2021-2022学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市远方中学高二(下)期中数学试卷
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一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(4分)已知函数f(x)=lnx+mx,若f'(2)=1,则m=( )
A.﹣1 B. C. D.1
2.(4分)函数f(x)=2sinx+ex,则f'(0)的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(4分)若=36,则n的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
4.(4分)=( )
A.9 B.12 C.14 D.4
5.(4分)2022年6月成都将举办第31届世界大学生夏季运动会,现有4名同学分别到东安湖体育公园、凤凰山体育公园、四川省体育馆这三个场馆做志愿者,每名同学只能去1个场馆,东安湖体育公园安排1名,凤凰山体育公园安排1名,四川省体育馆安排2名,则不同的安排方法共有( )
A.6种 B.12种 C.24种 D.48种
6.(4分)“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目.假设在这些栏目中,周一“看党史”栏目更新了3篇文章,“听原著”栏目更新了4个音频.一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习,则这2篇文章学习顺序相邻的学法有( )
A.216种 B.108种 C.72种 D.54种
7.(4分)已知f(x)=ax3+3x2+2,且f′(﹣1)=4,则实数a的值为( )
A. B. C. D.
8.(4分)复数z=2﹣i(i是虚数单位)的虚部为( )
A.﹣i B.i C.﹣1 D.2
9.(4分)若复数z满足=1+i,其中i是虚数单位,则z=( )
A.3﹣2i B.3+i C.2+3i D.2﹣i
10.(4分)抛物线y=x2的焦点到准线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.
11.(4分)双曲线x2﹣y2=2的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
12.(4分)已知向量=(1,1,2k),=(﹣1,0,﹣1),=(0,2,1),且向量与互相垂直,则k的值是( )
A.1 B.﹣2 C.﹣4 D.0
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(4分)函数在点(1,f(1))处的切线的方程为 .
14.(4分)2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”与冬残奥会吉祥物“雪容融”,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受全国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”和4个不同造型的“雪容融”的吉祥物展示在柜台上,要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列,则不同的排列方法有 种.(用数字作答)
15.(4分)若双曲线的离心率为2,则双曲线C的焦距为 .
16.(4分)是的 条件.
三、解答题(本题共6道小题,共56分)
17.(8分)用0,1,2,3,…,9十个数字可组成多少个不同的.
(1)三位数?
(2)无重复数字的三位数?
(3)小于500且没有重复数字的自然数?
18.(10分)如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD﹣A'B'C'D',且AB=1,BC=2,AA'=2,求直线B'C与平面B'BDD'所成角的正弦值.
19.(10分)设z1=3﹣2i,z2=5+4i,求z1+z2,z1z2,值.
20.(8分)7人排成一排照相,按下列情况各有多少种不同的排法?
(1)甲、乙、丙3人相邻;
(2)甲、乙、丙3人不相邻.
21.(10分)已知函数f(x)=﹣x3+ax,
(1)求a=3时,函数f(x)的单调区间;
(2)求a=12时,函数f(x)的极值.
22.(10分)已知椭圆C的一个焦点F2(1,0),且短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上,且∠PF1F2=90°(F1为椭圆的另一个焦点),求△PF1F2的面积.
2021-2022学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市远方中学高二(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(4分)已知函数f(x)=lnx+mx,若f'(2)=1,则m=( )
A.﹣1 B. C. D.1
【答案】C
【分析】先求导,再构建方程求解.
【解答】解:∵,∴,∴m=,
故选:C.
【点评】本题考查导数的基本计算,方程思想,属基础题.
2.(4分)函数f(x)=2sinx+ex,则f'(0)的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【分析】根据导数的公式即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)=2sinx+ex,
∴f′(x)=2cosx+ex,
∴f'(0)=2+1=3,
故选:D.
【点评】本题主要考查导数的基本运算,比较基础.
3.(4分)若=36,则n的值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】C
【分析】直接利用组合数公式展开求解即可.
【解答】解:由题意可得=36,即n2﹣n﹣72=0,
解得n=﹣8(舍去)或n=9,
故选:C.
【点评】本题考查了组合数公式,是基础题.
4.(4分)=( )
A.9 B.12 C.14 D.4
【答案】C
【分析】结合排列数与组合数的公式,即可求解.
【解答】解:=.
故选:C.
【点评】本题主要考查排列数与组合数的公式,属于基础题.
5.(4分)2022年6月成都将举办第31届世界大学生夏季运动会,现有4名同学分别到东安湖体育公园、凤凰山体育公园、四川省体育馆这三个场馆做志愿者,每名同学只能去1个场馆,东安湖体育公园安排1名,凤凰山体育公园安排1名,四川省体育馆安排2名,则不同的安排方法共有( )
A.6种 B.12种 C.24种 D.48种
【答案】B
【分析】先安排东安湖体育公园,再安排凤凰山体育公园,最后安排四川省体育馆即可.
【解答】解:先从4名同学中选1名安排到东安湖体育公园,有=4种选法,
再从剩余的3名同学中选1名安排到凤凰山体育公园,有=3种选法,
最后将剩下的2名同学安排到四川省体育馆,有=1种选法,
由分步乘法计数原理:共有4×3×1=12种不同的安排方法;
故选:B.
【点评】本题考查了分步乘法计数原理的应用,属于基础题.
6.(4分)“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目.假设在这些栏目中,周一“看党史”栏目更新了3篇文章,“听原著”栏目更新了4个音频.一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习,则这2篇文章学习顺序相邻的学法有( )
A.216种 B.108种 C.72种 D.54种
【答案】A
【分析】根据题意,分2步进行分析:①,在4个视频中任选2个进行学习,②,2篇文章的选法,由这2篇文章学习顺序相邻,利用分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分2步进行分析:
①,在4个音频中任选2个进行学习,有=6种情况,
②,选出的2篇文章有=6种情况,
则这2篇文章学习顺序相邻的学法有=216种;
故选:A.
【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于中档题.
7.(4分)已知f(x)=ax3+3x2+2,且f′(﹣1)=4,则实数a的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先对函数求导,然后把x=﹣1代入即可求解.
【解答】解:f′(x)=3ax2+6x,
则f′(﹣1)=3a﹣6=4,
所以a=.
故选:D.
【点评】本题主要考查了函数的求导,属于基础题.
8.(4分)复数z=2﹣i(i是虚数单位)的虚部为( )
A.﹣i B.i C.﹣1 D.2
【答案】C
【分析】直接利用复数的基本概念得答案.
【解答】解:复数z=2﹣i的虚部为﹣1.
故选:C.
【点评】本题考查复数的基本概念,是基础的概念题.
9.(4分)若复数z满足=1+i,其中i是虚数单位,则z=( )
A.3﹣2i B.3+i C.2+3i D.2﹣i
【答案】A
【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:由=1+i,得z+i=(1+i)(1﹣2i)=1﹣2i+i+2=3﹣i,
∴z=3﹣2i.
故选:A.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.
10.(4分)抛物线y=x2的焦点到准线的距离为( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程,进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离.
【解答】解:抛物线y=x2可知焦点F(0,1),准线方程y=﹣1,
∴焦点到准线的距离是1+1=2.
故选:B.
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用,属基础题.
11.(4分)双曲线x2﹣y2=2的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
【答案】A
【分析】由双曲线方程可得a2=2,b2=2,又c2=a2+b2=4,由离心率e=即可求解..
【解答】解:因为双曲线方程为=1,
所以a2=2,b2=2,
所以c2=a2+b2=4,
所以双曲线的离心率e==,
故选:A.
【点评】本题考查双曲线的方程、离心率,属于基础题.
12.(4分)已知向量=(1,1,2k),=(﹣1,0,﹣1),=(0,2,1),且向量与互相垂直,则k的值是( )
A.1 B.﹣2 C.﹣4 D.0
【答案】B
【分析】先求出=(3,1,k+2),再由向量与互相垂直,列方程能求出k.
【解答】解:∵向量=(1,1,2k),,,
∴=(3,1,2k+2),
∵向量与互相垂直,
∴=0+2+2k+2=0,
解得k=﹣2.
故选:B.
【点评】本题主要考查了空间向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识,考查推理论证能力,是基础题.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(4分)函数在点(1,f(1))处的切线的方程为 5x﹣2y﹣2=0 .
【答案】5x﹣2y﹣2=0.
【分析】求出原函数的导函数,得到函数在x=1处的导数值,再求出f(1)的值,利用直线方程的点斜式得答案.
【解答】解:由,得f′(x)=,
则,又f(1)=,
∴在点(1,f(1))处的切线的方程为,
即5x﹣2y﹣2=0,
故答案为:5x﹣2y﹣2=0.
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,关键是熟记基本初等函数的导函数,是基础题.
14.(4分)2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”与冬残奥会吉祥物“雪容融”,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受全国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”和4个不同造型的“雪容融”的吉祥物展示在柜台上,要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列,则不同的排列方法有 144 种.(用数字作答)
【答案】144.
【分析】根据题意,“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列,先排3个不同造型的“冰墩墩”,再将4个不同造型的“雪容融”依次安排在雪容融的空位中,由分步乘法计数原理求解即可.
【解答】解:根据题意,“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列,
先排4个不同造型的“雪容融”,
再将3个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中,
有=144种排法.
故答案为:144.
【点评】本题考查排列组合的应用,涉及分步乘法计数原理的应用,属于基础题.
15.(4分)若双曲线的离心率为2,则双曲线C的焦距为 .
【答案】.
【分析】设双曲线的焦距为2c(c>0),由题意建立关于a,c的方程组,解出即可得到答案.
【解答】解:设双曲线的焦距为2c(c>0),则由题意可得,解得,
∴双曲线的焦距为.
故答案为:.
【点评】本题考查双曲线的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
16.(4分)是的 充分不必要 条件.
【答案】充分不必要.
【分析】根据题意,由向量相等的定义分析可得答案.
【解答】解:根据题意,若,即与方向相同且,
反之,若,不一定有,
故是的充分不必要条件,
故答案为:充分不必要.
【点评】本题考查向量相等的性质,涉及充分必要条件的判断,属于基础题.
三、解答题(本题共6道小题,共56分)
17.(8分)用0,1,2,3,…,9十个数字可组成多少个不同的.
(1)三位数?
(2)无重复数字的三位数?
(3)小于500且没有重复数字的自然数?
【答案】(1)900个.
(2)648个.
(3)379个.
【分析】分别根据分步计数原理可求出(1),(2),根据分类计数原理可可求出(5).
【解答】解:(1)百位不能为0,有9种选法,十位和个位各有10种选法,
故有9×10×10=900种,.
(2)百位上的数字有9种选法,
十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法,
个位上的数字应从剩余8个数字中选取,
所以共有9×9×8=648个无重复数字的三位数.
(3)满足条件的一位自然数有10个,
两位自然数有9×9=81个,
三位自然数有4×9×8=288个,
由加法计数原理知共有10+81+288=379个小于500且无重复数字的自然数.
【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,考查计算能力,属于基础题.
18.(10分)如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD﹣A'B'C'D',且AB=1,BC=2,AA'=2,求直线B'C与平面B'BDD'所成角的正弦值.
【答案】.
【分析】求出平面B'BDD'的法向量,用空间向量求解线面角的正弦值.
【解答】解:B'(1,0,2),C(1,2,0),B(1,0,0),D(0,2,0),=(0,2,﹣2),=(0,0,﹣2),,
设平面B'BDD'的法向量为,则=,
解得:z=0,令y=1得:x=2,则,
设直线B'C与平面B'BDD'夹角为,则,
故直线B'C与平面B'BDD'所成角的正弦值为.
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法,是中档题.
19.(10分)设z1=3﹣2i,z2=5+4i,求z1+z2,z1z2,值.
【答案】z1+z2=8+2i;z1z2=23+2i;.
【分析】根据已知条件,结合复数的运算法则,即可求解.
【解答】解:因为z1=3﹣2i,z2=5+4i,
所以z1+z2=3﹣2i+5+4i=(3+5)+(4﹣2)i=8+2i,
z1z2=(3﹣2i)(5+4i)=23+2i,
==.
【点评】本题主要考查复数的运算法则,属于基础题.
20.(8分)7人排成一排照相,按下列情况各有多少种不同的排法?
(1)甲、乙、丙3人相邻;
(2)甲、乙、丙3人不相邻.
【答案】(1)720;(2)1440.
【分析】(1)将甲、乙、丙3人看作一个整体,利用捆绑法求解;
(2)可先排其余4人,再利用插空法排甲、乙、丙.
【解答】解:(1)将甲、乙、丙3人看作一个整体,与其余4人全排列,有种排法,而甲、乙、丙3人有种排法,
故共有=720种不同的排法;
(2)可先排其余4人,然后再将甲、乙、丙排在已排好的4人之间及两端的5个空隙中,
故共有=1440种不同的排法.
【点评】本题考查捆绑法和插空法解排列应用题,是基础题.
21.(10分)已知函数f(x)=﹣x3+ax,
(1)求a=3时,函数f(x)的单调区间;
(2)求a=12时,函数f(x)的极值.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)首先求得导函数,然后利用导函数与原函数单调性的关系即可求得函数的单调区间;
(2)首先求得导函数,然后利用导函数确定函数的单调性,最后求解函数的极值即可.
【解答】解:(1)当a=3时,f(x)=﹣x3+3x+3,∴f'(x)=﹣3x2+3,
由f’(x)>0可得:﹣1<x<1,则函数的单调递增区间为(﹣1,1);
由f’(x)<0可得:x<﹣1或x>1,则函数的单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞);
(2)当a=12时,f(x)=﹣x3+12x+3,f'(x)=﹣3x2+12=﹣3(x+2)(x﹣2),
建立表格如下:
x
(﹣∞,﹣2)
﹣2
(﹣2,2)
2
(2,+∞)
f’(x)
﹣
0
+
0
﹣
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
据此可得:当x=﹣2时,函数f(x)有极小值f(﹣2)=﹣16;
当x=2时,函数f(x)有极大值f(2)=16.
【点评】本题考查导函数研究函数的单调性,导函数研究函数的极值等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.
22.(10分)已知椭圆C的一个焦点F2(1,0),且短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P在椭圆C上,且∠PF1F2=90°(F1为椭圆的另一个焦点),求△PF1F2的面积.
【答案】(1)+=1.
(2).
【分析】(1)根据已知条件,求出c=1,b=,a==2,即可求解.
(2)根据已知条件,可求P的纵坐标,进而可求三角形面积.
【解答】解:(1)∵椭圆C的一个焦点F2(1,0),且短轴长为2,
∴c=1,b=,a==2,
∴椭圆C的方程为+=1.
(2)∵∠PF1F2=90°,∴P的横坐标为﹣1,
代入椭圆方程得P的纵坐标为yP=±,
∴S=|F1F2|•|yP|=×2×=.
【点评】本题主要考查了椭圆的性质,以及余弦定理,属基础题.
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内蒙古呼伦贝尔市满洲里远方中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题: 这是一份内蒙古呼伦贝尔市满洲里远方中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题,共2页。
2023-2024学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市远方中学高一(上)第三次月考数学试卷(12月份)(含解析): 这是一份2023-2024学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市远方中学高一(上)第三次月考数学试卷(12月份)(含解析),共10页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市第一中学高二下学期期中考试数学(文)试题含答案: 这是一份2022-2023学年内蒙古呼伦贝尔市满洲里市第一中学高二下学期期中考试数学(文)试题含答案,共13页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。