黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题+

这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题+，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题单项选择共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（　　）
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U
2．（5分）对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为r1，r2，则r1＞r2是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．（5分）将5名学生分配到A，B，C，D，E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是（　　）
A．72 B．96 C．108 D．120
4．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B．ab＜b2 C．a2＜b2 D．﹣ab＜a2
5．（5分）如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（　　）

A．样本相关系数r变小
B．残差平方和变大
C．决定系数R2变大
D．解释变量x与响应变量 y的相关性变弱
6．（5分）现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）下列说法错误的是（　　）
A．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
B．若随机变量Y服从两点分布，且，则D（2Y）＝1
C．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.5x+1，则c，k的值分别是e，0.5
D．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
8．（5分）已知f（x）＝x2﹣2x+m，g（x）＝e2x﹣1﹣1，若对∀，使得f（x1）＝g（x2），则实数m的取值范围是（　　）
A．[2，e2﹣4] B．[1，e2﹣5] C．[2，e2﹣5] D．[1，e2﹣4]
二、本题为多项选择，共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知x，y是正数，且x+y＝2，下列叙述正确的是（　　）
A．xy最大值为1 B．2x+2y有最大值4
C．的最大值为2 D．的最小值为9
（多选）10．（5分）对于离散型随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X），下列说法正确的是（　　）
A．E（X）反映随机变量的平均取值
B．D（X）越小，说明X越集中于E（X）
C．E（aX+b）＝aE（X）+b
D．D（aX+b）＝a2D（X）+b
（多选）11．（5分）下列命题中，正确的命题是（　　）
A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则
B．已知，则n＝27
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.85），则当X＝9时概率最大
（多选）12．（5分）一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过，第一次从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记此时盒子中已使用过的球的个数为X，第二次从盒子中任取2个球，设其中新球的个数为随机变量Y，则（　　）
A．X的所有可能取值是3，4，5
B．E（X）＝
C．P（Y＝2|X＝5）＝
D．P（Y＝2）＝
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）命题“∃x＜0，x2+2x﹣1＞0”的否定是 　 　．
14．（5分）设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|＝1）＝　 　．
X
1
2
3
4
P

m


15．（5分）已知某批零件的长度误差X服从正态分布N（μ，σ2），其密度函数φμ，σ（x）＝的曲线如图所示，则σ＝　 　；从中随机取一件，其长度误差落在[﹣6，﹣3]内的概率约为 　 　.（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，
P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973）

16．（5分）定义：在等式N+）中，把叫做三项式（x2+x﹣2）n的n次系数列（如三项式的1次系数列是1，1，﹣2）．则
（1）三项式（x2+x﹣2）n的2次系数列各项之和等于　 　；
（2）D＝　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分（17题10分，18至22题每题12分）.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan＝n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）已知cn＝，k∈N*，求数列{cn}的前20项和．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，点N为BC中点．
（1）证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；
（2）求平面CPD与平面NPD所成角的正弦值．

19．（12分）“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性
女性
合计
爱好
10


不爱好

8

合计


30
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是．
参考公式：χ2＝，n＝a+b+c+d．
附表：
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？
（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．
21．（12分）已知函数．
（1）若f（x）在（2，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若a＞2时，f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：．
22．（12分）习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如表：
敬老院
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
满意度x（%）
20
34
25
19
26
20
19
24
19
13
投资原y（万元）
80
89
89
78
75
71
65
62
60
52
（1）求投资额y关于满意度x的相关系数；
（2）我们约定：投资额y关于满意度x的相关系数r的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱．如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）．求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额y关于满意度x的线性回归方程（系数精确到0.1）．
参考数据：，，，，．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），⋅⋅⋅，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．线性相关系数．

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题单项选择共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝（　　）
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U
【答案】A
【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．
【解答】解：由于∁UN＝{2，4，8}，
所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：集合的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
2．（5分）对两组呈线性相关的变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组和第二组对应的线性相关系数分别为r1，r2，则r1＞r2是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】由题意，根据相关系数的定义以及充要条件的判断进行分析，进而即可求解．
【解答】解：因为第一组和第二组对应的线性相关系数分别为r1，r2，
但不清楚r1和r2的正负情况，
所以不能推出第一组变量比第二组变量相关程度强，
若第一组变量比第二组变量相关程度强，
此时|r1|＞|r2|，
则r1＞r2＞0或r1＜r2＜0，
所以r1＞r2是第一组变量比第二组变量线性相关程度强的既不充分也不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查相关系数和充要条件的判断，考查了逻辑推理能力．
3．（5分）将5名学生分配到A，B，C，D，E这5个社区参加义务劳动，每个社区分配1名学生，且学生甲不能分配到A社区，则不同的分配方法种数是（　　）
A．72 B．96 C．108 D．120
【答案】B
【分析】根据题意，分2步进行分析：①分析甲的安排数目，②剩下的4人安排到其余4个社区，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①学生甲不能分配到A社区，则甲有4种安排方法，
②剩下的4人安排到其余4个社区，则有＝24种分配方法，
则有4×24＝96种分配方法，
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
4．（5分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B．ab＜b2 C．a2＜b2 D．﹣ab＜a2
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质即可判断各选项．
【解答】解：选项A，由a＜b＜0，可得，故A错误；
选项B，因为a＜b，b＜0，所以ab＞b2，故B错误；
选项C，由a＜b＜0，可得﹣a＞﹣b＞0，则（﹣a）2＞（﹣b）2，即a2＞b2，故C错误；
选项D，由a＜b＜0，可得a2＞ab＞0，则a2＞﹣ab成立，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的基本性质，属基础题．
5．（5分）如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法正确的是（　　）

A．样本相关系数r变小
B．残差平方和变大
C．决定系数R2变大
D．解释变量x与响应变量 y的相关性变弱
【答案】C
【分析】由题意，根据散点图所给信息，分析数据即可判断相关系数，相关指数和残差平方和的变化情况，结合选项进行判断即可．
【解答】解：由散点图可知，只有D（3，10）偏离直线最远，
当去掉D（3，10）后，x和y的相关性变强，且为正相关，
所以r变大，R2变大，残差平方和变小．
故选：C．
【点评】本题考查了相关系数，考查了逻辑推理和数据分析．
6．（5分）现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则P（B|A）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】条件概率，先求出A事件数，再求出B事件数，利用古典概型概率公式求解．
【解答】解：由题意可得：事件A基本事件数，＝9；
事件B的基本事件数，＝3；
所以P（B|A）＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查统计与概率，条件概率的计算，属于基础题．
7．（5分）下列说法错误的是（　　）
A．对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.8995，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝﹣0.9568，则变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
B．若随机变量Y服从两点分布，且，则D（2Y）＝1
C．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝lny，将其变换后得到线性方程z＝0.5x+1，则c，k的值分别是e，0.5
D．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
【答案】D
【分析】对于A，由|r|越接近于1时，成对样本数据的线性相关程度越强，
|r|越接近于0时，成对样本数据的线性相关程度越弱，可判断正确；
对于B，由两点分布的期望与方差公式，和D（aX+b）＝a2D（X），可判断；
对于C，由对数的运算性质可求c，k的值；
对于D，由回归直线相关知识可判断．
【解答】解：A：r1＞0，r2＜0，|r1|＜|r2|，因此A正确．
B：由题可知：，，D（2Y）＝4D（Y）＝1．因此B正确．
C：对y＝cekx两边同时取对数，得到lny＝lncekx＝lnc+kx，
设z＝lny，则z＝lnc+kx＝0.5x+1，即k＝0.5，c＝e，因此C正确．
D：回归直线方程恒过样本中心点，但不一定过样本点．因此D错误．
故选：D．
【点评】本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
8．（5分）已知f（x）＝x2﹣2x+m，g（x）＝e2x﹣1﹣1，若对∀，使得f（x1）＝g（x2），则实数m的取值范围是（　　）
A．[2，e2﹣4] B．[1，e2﹣5] C．[2，e2﹣5] D．[1，e2﹣4]
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，求得f（x）在[0，3]上的值域A＝[m﹣1，m+3]，再根据指数函数的性质可得g（x）在[，]上的值域B＝[0，e2﹣1]，由A⊆B求解即可．
【解答】解：因为f（x）＝x2﹣2x+m，
所以当x∈[0，3]时，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝m﹣1，
又f（0）＝m，f（3）＝m+3＞m，
所以f（x）max＝f（3）＝m+3，
所以f（x）在[0，3]上的值域A＝[m﹣1，m+3]；
又因为g（x）＝e2x﹣1﹣1，易知g（x）在定义域R上单调递增，
当x∈[，]时，g（x）的值域B＝[0，e2﹣1]，
由题意可知A⊆B，
所以，
解得1≤m≤e2﹣4．
所以m的取值范围为[1，e2﹣4]．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质、指数函数的性质及转化思想，属于中档题．
二、本题为多项选择，共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知x，y是正数，且x+y＝2，下列叙述正确的是（　　）
A．xy最大值为1 B．2x+2y有最大值4
C．的最大值为2 D．的最小值为9
【答案】AC
【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：∵x，y是正数，，当且仅当x＝y时取等号，此时xy≤1，故A正确；
2x+2y＝2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故B错误；
因为，则，当且仅当x＝y＝1时取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当y＝2x时取等号，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）10．（5分）对于离散型随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X），下列说法正确的是（　　）
A．E（X）反映随机变量的平均取值
B．D（X）越小，说明X越集中于E（X）
C．E（aX+b）＝aE（X）+b
D．D（aX+b）＝a2D（X）+b
【答案】ABC
【分析】根据离散型随机变量的期望和方差表示的意义，以及期望与方程的性质，可直接判断出结果．
【解答】解：离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即AB正确；
由期望和方差的性质可得，E（aX+b）＝aE（X）+b，D（aX+b）＝a2D（X），即C正确，D错；
故选：ABC．
【点评】本题考查了离散型随机变量期望与方差的性质，属于基础题．
（多选）11．（5分）下列命题中，正确的命题是（　　）
A．已知随机变量服从二项分布B（n，p），若E（x）＝30，D（x）＝20，则
B．已知，则n＝27
C．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.85），则当X＝9时概率最大
【答案】BCD
【分析】直接利用二项分布的应用，排列数和组合数，正态分布的应用，独立重复试验的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：已知随机变量服从二项分布B（n，p），
若E（x）＝np＝30，D（x）＝np（1﹣p）＝20，所以p＝，故A错误；
对于B：已知A＝C，整理得，则n＝27，故B正确；
对于C：随机变量ξ服从正态分布N（0，1），
若P（ξ＞1）＝p，则P（0＜ξ＜1）＝P（﹣1＜ξ＜0）＝﹣p，故C正确，
对于D：某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B（10，0.85），
所以P（x＝k）＝，
所以＝＝，
解得1≤k≤9.35，
即当k＝9时，概率取得最大值，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识要点：二项分布的应用，排列数和组合数，正态分布的应用，独立重复试验的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）一盒中有7个乒乓球，其中5个未使用过，2个已使用过，第一次从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中，记此时盒子中已使用过的球的个数为X，第二次从盒子中任取2个球，设其中新球的个数为随机变量Y，则（　　）
A．X的所有可能取值是3，4，5
B．E（X）＝
C．P（Y＝2|X＝5）＝
D．P（Y＝2）＝
【答案】AC
【分析】求得X的可能取值及对应概率，求得期望可判断A，B；根据条件概率公式可判断C，根据古典概型公式可判断D．
【解答】解：由题意得，X的可能取值为3，4，5，A正确；
P（X＝3）＝，P（X＝4）＝，P（X＝5）＝，E（X）＝，B错误；
P（Y＝2|X＝5）＝，C正确；
P（Y＝2）＝P（Y＝2|X＝3）+P（Y＝2|X＝4）+P（Y＝2|X＝5）＝++＝，D正确．
故选：AC．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）命题“∃x＜0，x2+2x﹣1＞0”的否定是 　∀x＜0，x2+2x﹣1≤0　．
【答案】∀x＜0，x2+2x﹣1≤0．
【分析】由存在量词命题的否定可得出结论．
【解答】解：命题“∃x＜0，x2+2x﹣1＞0”为存在量词命题，
该命题的否定为“∀x＜0，x2+2x﹣1≤0”．
故答案为：∀x＜0，x2+2x﹣1≤0．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
14．（5分）设随机变量X的概率分布列如表，则P（|X﹣3|＝1）＝　　．
X
1
2
3
4
P

m


【答案】．
【分析】根据题意，由X的分布列分析可得P（|X﹣3|＝1）＝P（X＝2）+P（X＝4）＝1﹣[P（X＝1）+P（X＝3）]，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，P（|X﹣3|＝1）＝P（X＝2）+P（X＝4）＝1﹣[P（X＝1）+P（X＝3）]＝1﹣﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，注意概率的性质，属于基础题．
15．（5分）已知某批零件的长度误差X服从正态分布N（μ，σ2），其密度函数φμ，σ（x）＝的曲线如图所示，则σ＝　3　；从中随机取一件，其长度误差落在[﹣6，﹣3]内的概率约为 　0.1359　.（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，
P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973）

【答案】3；0.1359．
【分析】直接由密度函数解析式可得σ的值；再由σ与2σ原则求解长度误差落在[﹣6，﹣3]内的概率．
【解答】解：由图中密度函数解析式，可得σ＝3；
又由图象可知μ＝0，则长度误差落在[﹣6，﹣3]内的概率为：
P（﹣6≤X≤﹣3）＝σ≤ξ≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ≤ξ≤μ+σ）]
＝．
故答案为：3；0.1359．
【点评】本题考查正态分布密度曲线的性质，属于中档题．
16．（5分）定义：在等式N+）中，把叫做三项式（x2+x﹣2）n的n次系数列（如三项式的1次系数列是1，1，﹣2）．则
（1）三项式（x2+x﹣2）n的2次系数列各项之和等于　0　；
（2）D＝　﹣20　．
【答案】（1）0
（2）﹣20
【分析】（1）根据n次系数列的定义，令x＝1即可得系数之和．
（2）根据定义得D为x5的系数，然后进行计算即可．
【解答】解：（1）三项式（x2+x﹣2）n的2次系数列为（x2+x﹣2）2，
则令x＝1得三项式（x2+x﹣2）n的2次系数列各项之和等于（1+1﹣2）2＝0，
（2）当n＝4时，三项式为（x2+x﹣2）4，则D为x5的系数，
∵（x2+x﹣2）4＝（x﹣1）4（x+2）4＝（1﹣x）4（2+x）4，
∴（1﹣x）4的通项公式为（﹣x）k，∴（2+x）4的通项公式为24﹣rxr，
∴x5的系数为•C23﹣+•2﹣＝32﹣96+48﹣4＝﹣20．
即D＝﹣20
【点评】本题主要考查二项式定理的综合应用，结合新定义，利用展开式的通项公式是解决本题的关键．考查学生的理解应用能力．
四、解答题：本大题共6小题，共70分（17题10分，18至22题每题12分）.解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan＝n．
（1）求{an}的通项公式；
（2）已知cn＝，k∈N*，求数列{cn}的前20项和．
【答案】（1）数列{an}的通项公式为；
（2）数列{cn}的前20项和为5．
【分析】（1）根据数列的递推式，当n＝1时，求出a1＝1，当n≥2时，a1+2a2+⋅⋅⋅+（n﹣1）an﹣1＝n﹣1，作差即可得出答案；
（2）由（1）得，利用分组求和法，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵a1+2a2+…+nan＝n①，
∴当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，a1+2a2+⋅⋅⋅+（n﹣1）an﹣1＝n﹣1②，
由①﹣②得（n≥2），
当n＝1时，a1＝1满足，
∴数列{an}的通项公式为；
（2）由（1）得，cn＝，k∈N*，
∴，
，
+＝5，
故数列{cn}的前20项和为5．
【点评】本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，点N为BC中点．
（1）证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；
（2）求平面CPD与平面NPD所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解答；（2）．
【分析】（1）取，利用平行线分线段成比例和平行四边形的性质，结合线面平行的判定可证得MQ∥平面PAB，QN∥平面PAB，由面面平行的判定与性质可证得结论；
（2）以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得所求角的余弦值，由余弦值可求得正弦值．
【解答】解：（1）证明：在AD上取一点Q，使得，连接MQ，NQ，
∵，∴MQ∥AP，又MQ⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MQ∥平面PAB；
∵，，AD∥BC，
∴AQ∥BN，AQ＝BN，∴四边形ABNQ为平行四边形，
∴AB∥QN，又QN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴QN∥平面PAB，又MQ∩QN＝Q，MQ，QN⊂平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAB，又MN⊂平面MNQ，
∴MN∥平面PAB；
（2）由题意可建立如图的空间右手直角坐标系，
则C（2，2，0），P（0，0，3），D（0，3，0），N（2，1，0），
∴，，，
设平面CPD的法向量，
则，令z1＝2，
解得y1＝2，x1＝1，∴；
设平面NPD的法向量，
则，令x2＝1，
解得y2＝1，z2＝1，∴；
∴，
∴平面CPD与平面NPD所成角的正弦值为．


【点评】本题考查面面平行的判定定理与性质定理，向量法解二面角，空间向量的夹角公式，属中档题．
19．（12分）“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性
女性
合计
爱好
10


不爱好

8

合计


30
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是．
参考公式：χ2＝，n＝a+b+c+d．
附表：
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析爱好运动与否与性别是否有关？
（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．
【答案】（1）2×2列联表见解析；爱好运动与否与性别没有关系；
（2）X的分布列为：
X
0
1
2
P



E（X）＝．
【分析】（1）根据题意完成2×2列联表，求得X2，与观测值表进行比较，即可得出结论；
（2）求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，爱好运动的员工共有30×＝16人，由表中男爱好运动的员工为10人，可得女爱好运动的员工有6人，
故可得如下2×2列联表：

男性
女性
合计
爱好
10
6
16
不爱好
6
8
14
合计
16
14
30
零假设为H0：爱好运动与否与性别没有关系，
，
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即接受H0，即认为爱好运动与否与性别没有关系．
（2）X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



X的数学期望为：
．
【点评】本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于C的焦点在x轴上且长轴为4，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），把点代入椭圆的方程可得，解出即可．
（2）设P（m，0）（﹣2≤m≤2），由于直线l方向向量，可得直线l的方程是．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用两点间的距离公式即可证明．
【解答】（1）解：∵C的焦点在x轴上且长轴为4，
故可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
∵点在椭圆C上，∴，
解得b2＝1，
∴椭圆C的方程为．
（2）证明：设P（m，0）（﹣2≤m≤2），
∵直线l方向向量，
∴直线l的方程是，
联立⇒2x2﹣2mx+m2﹣4＝0（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，
∴x1+x2＝m，，
∴＝＝
＝（定值）．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
21．（12分）已知函数．
（1）若f（x）在（2，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；
（2）若a＞2时，f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：．
【答案】（1）实数a的取值范围是（−∞，]；
（2）详见证明过程．
【分析】（1）根据单调性可知x2﹣ax+1≥0在（2，+∞）上恒成立，利用分离变量法可得a≤x+，由h（x）＝x+＞h（2）可得结果；
（2）设0＜x1＜x2，则x2＞1，将所证不等式转化为−x2+2lnx2＜0，令g（x）＝−x+2lnx（x＞1），利用导数可求得g（x）＜0，由此可证得结论．
【解答】解：（1）∵，
∴f′（x）＝−−1+＝−，
又f（x）在区间（2，+∞）上单调递减，
∴−≤0在（2，+∞）上恒成立，
即x2﹣ax+1≥0在（2，+∞）上恒成立，
∴a≤x+在（2，+∞）上恒成立，
设h（x）＝x+，则h′（x）＝1−，
当x＞2时，h′（x）＞0，∴h（x）单调递增，
∴h（x）＞h（2）＝，
∴a≤，即实数a的取值范围是（−∞，]；
证明：（2）由（1）知：x1，x2满足x2﹣ax+1＝0，∴x1x2＝1，
不妨设0＜x1＜x2，则x2＞1，
∴＝−2+a•＝−2+a•，
则要证，即证a•＜a，
即证2lnx2＜x2−，也即证−x2+2lnx2＜0成立，
设函数g（x）＝−x+2lnx，则g′（x）＝−−1+＝−＜0，
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，又g（1）＝0，
∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，
∴−x2+2lnx2＜0，即．
【点评】本题考査导数在函数中的综合应用问题，涉及到已知单调性求解参数范围、利用导数证明不等式等知识；证明不等式的关键是能够将双变量的问题转化为单一变量的问题，从而将不等式证明转化为关于单一变量的函数最值的求解问题，属于难题．
22．（12分）习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶”上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如表：
敬老院
A
B
C
D
E
F
G
H
I
K
满意度x（%）
20
34
25
19
26
20
19
24
19
13
投资原y（万元）
80
89
89
78
75
71
65
62
60
52
（1）求投资额y关于满意度x的相关系数；
（2）我们约定：投资额y关于满意度x的相关系数r的绝对值在0.75以上（含0.75）是线性相关性较强，否则，线性相关性较弱．如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制（即满意度最低的敬老院市财政不再继续投资，改为区财政投资）．求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额y关于满意度x的线性回归方程（系数精确到0.1）．
参考数据：，，，，．
附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），⋅⋅⋅，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．线性相关系数．
【答案】（1）r≈0.72；（2）．
【分析】（1）直接由相关系数公式求解r值；
（2）由（1）可知，r＝0.72＜0.75，则投资额y关于满意度x没有达到较强线性相关，所以要“末位淘汰”掉K敬老院．再由最小二乘法求解与的值，可得线性回归方程．
【解答】解：（1）已知 ，，
，，
∴r＝＝；
（2）由（1）可知，r＝0.72＜0.75，则投资额y关于满意度x没有达到较强线性相关，
所以要“末位淘汰”掉K敬老院．
重新计算得，，
+10×21.92﹣132﹣9×22.892≈200.43，
，
∴，
．
∴所求线性回归方程为．
【点评】本题考查线性相关系数与线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．