2022-2023学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. sin330°=(    )
A. 32 B. − 32 C. 12 D. −12
2. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为6，则它的体积为(    )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 24
3. 在复平面内，复数i2−i对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(    )
A. 7π10 B. 10π9 C. 9π D. 10π
5. 已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则(    )
A. f(x)在(−π2,−π6)上单调递减 B. f(x)在(−π4,π12)上单调递增
C. f(x)在(0,π3)上单调递减 D. f(x)在(π4,7π12)上单调递增
6. 若平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|等于(    )
A. 3 B. 2 3 C. 4 D. 12
7. 要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数y=sin(2x−π3)的图象(    )
A. 向左平移π3个单位 B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π6个单位 D. 向右平移π6个单位
8. 在△ABC中，内角A，B，C满足2sinBcosC=sinA，则△ABC的形状为(    )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
9. 在△ABC中，“tanAtanB=1”是“sin2A+sin2B=1”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 扇形AOB的半径为1，∠AOB=120°，点C在弧AB上运动，OC=xOA+yOB，下列说法错误的是(    )
A. x+y的最小值是1 B. x+y的最大值是2
C. CA⋅CB的取值范围为[−12,0] D. OC⋅AB的取值范围为[−1,1]
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知平面向量a=(2,k)，b=(3,2)，且a⊥b，则实数k=          ．
12. 若复数z=1−2i1+i，则z−= ______ ，|z|= ______ ．
13. 已知一个正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为______ ．
14. 函数f(x)=cos2x+sinx的值域是______ ．
15. 水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米.已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上一点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，经过t秒后，水车旋转到P点．
给出下列结论：
①在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为30秒；
②当t=[0,15]时，点P距水面的最大距离为6米；
③当t=10秒时，PP0=6；
其中所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(− 55,2 55)．
(Ⅰ)求sinα，cos(π−α)；
(Ⅱ)若角β满足tan(α−β)=13，求tan(2α−β)的值．
17. (本小题8.0分)
已知向量OA=(2,1)，OB=(3,−2)，OC=(6−m,−3−m)．
(1)若点A，B，C共线，求实数m的值；
(2)若△ABC为直角三角形，求实数m的值．
18. (本小题8.0分)
在△ABC中，(2a−c)cosB=bcosC．
(Ⅰ)求∠B的大小；
(Ⅱ)若b= 7，a+c=4，求△ABC的面积．
19. (本小题8.0分)
已知函数f(x)=sin(2x+φ)+cos2x(|φ|<π2)，−π12是f(x)的一个零点．
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)当x∈[−π6,π3]时，若曲线y=f(x)与直线y=m有2个公共点，求m的取值范围．
20. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠ABC=3π4，∠BAC=∠DAC，CD=2AB=4．
再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(Ⅰ)求sin∠BAC的值；
(Ⅱ)求∠ADC的大小．
①△ABC面积S△ABC=2；
②sin∠ACB= 1010．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：sin330°=sin(360°−30°)=−sin30°=−12，
故选：D．
由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：因为正四棱锥的底面边长为2，高为6，
所以正四棱锥的体积V=13Sh=13×2×2×6=8．
故选：B．
直接根据棱锥的体积公式求解即可．
本题考查了锥体体积的计算，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．
【解答】
解：∵复数z=i(2−i)=−i2+2i=1+2i，
∴复数对应的点的坐标是(1,2)，
这个点在第一象限，
故选A．
  
4.【答案】B 
【解析】解：l=nπR180=200π180=10π9，
故选：B．
根据弧长公式，l=nπR180，代入计算即可．
本题主要考查了弧长公式，属于基础题．

5.【答案】C 
【解析】解：f(x)=cos2x−sin2x=cos2x，周期T=π，
∴f(x)的单调递减区间为[kπ,π2+kπ](k∈Z)，单调递增区间为[π2+kπ,π+kπ](k∈Z)，
对于A，f(x)在(−π2,−π6)上单调递增，故A错误，
对于B，f(x)在(−π4,0)上单调递增，在(0,π12)上单调递减，故B错误，
对于C，f(x)在(0,π3)上单调递减，故C正确，
对于D，f(x)在(π4,π2)上单调递减，在(π2,7π12)上单调递增，故D错误，
故选：C．
利用二倍角公式化简得f(x)=cos2x，周期T=π，根据余弦函数的单调性可得f(x)的单调递减区间为[kπ,π2+kπ](k∈Z)，单调递增区间为[π2+kπ,π+kπ](k∈Z)，进而逐个判断各个选项的正误即可．
本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：因为平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0)，|b|=1，
所以|a|=2，a⋅b=|a|⋅|b|cosθ=2×1×cos60°=1，
所以|a+2b|= (a+2b)2= a2+4a⋅b+4b2= 4+4×1+4=2 3．
故选：B．
先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．
本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．

7.【答案】C 
【解析】解：函数y=sin(2x−π3)=sin[2(x−π6)]，
为了得到函数y=sin2x的图象，只需把函数y=sin(2x−π3)的图象向左平移π6个单位．
故选：C．
直接利用函数的图象的平移原则求解即可．
本题考查函数的图象的平移变换，属于基础题．

8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．
利用正弦定理，余弦定理化简已知等式可得b=c，从而可得结论．
【解答】
解：∵2sinBcosC=sinA，
∴a=2bcosC，
∴a=2b⋅a2+b2−c22ab，
∴b2=c2，
∴b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
故选：B．  
9.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查充分条件和必要条件的判断，同角三角函数的基本关系，两角和与差公式，属于中档题．
根据同角三角函数的基本关系，两角和与差公式以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可得解．
【解答】
解：在△ABC中，若tanAtanB=1，则sinAcosA⋅sinBcosB=1，
所以cosAcosB−sinAsinB=cos(A+B)=−cosC=0，则cosC=0，
又0 所以A+B=π2，则A=π2−B，
所以sinA=sin(π2−B)，所以sin2A=sin2(π2−B)=cos2B=1−sin2B，
所以sin2A+sin2B=1，
则“tanAtanB=1”是“sin2A+sin2B=1”的充分条件；
若sin2A+sin2B=1，则cos2A+cos2B=1，
则cos2Asin2A+cos2A+cos2Bsin2B+cos2B=1，
所以1tan2A+1+1tan2B+1=1，得tan2Atan2B=1，
解得tanAtanB=1或tanAtanB=−1，
所以“tanAtanB=1”不是“cos2A+cos2B=1”的必要条件，
所以“tanAtanB=1”是“cos2A+cos2B=1”的充分不必要条件．
故选A．
  
10.【答案】D 
【解析】解：以O为原点，以OA所在直线为x轴，过O作OA的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
设∠AOC=θ，则C(cosθ,sinθ)，其中0≤θ≤2π3，A(1,0)，B(−12, 32)，
∵OC=xOA+yOB，
∴cosθ=x−12ysinθ= 32y，即y=2 33sinθx=cosθ+ 33sinθ，
∴x+y=cosθ+ 3sinθ=2sin(θ+π6)，θ+π6∈[π6,5π6]，
∴当θ=π3时，x+y取得最大值2；x=0时，x+y取得最小值1，所以A正确；B正确；
而CA=(1−cosθ,−sinθ)，CB=(−12−cosθ, 32−sinθ)，
∴CA⋅CB=(−cosθ+1)(−12−cosθ)+( 32−sinθ)(−sinθ)
=12−12cosθ− 32sinθ=12−sin(θ+π6)，
∵0≤θ≤2π3，∴π6≤θ+π6≤5π6，∴12≤sin(θ+π6)≤1，
∴−12≤12−sin(θ+π6)≤0，
∴CA⋅CB的取值范围为[−12,0]，故C正确；
∵OC⋅AB=OC⋅(OB−OA)=(cosθ,sinθ)⋅(−32, 32)
=−32cosθ+ 32sinθ= 3sin(θ−π6)，
∵0≤θ≤2π3，∴−π6≤θ−π6≤π2，∴−12≤sin(θ−π6)≤1，
∴ 3sin(θ−π6)∈[− 32, 3]，
故D不正确．
故选：D．
建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，转化已知问题为三角函数的最值可判断结合选项逐一求解．
本题考查平面向量运算法则、向量数量积公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

11.【答案】−3 
【解析】
【分析】

根据a⊥b可得出a⋅b=0，然后进行数量积的坐标运算即可求出k的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：∵a⊥b，
∴a⋅b=6+2k=0，解得k=−3．
故答案为：−3．
  
12.【答案】−12+32i  102 
【解析】解：z=1−2i1+i=(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12(1−3i+2i²)=−12−32i，
则z−=−12+32i，|z|= (−12)2+(32)2= 102．
故答案为：−12+32i， 102．
先将复数z化简，再根据共轭复数，复数模的定义计算即可．
本题考查共轭复数，复数模的计算，属于基础题．

13.【答案】π2 
【解析】解：设正方体的棱长为a，则其外接球的半径R= 32a，
可得球的表面积S=4π×( 32a)2=3πa2；
正方体的求面积S1=6a2．
∴球的表面积与这个正方体的全面积之比为3πa26a2=π2．
故答案为：π2．
设正方体的棱长为a，求其外接球的半径，再求出球的表面积与正方体的全面积，则答案可求．
本题考查球的表面积公式与正方体全面积公式的应用，是基础题．

14.【答案】[−2,98] 
【解析】解：f(x)=cos2x+sinx=−2sin2x+sinx+1=−2(sinx−14)2+98
又sinx∈[−1,1]
∴当sinx=14时，函数f(x)取到最大值为98
当sinx=−1时，函数f(x)取到最小值为−2
综上函数f(x)=cos2x+sinx的值域是[−2,98]
故答案为：[−2,98]
函数f(x)=cos2x+sinx变为关于sinx的二次函数，再由二次函数的性质求值域
本题考查正弦函数的定义域和值域，求解本题关键是将函数变为关于sinx的二次函数，由配方法将本方，根据正弦函数的有界性判断出函数的最值，从而得出函数的值域，本题是三角函数求值域的题型中一个很重要的题型，其规律是转化为关于三角函数二次函数，将问题变为二次函数在闭区间上的最值问题

15.【答案】①③ 
【解析】解：以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x轴建立平面直角坐标系，
点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h=f(t)=Asin(ωt+φ)+B，
因为一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心O距离水面3米，
所以A+B=9−A+B=−3，
解得A=6，B=3，
因为水轮60秒转动一周，
此时ω=2π60=π30，
所以f(t)=6sin(π30t+φ)+3，
因为f(0)=0，
解得sinφ=−12，
因为0<φ<π，
所以φ=−π6，
可得f(t)=6sin(π30t−π6)+3．
对于①，易知f(t)=6sin(π30t−π6)+3>3，
因为0<π30t−π6<π，
所以5 则在转动一圈内，点P的高度在水面3米以上的持续时间为35−5=30秒，故①正确；
对于②，若t=[0,15]，
当t=15时，f(15)=6sin(π30×15−π6)+3=3 3+3>6，
所以点P距水面的最大距离大于6米，故②错误；
对于③，当t=10时，易知∠POP0=π3，
又OP=6，
所以PP0=6sinπ6+6sinπ6=6，故③正确，
综上，结论正确的有①③．
故答案为：①③．
由题意，以水轮所在平面为坐标平面，以水轮轴心O为坐标原点，以平行于水面的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时点P距离水面的高度h关于时间t的函数为h=f(t)=Asin(ωt+φ)+B，列出等式求出A和B的值，再利用周期和f(0)=0求出函数解析式，对结论进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查三角函数模型的应用，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力．

16.【答案】解：(Ⅰ)∵P(− 55,2 55)，
∴sinα=2 55，cosα=− 55，
∴cos(π−α)=−cosα= 55．
(Ⅱ)∵tanα=−2，tan(α−β)=13，
∴tan(2α−β)=tan[α+(α−β)]
=tanα+tan(α−β)1−tanαtan(α−β)=−1． 
【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，三角函数的诱导公式以及两角和的正切公式的应用，属于基础题．
(Ⅰ)利用三角函数的定义及诱导公式求解即可；
(Ⅱ)由三角函数的定义可求得tanα，再由tan(2α−β)=tan[α+(α−β)]，利用两角和的正切公式计算可得答案．

17.【答案】解：(1)向量OA=(2,1)，OB=(3,−2)，OC=(6−m,−3−m)．
故AB=(1,−3)，BC=(3−m,−1−m)，
故AB=λBC，
整理得：−1−m+3(3−m)=0，
故m=2．
(2)由于向量OA=(2,1)，OB=(3,−2)，OC=(6−m,−3−m)．
故AB=(1,−3)，BC=(3−m,−1−m)，AC=(4−m,−4−m)，
①当∠A为直角时，
所以AC⋅AB=0，
故4−m+3(4+m)=0，解得m=−8；
②当∠B为直角时，
AB⋅BC=0，
故4−m+2+3m=0，解得m=−3；
③当∠C为直角时，
所以AC⋅BC=0，
故2m2−2m+17=0，无解．
由①②③可知：m=−3或−8． 
【解析】(1)直接利用向量的线性运算和向量的共线的条件的应用建立方程，进一步求出m的值；
(2)利用分类讨论思想的应用和向量垂直的充要条件的应用求出m的值．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

18.【答案】解：(Ⅰ)已知在△ABC中，
由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
又(2a−c)cosB=bcosC，
所以(2sinA−sinC)cosB=sinBcosC，
整理得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，
因为0 所以sinA≠0，
解得cosB=12，
又0 则B=π3；
(Ⅱ)若b= 7，a+c=4，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−2ac−2accosB
即7=16−2ac(1+12)，
解得ac=3，
则S△ABC=12acsinB=3 34． 
【解析】(Ⅰ)由题意，利用正弦定理以及两角和与差公式进行整理，结合三角形内角和即可求解；
(Ⅱ)利用余弦定理以及所给信息求出ac，再代入三角形面积公式中即可求解．
本题考查解三角形以及正弦定理和余弦定理，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．

19.【答案】解：(Ⅰ)由题意f(−π12)=sin(−π6+φ)+cos(−π6)=0，即sin(−π6+φ)=− 32，
因为|φ|<π2，所以−π6+φ=−π3，
解得φ=−π6；
(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)=sin(2x−π6)+cos2x= 32sin2x−12cos2x+cos2x= 32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，
因为x∈[−π6,π3]时，则2x+π6∈[−π6,56π]，
所以曲线y=f(x)与直线y=m有2个公共点，
当2x+π6=π6或56π时，f(x)=12，
当2x+π6=π2时f(x)=1，
则m∈[12,1)．
所以m的取值范围是[12,1)． 
【解析】(Ⅰ)因为−π12是f(x)的一个零点，代入函数的解析式，再由φ的范围，可得它的值；
(Ⅱ)由x的范围，可得2x+π6的范围，进而求出曲线y=f(x)与直线y=m有2个公共点时的m的范围．
本题考查函数的性质的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．

20.【答案】解：(Ⅰ)选①：
由S△ABC=12AB×BC×sin∠ABC=2，得BC=2 2，
又由余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB×BC×cos∠ABC，得AC=2 5，
S△ABC=12AC×AB×sin∠BAC=2，
所以sin∠BAC= 55；
选②：在△ABC中sin∠ACB= 1010，所以cos∠ACB=3 1010，
sin∠BAC=sin(π−∠ABC−∠ACB)=sin(π4−∠ACB)
= 22×3 1010− 22× 1010= 55，
(Ⅱ)选①：
因为∠BAC=∠DAC，所以sin∠DAC=sin∠BAC= 55，
在△ADC中，由正弦定理可得CDsin∠DAC=ACsin∠ADC，解得sin∠ADC=12，
又因为AC×sin∠DAC=2 所以满足这样的三角形有两解，
所以∠ADC=π6或5π6．
选②：
在△ABC中，由正弦定理可得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，解得AC=2 5，
∵∠BAC=∠DAC，∴sin∠DAC=sin∠BAC= 55，
在△ADC中CDsin∠DAC=ACsin∠ADC解得sin∠ADC=12，
又因为AC×sin∠DAC=2 故满足这样的三角形有两解，
故∠ADC=π6或5π6． 
【解析】选①(Ⅰ)利用面积公式、余弦定理可得BC，AC，从而求解sin∠BAC的值；
   (Ⅱ)利用正弦定理可得sin∠ADC=12，利用AC×sin∠DAC=2 选②(Ⅰ)利用sin∠BAC=sin(π−∠ABC−∠ACB)=sin(π4−∠ACB)即可求解；
(Ⅱ)利用正弦定理可得sin∠ADC=12，利用AC×sin∠DAC=2 本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．