∴∠MQD＝∠APQ，
∵∠AQP+∠QPA＝90°，
∴∠AQP+∠MQD＝90°，
∴∠MQP＝90°，
则四边形PQMN必是正方形；
∴甲正确；
若四边形PQMN为正方形，则PQ＝PN＝MN＝MQ＝5，且∠QMD+∠MQD＝∠QAP＝∠AQP+∠QPA＝90°，
在△QMD和△PQA中，
，
∴△QMD≌△PQA（ASA），
∴QD＝AP＝4，
同理QD＝AP＝MC＝BN＝4，
又∵BP＝MD＝AQ＝3，
∴QD﹣AD＝PA﹣AB，
∴AB＝AD＝1，
同理AB＝CD＝AD＝BC＝1，
即四边形ABCD为菱形，
∵∠DAB＝180°﹣∠QAP＝90°，
则四边形ABCD必是边长为1的正方形，
∴乙正确，
故选：D．
9．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A，B重合）．连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE．下列四个结论中：①四边形AECF始终是平行四边形；②若∠ABC＞90°，则存在点E，使得四边形AECF是矩形；③若AB＞AD，则存在点E，使得四边形AECF是菱形；④若∠BAC＝45°，则存在点E，使得四边形AECF是正方形．正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O，故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证明BE与CF相等来说明．然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形．
【解答】解：①如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴AB∥DC，AB＝DC，OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
即E在AB上任意位置（不与A、B重合）时，四边形AECF恒为平行四边形，故①正确；
②如图2，
当∠ABC＞90°时，
∵∠AEC＞∠ABC，
∴∠AEC＞90°，
∴四边形AECF不可能是矩形，故②错误．
③如图3，
若AB＞AD，当EF⊥AC时，四边形AECF为菱形，故③正确．
④如图4，
当∠BAC＝45°时，
如果AB＜AD，就不存在点E在边AB上，使得四边形AECF为正方形，故④错误．
综上分析可知，正确的有2个，故B正确．
故选：B．
10．如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连接ED，则∠ADE的度数为（ ）
A．60° B．15° C．45° D．15°或45°
【分析】首先根据题意画出示意图，然后分两种情况进行讨论：①当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，点E与点B重合，据此可依据正方形的性质求出∠ADE的度数；②当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由作图可知AM＝AE′＝ME′＝AD，据此可得出∠DAE′＝150°，∠ADE＝∠AE′D，最后再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出∠ADE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
由作图可知有以下两种情况：
①当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，
依题意可知：点E与点B重合，
此时DE为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADE＝45°，
②当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，
连接AE′，ME′，
由作图可知：AM＝AE′＝ME′＝AD，
∴△AE′M为等边三角形，
∠E′AM＝60°，
∴∠PAE′＝180°﹣∠E′AM＝180°﹣60°＝120°，
又∠PAD＝30°，
∴∠DAE′＝∠PAD+∠PAE′＝30°+120°＝150°
又∵AD＝AE′，
∴∠ADE＝∠AE′D，
∴∠，
综上所述：∠ADE的度数为15°或45°
故选：D．
11．正方形ABCD的边长为3，点E、F分别是对角线上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，则图中阴影部分的面积等于 ．
【分析】首先证Rt△CFH和Rt△CFP全等，得出S△CFH＝S△CFP，同理可证S△CEG＝S△CET，进而得S四边形EFHG＝S四边形EFPT，再根据S△CAD＝S△CAB可得S四边形ADGE＝S四边形ABTE，据此可得阴影部分的面积与△ABC的面积相等，据此可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，
∴∠D＝∠B＝90°，AC为∠BCD的平分线，
∵FH∥AD，FP∥AB，
∴FH⊥CD，FP⊥BC，
∴FH＝FP，
在Rt△CFH和Rt△CFP中，
∴Rt△CFH≌Rt△CFP（HL），
∴S△CFH＝S△CFP，
同理：S△CEG＝S△CET，
∴S△CFH+S四边形EFHG＝S△CFP+S四边形EFPT，
∴S四边形EFHG＝S四边形EFPT，
∵S△CAD＝S△CAB，
∴S△CEG+S四边形ADGE＝S△CET+S四边形ABTE，
∴S四边形ADGE＝S四边形ABTE，
∴S阴影＝S四边形ADGE+S四边形EFPT+S△CFH
＝S四边形ABTE+S四边形EFPT+S△CFP
＝．
故答案为：．
12．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E是边AD的中点，连接BE，在DC边上有一点F，满足∠FEB＝∠AEB，则EF的长为 ．
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得EF的长．
【解答】解：作BG⊥EF，交EF于点G，连接BF，
∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为AD的中点，∠FEB＝∠AEB，
∴AE＝DE＝3，∠D＝∠A＝90°，BA＝BG＝6，
在Rt△EAB和Rt△EGB中，
，
∴Rt△EAB≌Rt△EGB（HL），
∴EA＝EG＝3，
在Rt△BGF和Rt△BCF中，
，
∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），
∴FG＝FC，
设DF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∵∠D＝90°，
∴DE2+DF2＝EF2，
∴32+x2＝（9﹣x）2，
解得x＝4，
∴EF＝9﹣x＝5，
故答案为：5．
13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是边BC和CD的中点，连接AE，在AE上取点G，连接GF，若∠EGF＝45°，则GF的长为 ．
【分析】连接BF交AE于H，根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，推出△FGH是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接BF交AE于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，
∵点E、F分别是边BC，CD的中点，
∴BE＝CF，
在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB+∠EBH＝90°，
∴∠BHE＝90°，
∴∠GHF＝90°，
∵∠FGH＝45°，
∴△FGH是等腰直角三角形，
∵AB＝BC＝6，
∴BE＝CF＝3，
∴，
∵S△ABE＝＝，
∴BH＝，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线L上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：
①∠COD＝45°；
②AE＝5；
③CF＝BD＝；
④S△CFO＝3．
其中正确的序号为 ①② ．
【分析】由四边形ABCD和四边形DEFO是正方形，知∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，故∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，判断①正确；由勾股定理可得EO＝＝2，从而AE＝OA+EO＝3+2＝5，判断②正确；过C作CM⊥CO交CO延长线于M，过D作DN⊥AE于N，过D作DH⊥AB于H，由勾股定理可得CF＝＝，BD＝＝2，判断③错误；求出S△CFO＝，判断④错误．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DEFO是正方形，
∴∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故①正确；
∵DE＝DO＝EF＝，
∴EO＝＝2，
∵OA＝AB＝3，
∴AE＝OA+EO＝3+2＝5，故②正确；
过C作CM⊥CO交CO延长线于M，过D作DN⊥AE于N，过D作DH⊥AB于H，如图：
∵∠FOM＝180°﹣∠COD﹣∠DOF＝45°，
∴△FOM是等腰直角三角形，
∴OM＝FM＝＝1，
∴CM＝OC+OM＝3+1＝4，
∴CF＝＝＝，
∵DN＝＝＝1＝ON，
∴AH＝DN＝1，AN＝OA+ON＝3+1＝4，
∴DH＝AN＝4，BH＝AB﹣AH＝3﹣1＝2，
∴BD＝＝＝2，故③错误；
∵CO•FM＝×3×1＝，
∴S△CFO＝，故④错误；
∴正确的有①②，
故答案为：①②．
15．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，与BC相交点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：四边形CEDG的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）作出辅助线，得到EM＝EN，然后再判断∠MEF＝∠NED，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，即可判断矩形DEFG为正方形；
（2）由四边形ABCD为正方形，四边形DEFG是正方形可知AD＝CD，DE＝DG，故可得△ADE≌△CDG，得到AE＝CG，即可判断CE+CG＝10，为定值．
【解答】（1）证明：如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠EMF＝∠ENC＝∠END＝90°，
∴∠MEN＝90°，
∵四边形DEFG为矩形，
∴∠FED＝90°，
∴∠MEN﹣∠FEN＝∠FED﹣∠FEN，即∠MEF＝∠NED，
∵E是正方形ABCD对角线的点，
∴EN＝EM，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形．
（2）解：四边形CEDG的面积为定值，
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∵S四边形CEDG＝S△CDE+S△CDG，
∴S四边形CEDG＝S△CDE+S△ADE＝＝1，
∴四边形CEDG的面积为定值1．
16．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．连接DE，EF，DF，AE．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）加上下列条件 后，能使四边形ADEF为正方形，请从①∠BAC＝90°；②AB＝AC；③AE平分∠BAC；④AE＝DF这四个条件中任选两个填空（填序号），并加以证明．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可证出DE∥AF，DE＝AF，则可得出结论；
（2）根据正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：已知D、E、F为AB、BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，
∴DE∥AC，DE＝AC＝AF．
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
（2）解：选①②后，能使四边形ADEF为正方形．
证明：∵EF∥AB，EF＝AB，DE∥AC，DE＝AC，
又∵AB＝AC，
∴EF＝DE，
∴平行四边形ADEF为菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADEF为正方形．
故答案为：①②（答案不唯一）．
17．如图，正方形OABC中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线AC，BO交于点D，作以下操作：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BO，AB于点E，F两点；②分别以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG，交AC于点M，交OA于点N．若点N的坐标为（2，0），则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点N作NT⊥OB于点T，过点M作MQ⊥AB于Q，作MP⊥OA于P，先在Rt△ONT中求出，则，进而再求出，再证四边形AQMP为正方形，设边长为a，则，MD＝MQ＝a，据此得，据此可求出a的值，进而即可求出点M的坐标．
【解答】解：过点N作NT⊥OB于点T，过点M作MQ⊥AB于Q，作MP⊥OA于P，
∵四边形OABC为正方形，
∴∠BOA＝∠BAC＝∠OAC＝45°，∠OAB＝90°，OB⊥AC，OD＝AD，
∴△ONT为等腰直角三角形，
∵点N的坐标为（2，0），
∴ON＝2，
在Rt△ONT中，OT＝NT，ON＝2，
由勾股定理得：OT2+NT2＝ON2，
即：2NT2＝22，
∴，
由作图可知：BN为∠OBA的平分线，
又NT⊥OB，∠OAB＝90°，
∴，
∴，
在Rt△OAD中，OD＝AD，，
由勾股定理得：OD2+AD2＝OA2，
即：，
∴，
∵∠BAC＝∠OAC＝45°，MQ⊥AB，MP⊥OA，
∴△AMQ和△AMP均为等腰直角三角形，
∴MQ＝AQ，MP＝AP，
∵AC为∠OAB的平分线，MQ⊥AB，MP⊥OA，
∴MQ＝MP，
∴MQ＝AQ＝MP＝AP，
∴四边形AQMP为正方形，
设MQ＝a，则AQ＝AP＝a，
在Rt△AMQ中，MQ＝AQ＝MP＝a，
由勾股定理得：，
∵BN为∠OBA的平分线，MQ⊥AB，MD⊥OB，
∴MD＝MQ＝a，
∴，
∴，
解得：a＝1，
∴MP＝AP＝a＝1，
∴，
∴点M的坐标为．
故选：C．
18．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？
（2）求证：△AMB≌△ENB；
（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可得BM＝BN，∠MBN＝60°，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可；
（2）根据等边三角形的性质可得AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，再求出∠ABM＝∠EBN，然后利用“边角边”证明△AMB和△ENB全等即可；
（3）①根据两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，再根据正方形的性质解答；
②根据全等三角形对应边相等可得AM＝EN，然后求出AM+BM+CM＝EN+MN+CM，再根据两点之间线段最短证明．
【解答】（1）解：△BMN是等边三角形．
理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形；
（2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形，
∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°，
∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN，
即∠ABM＝∠EBN，
在△AMB和△ENB中，
，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点M为BD的中点；
②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵△BMN是等边三角形，
∴BM＝MN，
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，
由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM，
故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小．
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