长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（十）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业十　三角函数图象与性质
【知识梳理】
一、基础知识
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：________，________，________，________，________．
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：________，________，________，________，________．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
x|x∈R,且x≠kπ+π2,k∈Z
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
________
________
奇函数
单调性
2kπ−π2,2kπ+π2为增；


2kπ+π2,2kπ+32π为减
[2kπ－π，2kπ]为增；


[2kπ，2kπ＋π]为减
(kπ－π2，kπ＋π2)为增


对称中心
(kπ，0)
(kπ＋π2，0)
(kπ2，0)
对称轴
x＝kπ＋π2
__________

3.y＝Asin x＋b(x∈R)和y＝Acos x＋b(x∈R)的最大值为________，最小值为________．
4．y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的有关概念

振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝2πω
f＝1T＝ω2π
ωx＋φ
φ

5．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x
－φω
－φω＋π2ω
π−φω
3π2ω－φω
2π−φω
ωx＋φ
0
π2
π
3π2
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
6.由函数y＝sin x的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象有两种方法
(1)将y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得到____________，再横坐标变为原来的1ω倍，得到________________．
(2)将y＝sin x的图象横坐标变为原来的1ω倍，得到______________，再向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|ω个单位长度，得到____________．
二、基本方法
1．三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致：
(1)____________________________．
(2)在满足(1)后，再看f(－x)与f(x)的关系．
另外三角函数中的奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
2．三角函数的单调性
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，比如：由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间．
(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间．
对函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)等单调性的讨论同上．
3．三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，比较三角函数值大小的一般步骤为：
①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数．
4．求三角函数的最值常见类型
(1)y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Atan(ωx＋φ)＋B.
(2)y＝A(sin x－a)2＋B.
(3)y＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x.
其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0.
5．五点法作图时要注意五点的选取，一般令ωx＋φ分别取________，________，________，__________，________，算出相应的x值，再列表、描点、作图．
6．给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求它的解析式，由最高点或最低点求A值；常由寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，求φ值，由周期求ω值．

【专题训练】
一、单选题
1．(★)已知函数f(x)＝cos x－cos 2x，下列判断函数的奇偶性及最大值正确的是(　　)
A．奇函数，最大值为2
B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为98
D．偶函数，最大值为98
2．(★★)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝(　　)

A．－23 B．－32
C.23 D.32
3．(★★)已知函数f(x)＝2sinωx+φ＋1(ω＞0，φ≤π2)，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π，若x∈−π12,π3，f(x)＞1恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A.π6,π3 B.π12,π3
C.π12,π2 D.π6,π3
4．(★★)函数f(x)＝tanωx+φ 0＜φ＜π2,ω＞0，某相邻两支图象与坐标轴分别交于点Aπ6,0，B2π3,0，则方程f(x)＝sin2x−π3，x∈[0，π]所有解的和为(　　)
A.5π12 B.5π6
C.π2 D.π4
二、多选题
5．(★)下列函数以π2为周期的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x|
B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x|
D．f(x)＝sin|x|
6．(★★)关于函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，下列命题为真命题的是(　　)
A．函数y＝f(x)的一个周期为π
B．直线x＝π4是y＝f(x)图象的一条对称轴
C．点(π8，0)是y＝f(x)图象的一个对称中心
D．函数y＝f(x)的最大值为2
7．(★★)已知函数f(x)＝4sin2x+π3＋1，若对任意的a∈−1,3，函数g(x)＝f(x)－a(0＜x＜m)都恰有2个零点，则m的值可能是(　　)
A.11π12 B.13π12
C.5π4 D.17π12
三、填空题
8．(★)函数y＝lg(sin 2x)＋9−x2的定义域为________．

9．(★★)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝cos 2(ωx＋φ)(ω，φ为常数)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为________．
10．(★★)已知函数f(x)＝3sin2x−π3+φ＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
四、解答题
11．(★)已知函数f(x)＝4sin ωxsinωx+π3 －1(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω及f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)图象的对称中心．

12．(★★)已知f(x)＝sin2x+π8＋2sinx+π4·cosx+π4－12.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数y＝|f(x)|－m在区间−5π24,3π8上恰有两个零点x1，x2.
①求实数m的取值范围；
②求sin(x1＋x2)的值．








13．(★★)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：

x
－π6
π3
5π6
4π3
11π6
7π3
17π6
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；










（2）当x∈0,π3时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

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参考答案
【知识梳理】
一、基础知识
1．(0，0)　(π2，1)　(π，0)　(3π2，－1)　(2π，0)
(0，1)　(π2，0)　(π，－1)　(3π2，0)　(2π，1)
2．奇函数　偶函数　x＝kπ
3．|A|＋b　－|A|＋b
6．(1)y＝sin(x＋φ)的图象　y＝sin(ωx＋φ)的图象
(2)y＝sin ωx的图象　y＝sin(ωx＋φ)的图象
二、基本方法
1．(1)首先看定义域是否关于原点对称
5．0　π2　π　3π2　2π
【专题训练】
1．D　【解析】由题意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)
＝cos x－cos 2x＝f(x)，
所以该函数为偶函数，
f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cos x＋1＝－2(cos x－14)2＋98，
当cos x＝14时，f(x)取最大值98.故选：D.
2．C　【解析】由题意可知，此函数的周期T＝211π12−7π12＝2π3，故2πω＝2π3，所以ω＝3，所以f(x)＝Acos3x+φ.
由fπ2＝Acos3×π2+φ＝Asin φ＝－23，
f7π12＝Acos3×7π12+φ＝Acosφ−π4
＝22Acosφ+Asinφ＝0，
所以f(0)＝Acos φ＝23.故选：C.
3．D　【解析】∵函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，
令f(x)＝－1，可得sin(ωx＋φ)＝－1，
由于f(x)的图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π，
∴T＝2πω＝π，∴ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.
若f(x)＞1对任意x∈−π12,π3恒成立，
则当x∈−π12,π3时，sin(2x＋φ)＞0，
∴2·(－π12)＋φ≥2kπ且2·π3＋φ≤2kπ＋π，k∈Z，
即2kπ＋π3≥φ≥2kπ＋π6，k∈Z，
又|φ|≤π2，∴φ∈π6,π3.
故选：D.
4．B　【解析】由题意得，2π3－π6＝T，所以T＝π2，
因为ω＞0，所以πω＝π2，所以ω＝2，
又tan2×π6+φ＝0，0＜φ＜π2，解得φ＝－π3，
所以f(x)＝tan2x−π3，
故sin2x−π3cos2x−π3＝sin2x−π3，x∈[0，π]，
因为x∈[0，π]，所以2x－π3∈−π3,5π3，
当2x－π3＝0或π时，sin2x−π3＝0，
此时cos2x−π3＝1或－1满足题意，
解得x1＝π6，x2＝2π3，故x1＋x2＝π6＋2π3＝5π6.故选：B.
5．AB
6．ACD　【解析】因为f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－π4)，
所以f(x)的最大值为2，故D为真命题；
因为ω＝2，故T＝2π2＝π，故A为真命题；
当x＝π4时，2x－π4＝π4，故直线x＝π4不是y＝f(x)图象的一条对称轴，故B为假命题；
当x＝π8时，2x－π4＝0，故点(π8，0)是y＝f(x)图象的一个对称中心，故C为真命题．故选：ACD.
7．BC　【解析】函数g(x)＝f(x)－a0＜x＜m恰有2个零点等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a恰有2个不同的交点，结合图象(如下图)，

令f(x)＝4sin2x+π3＋1＝3，解得C11π12,3，D5π4,3，
若g(x)＝f(x)－a0＜x＜m都恰有2个零点，可知m的取值范围是11π12,5π4.B、C选项的m值在11π12,5π4，而A、D选项的m值不在11π12,5π4.故选：BC.
8.−3,−π2∪(0，π2)
【解析】∵函数y＝lg(sin 2x)＋9−x2，
∴应满足sin2x＞0,9−x2≥0,
解得kπ＜x＜π2+kπ,−3≤x≤3,其中k∈Z，
∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2，
∴函数的定义域为−3,−π2∪(0，π2)．
9．2　【解析】f(x)＝cos2(ωx＋φ)＝1+cos2ωx+2φ2，
又3T4＞1,T＜2,43＜T＜2，43＜2π2ω＜2，则π2＜ω＜3π4.
因为ω∈N*，所以ω＝2.
故答案为：2.
10.5π6；π4+kπ2,1，k∈Z
【解析】若f(x)＝3sin2x−π3+φ＋1为偶函数，
则－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，
即φ＝5π6＋kπ，k∈Z，
又φ∈(0，π)，∴φ＝5π6.
∴f(x)＝3sin2x+π2＋1＝3cos 2x＋1，
由2x＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝π4＋kπ2，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为π4+kπ2,1，k∈Z.
11．【解析】(1)f(x)＝4sin ωx12sinωx+32cosωx－1
＝2sin2ωx＋23sin ωxcos ωx－1
＝1－cos 2ωx＋3sin 2ωx－1
＝3sin 2ωx－cos 2ωx
＝2sin2ωx−π6.
∵f(x)的最小正周期为π，
∴2π2ω＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝2sin2x−π6，
令－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ，k∈Z，
解得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为−π6+kπ,π3+kπ(k∈Z)．
(2)令2x－π6＝kπ，k∈Z，
解得x＝π12＋kπ2，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为π12+kπ2,0，k∈Z.
12．【解析】(1)f(x)＝sin2x+π8＋2sinx+π4·
cosx+π4－12
＝1−cos2x+π42＋22sin2x+π2－12
＝12－24cos 2x＋24sin 2x＋22cos 2x－12
＝24sin 2x＋24cos 2x
＝12sin2x+π4，
令－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)，
解得－3π8＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)时，函数单调递增，
∴f(x)的单调递增区间为−3π8+kπ,π8+kπ(k∈Z)．
(2)①令t＝2x＋π4，当x∈−5π24,3π8时，
t∈−π6,π，12sin t∈−14,12，
∴y＝12sint∈0,12，图象如图所示．

∴要使y＝|f(x)|－m在区间−5π24,3π8上恰有两个零点，实数m的取值范围为14 ②设t1，t2是函数y＝12sint－m的两个零点，
即t1＝2x1＋π4，t2＝2x2＋π4，
由正弦函数图象性质可知t1＋t2＝π，
即2x1＋π4＋2x2＋π4＝π，
∴x1＋x2＝π4，∴sin(x1＋x2)＝22.
13．【解析】(1)设f(x)的最小正周期为T，
得T＝11π6－−π6＝2π，由T＝2πω，得ω＝1.
又B+A=3,B−A=−1,解得A=2,B=1,
令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，
∴f(x)＝2sinx−π3＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sinkx−π3＋1的周期为2π3，
又k＞0，∴k＝3.
令t＝3x－π3，
∵x∈0,π3，∴t∈−π3,2π3.
如图，sin t＝s在−π3,2π3上有两个不同的解的充要条件是s∈32,1，

∴由方程f(kx)＝m在x∈0,π3恰好有两个不同的解，得m∈[3＋1，3)，
即实数m的取值范围是m∈[3＋1，3)．