人教版八年级下册17.1 勾股定理教学设计

这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

第17章勾股定理小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会用勾股定理解决简单问题；2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题.
(二)过程与方法：发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想，树立数形结合的思想、分类讨论思想.
(三)情感态度价值观：通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心，激发学生的民族自豪感和爱国情怀.
二、教学重点、难点
重点：回顾并思考勾股定理及逆定理.
难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
三、教学过程
一、勾股定理
1. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以运用
3.勾股定理表达式的常见变形：
a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；
、、.
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个
三角形是直角三角形.
2.勾股数

满足a2 + b2 = c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题(互为逆定理)
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
考点一 勾股定理及其应用
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于D.(1)求AB的长；(2)求BD的长.
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理

(2)方法一：∵ S△ABC=AC•BC=AB•CD
∴ 20×15=25CD
∴ CD=12
在Rt△BCD中，根据勾股定理

方法二：设BD=x，则AD=25-x
在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据勾股定理
得 AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2
∴ AC2-AD2=BC2-BD2
即 202-(25-x)2=152-x2
解得 x=9，∴ BD=9
方法总结
对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高，常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.


针对训练
1.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )
A.8 B.4 C.6 D.无法计算
2.如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长为_____.
3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为_______.
4.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝8cm，c＝6cm，求△ABC的面积.
解：∵ a+b=8
∴ (a+b)2=64，即a2+b2+2ab=64
在Rt△ABC中，根据勾股定理得 a2+b2=c2=36
∴ 2ab=64-(a2+b2)=64-36=28
∴ ab=7
即△ABC的面积为7cm2.
例2 由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距(两棵树的水平距离)为12米，求这棵树原来的高度.
解：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D.
在Rt△BCD中，BC=13m，CD=12m，根据勾股定理
(m)
∴ AD=AB+BD=9(m)
在Rt△ACD中，根据勾股定理
(m)
∴ AC+AB=15+4=19(m)
答：这棵树原来的高度是19米.
针对训练
5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：如图，设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺.
在Rt△ABC中，BC=5尺，根据勾股定理
BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1) 2
25+x2=x2+2x+1
2x=24
解得 x=12
∴ AC=12尺，AD=13尺
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
6.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体
的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为
多少？
解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：
①沿ABB1A1和A1B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：

①在Rt△ABC1中，根据勾股定理得AC1==5
②在Rt△ACC1中，根据勾股定理得AC1==
③在Rt△AB1C1中，根据勾股定理得AC1==
∵ 5＜＜
∴ 沿路径①走路径最短，最短路径长为5.

7.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD=1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点，连接OA.
在Rt△ABO中，OA=2米，OB=CD=1.4米，根据勾股定理得
AB2=OA2-OB2=22-1.42=2.04
∵ 4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04＞1.96
∴ 卡车可以通过，但要小心.

8.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
(1)此时快艇航行了多少米(即AB的长)？
(2)距离哨所多少米(即OB的长)？
解：(1)根据题意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.
∴ AC=AO=500米，BC=OC
在Rt△AOC中，根据勾股定理得
OC===500(米)
∴ BC=OC=500(米)
∴ AB=AC+BC=(500+500)米
(2)在Rt△BOC中，根据勾股定理得
OB===500(米)
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例3 在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，，2c－b＝12，求△ABC的面积.
解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k
∵ 2c-b=12
∴ 10k-4k=12，解得 k=2
∴ a=6，b=8，c=10
∵ 62+82=102
∴ BC2+AC2=AB2
∴ △ABC为直角三角形
∴ △ABC的面积为×6×8=24
例4 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：根据题意画出右图
∴ BM=8×2=16(海里)，BP=15×2=30(海里)，MP=34(海里)
∵ 162+302=1156，342=1156
∴ BM2+BP2=MP2
∴ △MBP为直角三角形，即∠MBP=90°
∴ ∠1=180°-90°-60°=30°
∴ 乙船是沿着南偏东30°方向航行的
针对训练
9.下列各组数中，是勾股数的为( )
A.32、42、52 B.、、
C.0.3、0.4、0.5 D.30、40、50
10.命题“在同一个三角形中，等边对等角.”的逆命题是______________________________
是________(填“真命题”或“假命题”)
11.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有__________.

考点三 勾股定理与折叠问题
例5 如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.
解：∵ 长方形ABCD折叠，使点B与点D重合
∴ DE=BE
设AE=x cm，则DE=BE=(9-x)cm
在Rt△ABE中，根据勾股定理
AB2+AE2=BE2
即 32+x2=(9-x)2，解得x=4
∴ △ABE的面积为×3×4=6(cm2)
针对训练
12.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为________.