长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（四）

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高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业四　函数概念与性质
【知识梳理】
1．函数的有关概念

函数的定义
设A，B是非空的__________，如果对于集合A中的__________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：______为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
______________
定义域
x叫做自变量，x的________叫做函数的定义域
值域
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
2.同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域．如果两个函数的______相同，并且________完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
3．区间
(1)区间概念(a，b为实数，且a＜b)

定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
________

{x|a＜x＜b}
开区间
________

{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
________

{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
________

(2)其他区间的表示

定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
区间
__________
__________
__________
__________
__________
4.函数的表示法

5．分段函数
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是______．
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
6．函数的单调性
(1)增函数、减函数

定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是________
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是________
图象


特征
自左向右看图象是________
自左向右看图象是________
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做f(x)的________．
7．函数的奇偶性

奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于________对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有______________，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于______对称
8.函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个__________就叫做f(x)的最小正周期．
9．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
10．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．
(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a＞0)．
(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a＞0)．
【专题训练】
一、单选题
1．(★)若函数y＝f(x)的定义域是[0，6]，则函数g(x)＝f3xx−2的定义域是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　

A．[0，2] B．(0，2)
C．[0，2) D．(0，3)
2．(★)已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝gx,fx≥gx,fx,fx＜gx,则F(x)的最值情况是(　　)
A．最大值为3，最小值为－1
B．最小值为－1，无最大值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
3．(★)已知函数f(x)＝x1+x2的定义域为2,+∞，则不等式fx2+2＞fx2−2x+8的解集为 (　　)
A.52,4 B.2,3
C.−∞,3 D.3,+∞
4．(★★)设定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x1，x2∈0,+∞，且x1≠x2，都有fx2−fx1x2−x1＜0，且f(2)＝0，则不等式f−x−2fxx≥0的解集为(　　)
A．(－∞，－2]∪(0，2]
B．[－2，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．[－2，0)∪(0，2]
二、多选题
5．(★)关于直线y＝m与函数y＝|x|＋|2x＋4|的图象的交点，现如下四个结论，其中正确的是(　　)
A．不论m为何值时都有交点
B．当m＞2时，有两个交点
C．当m＝2时，有一个交点
D．当m＜2时，没有交点
6．(★★)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)＝1,x为有理数,0,x为无理数称为狄利克雷函数，则关于f(x)下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的值域为[0，1]
B．f(x)的定义域为R
C．x∈R，f(f(x))＝1
D．对任意一个非零有理数T, f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
7．(★★)已知函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈R，都满足x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在R上是减函数
B．f(－2)＜f(1)＜f(2)
C．f(x＋1)＜f(－x＋2)的解为x＜12
D．f(0)＝0
三、填空题
8．(★)已知函数f(x)＝−x2−ax−5,x≤1,ax,x＞1是R上的增函数，则a的取值范围是________．
9．(★★)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax＋b.若f(0)＋f(3)＝4，则f92＝________．
10．(★★★)若函数f(x)＝|2x+1|+|x−a|−2的定义域为R，则a的取值范围是________．
四、解答题
11．(★)已知函数f(x)＝x21+x2.
(1)求f(2)＋f12，f(3)＋f13的值；
(2)求证：f(x)＋f1x是定值．











(★★)已知定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)；②当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－3.
(1)求证：f(0)＝0；
(2)判断函数f(x)的奇偶性；
(3)解不等式f(2x－2)－f(x)≥－12.

13．(★★)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)若关于x的不等式f(k·3x)－f(9x－3x＋1)≥f(1)恒成立，求实数k的取值范围．


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参考答案
【知识梳理】
1．实数集　任意一个数x　唯一确定　A→B　y＝f(x)，x∈A　取值范围A
2．定义域　对应关系
3．(1)[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]
(2)(－∞，＋∞)　[a，＋∞)　(a，＋∞)　(－∞，a]
(－∞，a)
5．(1)对应关系　(2)并集　空集
6．(1)增函数　减函数　上升的　下降的
(2)单调性　单调区间
7．f(－x)＝f(x)　y轴　f(－x)＝－f(x)　原点
8．(1)f(x＋T)＝f(x)　(2)最小的正数　最小正数
【专题训练】
1．C　【解析】由条件可知，0≤3x≤6,x−2≠0,所以0≤x＜2，所以定义域为0,2.故选：C.
2．D　【解析】由f(x)≥g(x)，得0≤x≤3；由f(x)＜g(x)，得x＜0或x＞3，所以F(x)＝x,x＜0,x2−2x,0≤x≤3,x,x＞3,
易得F(x)既无最大值，又无最小值．故选：D.
3．C　【解析】因为f(x)＝x1+x2＝1x+1x，
可知f(x)在区间[2，＋∞)上单调递减，
所以不等式f(x2＋2)＞f(x2－2x＋8)成立，
即x2+2≥2,x2−2x+8≥2,x2+2＜x2−2x+8,解得x＜3.
故选：C.
4．C　【解析】因为f(x)为奇函数，所以f−x＝－f(x)，
所以f−x−2fxx≥0−3fxx≥0，
因为对任意x1，x2∈0,+∞，且x1≠x2，
都有fx2−fx1x2−x1＜0，
所以f(x)在0,+∞单调递减，
因此f(x)在−∞,0单调递减，
且f(2)＝0，所以f−2＝0，
故−3fxx≥0fx≥0,x＜0,或fx≤0,x＞0,
解得x≤－2或x≥2.故选：C.
5．BCD　【解析】由题意得，y＝|x|＋|2x＋4|＝−3x−4,x＜−2,x+4,−2≤x≤0,3x+4,x＞0,作此函数图象如下图折线所示．
y＝m即平行于x轴的直线，作图象如下图直线所示．

对于A，由图可知，当m＜2时，直线y＝m与函数y＝|x|＋|2x＋4|的图象无交点，故A错误，D正确；
对于B，由图可知，当m＞2时，直线y＝m与函数y＝|x|＋|2x＋4|的图象有两个交点，故B正确；
对于C，由图可知，当m＝2时，直线y＝m与函数y＝|x|＋|2x＋4|的图象有一个交点，故C正确；
故选：BCD.
6．BCD　【解析】因为函数f(x)＝1,x为有理数,0,x=为无理数,所以f(x)的值域为0,1，定义域为R，故A不正确，B正确；
因为x∈R，f(x)∈{0，1}，所以f(f(x))＝1，故C正确；
对于任意一个非零有理数T，若x是有理数，则x＋T是有理数；若x是无理数，则x＋T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．故选：BCD.
7．BC　【解析】由x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，
所以f(x)在R上单调递增，所以A错；
因为f(x)为R上的增函数，所以f−2＜f(1)＜f(2)，所以B对；
因为f(x)在R上为增函数，则fx+1＜f−x+2x＋1＜－x＋2，解得x＜12，所以C对；
函数f(x)在R上为增函数时，不一定有f0＝0，如f(x)＝2x在R上为增函数，但f(0)＝1，所以D不一定成立，故D错．
故选：BC.
8．[－3，－2]　【解析】要使函数在R上为增函数，须有f(x)在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递增，
且－12－a×1－5≤a1，
所以−a2≥1,a＜0,−12−a×1−5≤a1,解得－3≤a≤－2，
故a的取值范围为[－3，－2]．
故答案为：[－3，－2]．
9．2　【解析】因为f(x＋1)为奇函数，
所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)①，
将①中的x替换为x－1得f(－x＋2)＝－f(x)②，
因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)③，
由②③得f(x＋2)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)④，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
由④得f(0)＝－f(2)＝－2a－b，f(3)＝－f(1)＝－a－b，则f(0)＋f(3)＝－3a－2b＝4，所以3a＋2b＝－4.
则f92＝f12+4＝f12＝－f32＝－32a+b＝－123a+2b＝2.
故答案为：2.
10.−∞,−52∪32,+∞　【解析】因为函数f(x)＝|2x+1|+|x−a|−2的定义域为R，
所以|2x＋1|＋|x－a|≥2恒成立，
令g(x)＝|2x＋1|＋|x－a|＝2x+12＋|x－a|，
当－12＜a时，g(x)＝3x+1−a,x＞a,x+a+1,−12＜x≤a,−3x+a−1,x≤−12,
当x＝－12时，g(x)min＝12＋a≥2，解得32≤a；
当a＜－12时，g(x)＝3x+1−a,x＞−12,−x−a−1,a＜x≤−12,−3x+a−1,x≤a,
当x＝－12时，g(x)min＝－12－a≥2，解得a≤－52，
当a＝－12时，g(x)＝3x+12≥2不恒成立．
综上，a≤－52或a≥32.
故答案为：−∞,−52∪32,+∞.
11．【解析】(1)因为f(x)＝x21+x2，
所以f(2)＋f12＝221+22＋1221+122＝1，
f3＋f13＝321+32＋1321+132＝1.
(2)f(x)＋f1x＝x21+x2＋1x21+1x2＝x21+x2＋1x2+1＝x2+1x2+1＝1，是定值．
12．【解析】(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)令y＝－x，
∴f(0)＝f−x＋f(x)＝0，
∴f(x)＝－f−x，
∴函数f(x)是奇函数．
(3)设x1＜x2，则x1－x2＜0，
∴fx1－fx2＝fx1＋f−x2＝fx1−x2＞0，
∴f(x)为R上的减函数．
∵f2x−2－f(x)＝f2x−2＋f−x＝fx−2≥－12，－12＝4f(1)＝f(4)，
∴x－2≤4，即x≤6，
∴不等式f2x−2－f(x)≥－12的解集为{x|x≤6}．
13．【解析】(1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝1，
则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)由f(xy)＝f(x)＋f(y)可得f(yx)＝f(y)－f(x)，
设x1＞x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1x2)，又x1x2＞1，
∴f(x1x2)＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(3)∵f(k·3x)－f(9x－3x＋1)≥f(1)，
∴f(k·3x)≥f(9x－3x＋1)，
由(2)得k·3x≤9x−3x+1,k·3x＞0(*)恒成立，
令t＝3x＞0，则(*)可化为t2－(k＋1)t＋1≥0对任意t＞0恒成立，且k＞0，
∴k＋1≤t＋1t，又t＋1t≥2，
∴k＋1≤2，即k≤1，∴0＜k≤1.