新高考版高考数学二轮复习（新高考版） 第1部分 专题突破 专题1　微重点1　函数的新定义问题课件PPT

这是一份新高考版高考数学二轮复习（新高考版） 第1部分 专题突破 专题1　微重点1　函数的新定义问题课件PPT，共59页。PPT课件主要包含了特征函数，专题强化练等内容，欢迎下载使用。

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！1、明确模拟练习的目的。检测知识的全面性，更是训练书写规范，表述准确的过程。2、查漏补缺，以“错”纠错。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。3、严格有规律地进行限时训练。平时如考试，并在速度体验中提高正确率。4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，可适当拓展高考中难点的训练。5、注重题后反思总结。及时处理问题，争取“问题不过夜”。6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
微重点1　函数的新定义问题
　　函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力.
(2022·郑州调研)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]也被称为“高斯函数”，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝[x＋1]－x，则下列说法中正确的是 A.f(x)是周期函数B.f(x)的值域是[0,1]C.f(x)在(0,1)上单调递增D.∀x∈R，[f(x)]＝0
可画出f(x)的图象，如图所示，
可得函数f(x)是周期为1的函数，且值域为(0,1]，在(0,1)上单调递减，故选项A正确，B，C错误；对于选项D，当x＝－1时，f(－1)＝1，则[f(－1)]＝1，故选项D错误.
德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创
A.f(x)的定义域为{0,1}B.f(x)的值域为[0,1]C.∃x∈R，f(f(x))＝0D.任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，故A，B错误；因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确.
(2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[0,1]
上，其解析式如下：R(x)＝
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋ ＝_____.
∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴f(2＋x)＝－f(2－x).又f(x)是奇函数，∴f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(4＋x)＝f(x)，∴f(x)的一个周期为4.∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，∴令x＝0，可得f(2)＝0，∴f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.
(多选)(2022·重庆八中调研)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的是 A.φ(5)＝φ(10)B.φ(2n－1)＝1C.φ(32)＝16D.φ(2n＋2)>φ(2n)，n∈N*
因为φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；因为当n＝4时，φ(15)≠1，故B不正确；因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17, 19,21,23,25,27,29,31，共有16个，所以φ(32)＝16，故C正确；因为当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确.
以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决.
(1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgn x＝
偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则
对于A选项，sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，A错；
对于C选项，对任意的k∈Z，f(2k＋1)＝f(1)＝1，则sgn[f(2k＋1)]＝sgn 1＝1，C对；对于D选项，取k＝2，则sgn[f(2)]＝sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，而|sgn 2|＝1，D错.
(2)(多选)(2022·滁州模拟)双曲函数是一类与三角函数类似的函数，在物理学众多领域中有着丰富的实际应用.最基本的双曲函数是双曲正弦函数 令f(x)＝sin hxcs hx，则下列结论正确的是 A.f(x)为偶函数B.f(x)为奇函数C.f(x)在(0，＋∞)上单调递增D.f(x)在(0，＋∞)上单调递减
故f(x)为奇函数，所以A错误，B正确；因为y＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝e－2x在(0，＋∞)上单调递减，
“新定义”函数的性质、运算法则等
(1)(多选)(2022·德州质检)定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为 A.f(x)＝x3 B.f(x)＝2xC.f(x)＝|x| D.f(x)＝ln|x|
设等比数列{an}的公比为q.
故f(x)＝x3是“保等比数列函数”；
故f(x)＝2x不是“保等比数列函数”；
故f(x)＝|x|是“保等比数列函数”；
故f(x)＝ln|x|不是“保等比数列函数”.
(2)(多选)函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1与x2，有 时，我们称函数g(x)在[a，b]上严格上凹，称函数g(x)在[a，b]上为凹函数，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.下列函数在所给定义域中“严格上凹”的有 A.f(x)＝lg2x(x>0)B.f(x)＝2e－x＋xC.f(x)＝－x3＋2x(x<0)D.f(x)＝sin x－x2(0由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足f″(x)>0在定义域内恒成立.对于A，f(x)＝lg2x(x>0)，
对于B，f(x)＝2e－x＋x，则f″(x)＝(－2e－x＋1)′＝2e－x>0恒成立，符合题意，故选项B正确；
对于C，f(x)＝－x3＋2x(x<0)，则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x>0在x<0时恒成立，符合题意，故选项C正确；对于D，f(x)＝sin x－x2(0利用函数的凹凸性可以考查函数值增减的快慢，即考查导函数的几何意义.进一步可以利用二阶导数来新定义凹凸函数：二阶导数在给定区间上恒为正值，则说明函数是凹函数，否则函数不是凹函数.
　 (1)(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0为函数f(x)的“新不动点”，给出下列函数，其中只有1个“新不动点”的函数是 A.g(x)＝B.g(x)＝－ex－2xC.g(x)＝ln xD.g(x)＝sin x＋2cs x
故函数g(x)有2个“新不动点”，不符合题意；对于B，g(x)＝－ex－2x，则g′(x)＝－ex－2，令－ex－2x＝－ex－2，得x＝1，故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意；
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，
故函数g(x)只有1个“新不动点”，符合题意；对于D，g(x)＝sin x＋2cs x，则g′(x)＝cs x－2sin x，令sin x＋2cs x＝cs x－2sin x，
因为函数y＝tan x的周期为π，
故函数g(x)有无数个“新不动点”，不符合题意.
(2)(多选)在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：①a★b＝b★a；②a★0＝a；③(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.若函数f(x)＝x★ ，则下列说法正确的是 A.函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3B.函数f(x)为奇函数C.函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)D.函数f(x)不是周期函数
对于新运算“★”的性质③，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.
∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故A正确；
函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)，且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误；
1.(2022·眉山模拟)四参数方程的拟合函数表达式为y＝ ＋d(x>0)，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增(或递减)的类似指数或对数曲线，或双曲线(如y＝x－1)，还可以是一条S形曲线，当a＝4，b＝－1，c＝1，d＝1时，该拟合函数图象是 A.类似递增的双曲线B.类似递增的对数曲线C.类似递减的指数曲线D.是一条S形曲线
2.设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数y＝f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x＝x0，则称(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y＝f(x)的图象的对称中心.若函数f(x)＝x3－3x2，则A.－8 086 B.－8 082C.8 084 D.8 088
因为函数f(x)＝x3－3x2，则f′(x)＝3x2－6x，f″(x)＝6x－6，令f″(x)＝0，解得x＝1，且f(1)＝－2，由题意可知，f(x)的拐点为(1，－2)，故f(x)的对称中心为(1，－2)，所以f(2－x)＋f(x)＝－4，
3.(2022·成都质检)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)＝ 则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”.若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论错误的是 A.fp(f(0))＝f(fp(0))B.fp(f(1))＝f(fp(1))C.fp(fp(2))＝f(f(2))D.fp(fp(3))＝f(f(3))
因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，
对于A，fp(f(0))＝f2(－1)＝2，f(fp(0))＝f(－1)＝1＋2－1＝2，所以A正确；对于B，fp(f(1))＝f2(－2)＝2，f(fp(1))＝f(－2)＝4＋4－1＝7，所以B错误；
对于C，fp(fp(2))＝f2(－1)＝2，f(f(2))＝f(－1)＝2，所以C正确；对于D，fp(fp(3))＝f2(2)＝－1，f(f(3))＝f(2)＝－1，所以D正确.
4.已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域为 ，那么就称函数f(x)为“D上的k类成功函数”.已知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则实数k的取值范围为 A.(0,2] B.[0,2]C.(0,2) D.(－2,2)
由题意知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，
即3x－x3＝k在(0，＋∞)上必有两个不相等的实数根.
设g(x)＝3x－x3，则原问题可转化为直线y＝k与函数g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点.因为g′(x)＝3－3x2，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，其图象如图所示，所以在(0，＋∞)上，g(x)max＝g(1)＝2.
5.(多选)(2022·南京质检)已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，对任意x∈R，有|f(x)|≤m|x|，则称f(x)为F函数.下列函数为F函数的是 A.f(x)＝x2B.f(x)＝sin x＋cs xD.f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－ f(x2)|≤2|x1－x2|
对于A，|f(x)|＝|x||x|，所以不存在实数m使得对任意x∈R有|f(x)|≤m|x|，故其不是F函数；对于B，f(x)＝sin x＋cs x，当x＝0时，f(0)＝1≥m×0，故|f(x)|≤m|x|不成立，故其不是F函数；
对于D，f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|，令x1＝x，x2＝0，由奇函数的性质知，f(0)＝0，故有|f(x)|≤2|x|，显然是F函数.
6.(多选)(2022·重庆市育才中学)若对于函数f(x)上任意一点A，都存在异于原点O的另一点B，使 ＝0，则称f(x)为“正交函数”.下列四个函数中是“正交函数”的为 A.f(x)＝x－2 B.f(x)＝cs x＋1C.f(x)＝ln x D.f(x)＝2x－2
由题意，要使f(x)为“正交函数”，则f(x)与y＝±x在相邻的象限上有交点即可，对于A，f(x)＝x－2与y＝±x的图象如图所示，符合题意；对于B，f(x)＝cs x＋1与y＝±x的图象如图所示，符合题意；对于C，f(x)＝ln x与y＝±x的图象如图所示，只有一个交点，不符合题意；
对于D，f(x)＝2x－2与y＝±x的图象如图所示，符合题意.
7.(2022·武汉质检)某学生在研究函数f(x)＝x3－x时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘一个函数g(x)后得到一个新函数h(x)＝g(x)f(x)，此时h(x)除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③h′(0)＝0.写出一个符合条件的函数解析式g(x)＝_______________.
因为f(x)＝x3－x为奇函数，h(x)＝g(x)f(x)为奇函数，所以g(x)为常函数或为偶函数，当g(x)＝1时，h(x)＝x3－x，则h′(x)＝3x2－1，此时h′(0)＝－1≠0，所以g(x)＝1不符合题意，当g(x)＝x2时，h(x)＝x5－x3，因为h(－x)＝(－x)5－(－x)3＝－(x5－x3)＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，h′(x)＝5x4－3x2，
所以h(x)为先增后减再增，因为h′(0)＝0，所以g(x)＝x2满足题意.
8.(2022·安康质检)高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕，仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最.对于高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，{x}表示实数x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，如{1.7}＝0.7，{－1.2}＝0.8.若函数y＝{x}－1＋lgax(a>0，且a≠1)有且仅有3个不同的零点，则实数a的取值范围是______.
函数y＝{x}－1＋lgax有且仅有3个零点，即y＝lgax的图象与函数y＝1－{x}的图象有且仅有3个交点.
画出函数y＝1－{x}的图象，如图所示，