还剩19页未读，
继续阅读
2022-2023学年上海市杨浦区七年级（下）期末数学试卷
展开
这是一份2022-2023学年上海市杨浦区七年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市杨浦区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列语句错误的是( )
A. 实数可分为有理数和无理数 B. 无理数可分为正无理数和负无理数
C. 无理数都是无限小数 D. 无限小数都是无理数
2. 下列近似数，精确到0.001且有三个有效数字的是( )
A. 8.010 B. 8.01 C. 0.801 D. 0.081
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边BC上一点，且∠ADC=60°，下列说法中，错误的是( )
A. 直线AD与直线BC的夹角为60°
B. 直线AC与直线BC的夹角为90°
C. 线段CD的长是点D到直线AC的距离
D. 线段BD的长是点B到直线AD的距离
4. 下列三条线段能组成三角形的是( )
A. 2，5，4 B. 14，22，7 C. 22，9，7 D. 1，1， 5
5. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是( )
A. 有一个内角是50°的两个直角三角形
B. 有一个内角是50°的两个等腰三角形
C. 有一个内角为50°且腰长为6cm的两个等腰三角形
D. 有一个内角为100°且腰长为6cm的两个等腰三角形
6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，∠ABC=∠ACB，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )
A. AD=AE
B. BE=CD
C. OB=OC
D. BD=CE
二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）
7. 4的平方根是______ ．
8. 把 53表示成幂的形式是______ ．
9. 比较大小：− 10______−3．
10. 数轴上点A表示的数是− 2，那么点A到原点的距离是______ ．
11. 经过点M(5,−7)且平行于x轴的直线可以表示为直线______ ．
12. 如果点P(x,y)在第一象限，那么点Q(x,−y−2)第______ 象限．
13. 如果将点A(1,3)先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，得到点B，那么点B的坐标是______．
14. 已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，如果按角分类，那么△ABC是______ 三角形．
15. 等腰三角形的周长为16厘米，其中一边长为4厘米，那么腰长为______ 厘米．
16. 如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=______度．
17. 如图，已知在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE//BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，那么BC= ______ ．
18. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，AD、CE分别是边BC、AB上的两条高，AD与CE相交于点F，联结BF，那么图中有______ 对全等三角形．
19. 如图，在△ABC中，∠A=100度，如果过点B画一条直线l能把△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠C______度．
20. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置.如果DF//BC，∠B=60°，∠CEF=20°，那么∠A= ______ 度.
三、解答题（本大题共10小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题5.0分)
计算：3−8− 9−(−1)0+(12)−3．
22. (本小题5.0分)
计算： (1− 2)2+( 3+1)2−(1 3)−2．
23. (本小题5.0分)
利用有理数指数幂的性质进行计算：36÷ 6×634.(结果用含幂的形式表示)
24. (本小题5.0分)
如图，已知AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD//BE的理由．
解：因为AB//CD(已知)，所以∠1=∠BAF(______ ).
因为∠1=∠2(已知)，所以∠2=∠ ______ (______ ).
因为∠3=∠4(已知)，所以∠3+∠CAF=∠4+∠CAF(______ )
即∠BAF=∠CAD．
所以∠2=∠ ______ .所以AD//BE(______ ).
25. (本小题5.0分)
已知：如图，AD=BD，CD=ED，∠1=∠2，试说明∠3=∠1的理由．
解：因为∠1=∠2(已知)，
所以∠1+∠BDE=∠2+∠BDE(等式性质)，
即∠ ______ =∠ ______ ．
在△ADE和△BDC中，
AD=BD(已知)∠=∠ED=CD(已知)所以△ADE≌△BDC(( )______ ).
所以∠ ______ =∠ ______ (______ ).
又因为∠BED=∠2+∠C(______ )，
即∠3+∠AED=∠2+∠C，
所以∠3=∠2(______ ).
因为∠1=∠2(已知)，
所以∠3=∠1(______ ).
26. (本小题5.0分)
阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线l1//l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，AD与BC交于点E.△ACE与△BDE的面积相等吗？为什么？
解：作AH1⊥l2，垂足为H1，作BH2⊥l2，垂足为H2．
又因为l1//l2(已知)，
所以______ (平行线间距离的意义)．
(完成以下说理过程)
27. (本小题6.0分)
如图，已知AC//DF，∠C=∠D.试说明∠1=∠2的理由．
28. (本小题6.0分)
如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE.猜想AB、AD、BE之间的数量关系并证明．
29. (本小题6.0分)
在直角坐标平面内，已知点A的坐标为(3,1)，点B与点A关于原点对称，点C的坐标为(1,−1)．
(1)画出△ABC；
(2)写出点B的坐标和△ABC的面积：B(______ )，S△ABC= ______ ；
(3)如果△ABC与△BCD全等，请写出满足条件的所有点D的坐标(点D不与点A重合) ______ ．
30. (本小题12.0分)
已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．
(1)如图1，试说明CD=CB的理由；
(2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、实数可分为有理数无理数，正确；
B、无理数可分为正无理数和负无理数，正确；
C、无理数都是无限小数，正确；
D、无限不循环小数都是无理数，故错误；
故选：D．
根据实数的分类，即可解答．
本题考查了实数，解决本题的关键是掌握实数的分类．
2.【答案】C
【解析】解：A、8.010精确到0.001，且有四个有效数字，故A不符合题意；
B、8.01精确到0.01，且有三个有效数字；故B不符合题意；
C、0.801精确到0.001且有三个有效数字，故C符合题意；
D、0.081精确到0.001且有两个有效数字，故D不符合题意；
故选：C．
精确到哪一位就是看这个近似数的最后一位是什么位，有效数字就是从数的左边第一个不是0的数起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵∠CDA=60°，
∴直线AD与直线BC的夹角是60°，正确，故本选项不符合题意；
B、∵∠ACD=90°，
∴直线AC与直线BC的夹角是90°，正确，故本选项不符合题意；
C、∵∠ACD=90°，
∴DC⊥AC，
∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故本选项不符合题意；
D、∵AD和BC不垂直，
∴线段BD的长是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．
本题考查了点到直线的距离，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
4.【答案】A
【解析】解：A.2+4>5，能组成三角形，故此选项正确；
B.14+7<22，不能组成三角形，故此选项错误；
C.7+9<22，不能组成三角形，故此选项错误；
D.1+1< 5，不能组成三角形，故此选项错误；
故选A．
根据三角形两边之和大于第三边可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5.【答案】D
【解析】解：A：不知道两三角形边长关系，从而无法判断全等，故A选项不符合题意；
B：不知道两三角形边长关系，从而无法判断全等，故B选项不符合题意；
C：若50°为顶角，则该三角形三角为50°，65°，65°；
若50°为底角，则该三角形三角为50°，50°，80°，
此时两三角形不全等，故C选项不符合题意；
D：∵100°为钝角，
∴100°只能为等腰三角形的顶角，
∴根据SAS可知此时两三角形全等，
故D选项符合题意．
故选：D．
只知道角的关系无法判断全等，从而可证明A，B选项不正确；分50°是顶角和底角两种情况可判断C选项不正确；由SAS可判断D选项．
本题主要考查了三角形全等的判定．本题的易错点是忽略50°既可以做底角又可以做顶角，从而错选C．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵∠BAE=∠CAD，
∴补充条件AD=AE时，△ABE≌△ACD(SAS)，故选项A不符合题意；
补充条件BE=CD，无法判断△ABE≌△ACD，故选项B符合题意；
补充条件OB=OC时，则∠OBC=∠OCB，故∠ABE=∠ACD，则△ABE≌△ACD(ASA)，故选项C不符合题意；
补充条件∠BDC=∠CEB时，则∠AEB=∠ADC，则△ABE≌△ACD(AAS)，故选项D不符合题意；
故选：B．
根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定△ABE≌△ACD，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】±2
【解析】解：∵22=4，(−2)2=4，
∴4的平方根是±2，
故答案为：±2．
一个数x的平方等于a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．
本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8.【答案】532
【解析】解： 53=532，
故答案为：532．
根据幂的表达方法即可得出答案．
本题考查幂的表达方法，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9.【答案】<
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
先把−3变为9算术平方根的相反数，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】
解：∵10>9
∴ 10> 9=3,
∴− 10<− 9=−3，
故填空答案<．
10.【答案】 2
【解析】解：点A到原点的距离=0−(− 2)= 2．
故答案为： 2．
依据数轴上两点间的距离公式求解即可．
本题主要考查的是实数与数轴，依据数轴上两点间的距离公式列出算式是解题的关键．
11.【答案】y=−7
【解析】解：∵直线和x轴平行，
∴直线上所有点的纵坐标都相等，为−7，
∴直线表示为：y=−7．
故答案为：y=−7．
由直线和x轴平行可知直线上所有点的纵坐标，从而可求出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征．与x轴平行的直线上所有点纵坐标相等，与y轴平行的直线上所有点的横坐标相等．
12.【答案】四
【解析】解：由点P(x,y)在第一象限，得x>0，y>0，
∴−y−2<0，
∴点Q(x,−y−2)在第四象限，
故答案为：四．
根据第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，可得x、y的取值范围，根据不等式的性质，可得−y−2的范围，再根据点的横坐标的取值范围、纵坐标的取值范围，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，得出x、y的取值范围，再利用不等式的性质得出Q点的横坐标的取值范围，纵坐标的取值范围．
13.【答案】(3,0)
【解析】
【分析】
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题主要考查坐标与图形的变化，解决本题的关键是得到各点的平移规律．
【解答】
解：根据题意知点B的坐标是(1+2,3−3)，即(3,0)，
故答案为：(3,0)．
14.【答案】锐角
【解析】解：设∠A：∠B：∠C=2x：3x：4x，
则2x+3x+4x=180°，
∴x=20°，
∴4x=80°，即三角形中最大的角是80°，
∴这个三角形是锐角三角形．
故答案为：锐角．
根据三角形的内角和为180°列出关于x的方程，求解可得三角形中最大角的度数，即可判断出三角形的形状．
此题主要是考查了三角形的内角和定理及三角形的分类，能够根据三角形的内角和定理得到关于x的方程是解答此题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：①当等腰三角形腰长为4厘米时，
16−4−4=8(厘米)；
∵4+4=8，
∴4，4，8不能构成三角形，
即腰长为4厘米不符合题意；
②等腰三角形底为4厘米时，
16−42=6(厘米)，
∵4+6>6，
∴6，6，4符合题意．
综上所述，腰长为6厘米．
故答案为：6．
分成等腰三角形的腰长为4厘米和底为4厘米两种情况，结合周长确定腰长．
本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系．本题的易错点有两个，一是没有讨论已知边是腰还是底，而是没有根据三角形的三边关系对答案进行取舍．
16.【答案】60
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOD=60°．
又∵OD=OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴AO=AD，∠OAD=60°，∠ADO=60°．
∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，
∴∠BAO=∠CAD．
在△BAO和△CAD中，AB=AC∠BAO=∠CADAO=AD，
∴△BAO≌△CAD(SAS)，
∴∠ADC=∠AOB=120°，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADO=60°．
故答案为：60．
由△ABC为等边三角形可得出AB=AC、∠BAC=60°，由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD=60°，结合OD=OA可得出△AOD为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出AO=AD、∠OAD=60°，根据∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°可得出∠BAO=∠CAD，利用全等三角形的判定定理SAS可证出△BAO≌△CAD，根据全等三角形的性质可得出∠ADC的度数，再根据∠BDC=∠ADC−∠ADO即可求出∠BDC的度数．
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明△BAO≌△CAD，找出∠ADC=∠AOB=120°是解题的关键．
17.【答案】5
【解析】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵DE//BC，
∴∠BOD=∠OBC，∠COE=∠OCB，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠COE，
∴BD=OD，CE=OE，
∵△ADE的周长为9，
∴AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9，
∵△ABC的周长是14，
∴AB+AC+BC=14，
∴BC=14−9=5，
故答案为：5．
由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE//BC，易得△BOD与△COE是等腰三角形，又由△ADE的周长为9，可得AB+AC=9，又由△ABC的周长是14，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质，三角形的周长，弄清△ADE的周长和△ABC的周长之间的关系是解题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∵AF=AF，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SAS)，△BAF≌△CAF(SAS)，
∴BF=CF，
∵FD=FD，
∴△BFD≌△CFD(SSS)，
∵∠FCD+∠CFD=90°，
∠FCD+∠CBE=90°，
∴∠CFD=∠AFE=∠CBE，
∵CE⊥AB，∠CAE=45°
∴∠CAE=∠ACE=45°，
∴AE=CE，
∵∠AEF=∠CEB=90°，
∴△AEF≌△CEB(AAS)．
故答案为：4．
由等腰三角形的性质可得BD=CD，∠BAD=∠CAD，结合SAS可证明△BAD≌△CAD，△BAF≌△CAF；从而可证明BF=CF，由SSS可证明△BFD≌△CFD；由已知条件可知△AEC是等腰直角三角形，即可证明AE=CE，又由同角的余角相等可证明∠AFE=∠CBE，由AAS可证明△AEF≌△CEB．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质．本题的易错点是忽略了已知45°，从而导致少找一对全等三角形．
19.【答案】=20
【解析】解：如图，设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形，
∵∠A=100度，
∴∠ADB=∠ABD=40°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C，
∴2∠C=40°，
∴∠C=20°，
故答案为=20．
设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，得出∠ADB=∠ABD=40°，∠C=∠DBC，根据三角形外角的性质即可求得∠C=20°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质并灵活运用是解题的关键．
20.【答案】50
【解析】解：∵DF//BC，∠B=60°，
∴∠ADF=60°．
∵△DEF由△DEA翻折而成，
∴∠EDF=12∠ADF=12×60°=30°，∠A=∠F．
∵∠CEF=20°，
∴∠DEC=180°−20°2=80°，
∴∠DEF=80°+20°=100°，
∴∠F=180°−∠EDF−∠DEF=180°−30°−100°=50°．
故答案为：50．
先根据平行线的性质求出∠ADF的度数，再由∠CEF=20°求出∠DEC的度数，根据翻折变换的性质求出∠EDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠F的度数，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
21.【答案】解：3−8− 9−(−1)0+(12)−3
=−2−3−1+8
=2．
【解析】先由立方根定义，算术平方根定义，零次幂法则，负整数指数幂法则进行化简，再合并计算可得结果．
此题主要是考查了立方根定义，算术平方根定义，零次幂法则，负整数指数幂法则，能够熟练运用各种运算法则是解答此题的关键．
22.【答案】解：原式=|1− 2|+( 3+1)2−1(1 3)2
= 2−1+(3+2 3+1)−3
= 2−1+3+2 3+1−3
= 2+2 3．
【解析】分别将算术平方根、完全平方、负指数幂计算出来，并化简即可．
计算能力是数学中要求的最基本的能力．本题考查二次根式的混合运算，比较简单，但要认真、仔细，否则很容易计算错误．
23.【答案】解：36÷ 6×634
=613÷612×634
=613−12+34
=6712．
【解析】根据分数指数幂的运算法则进行计算即可．
本题考查了实数的运算，分数指数幂，解决本题的关键是掌握分数指数幂运算法则．
24.【答案】两直线平行，同位角相等 BAF 等量代换 等式性质 CAD 内错角相等，两直线平行
【解析】解：因为AB//CD(已知)，所以∠1=∠BAF(两直线平行，同位角相等)．
因为∠1=∠2(已知)，所以∠2=∠BAF(等量代换)．
因为∠3=∠4(已知)，所以∠3+∠CAF=∠4+∠CAF(等式性质)．
即∠BAF=∠CAD，所以∠2=∠CAD．
所以AD//BE(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：两直线平行，同位角相等；BAF；等量代换；等式性质；CAD；内错角相等，两直线平行．
由已知平行可证明∠2=∠1=∠BAF，由∠3=∠4可证明∠BAF=∠CAD，从而可知∠2=∠CAD，进而可证明两直线平行．
本题主要考查了平行的性质和判定．本题的关键是证明∠2=∠CAD．
25.【答案】ADE BDC SAS AED C 全等三角形对应角相等 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 等式的性质 等量代换
【解析】解：因为∠1=∠2(已知)，
所以∠1+∠BDE=∠2+∠BDE(等式性质)，
即∠ADE=∠BDC．
在△ADE和△BDC中，
AD=BD∠ADE=∠BDCED=CD，
所以△ADE≌△BDC(SAS)．
所以∠AED=∠C ( 全等三角形对应角相等 )．
又因为∠BED=∠2+∠C( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 )，
即∠3+∠AED=∠2+∠C，
所以∠3=∠2( 等式的性质 )．
因为∠1=∠2(已知)，
所以∠3=∠1( 等量代换 )．
如图，首先运用等式的基本性质证明∠ADE=∠BDC；运用SAS公理证明△ADE≌△BDC，借助全等三角形的性质证明∠AED=∠C；借助三角形外角的性质及等式的基本性质，即可证明∠3=∠1．
该题主要考查了等式的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
26.【答案】AH1=BH2
【解析】解：相等．作AH1⊥l2，垂足为H1，作BH2⊥l2，垂足为H2．
∵l1//l2(已知)，
∴AH1=BH2(平行线间距离的意义)
∵S△ACD=12×CD×AH1，S△CBD=12×CD×BH2，
∴S△ACD=S△CBD，
∴S△ACD−S△CDE=S△CBD−S△CDE
∴△ACE与△BDE的面积相等．
故答案为：AH1=BH2．
由平行线距离的意义可知AH1=BH2，从而可证明△ACD和△BCD的面积相等，两个三角形减去公共部分剩余面积也相等，从而可证明△ACE与△BDE的面积相等．
本题考查了三角形面积、平行线的性质．本题的关键是先证明两个大三角形面积的关系．
27.【答案】解：∵AC//DF，
∴∠DBA=∠D，
∵∠C=∠D，
∴∠DBA=∠C，
∴CE//BD，
∴∠1=∠GHC，
∵∠2=∠GHC，
∴∠1=∠2．
【解析】由已知可证明∠C=∠DBA，从而可证明BD//EC，由平行线的性质和对顶角的性质可证明∠1=∠2．
本题主要考查了平行的性质和判定．本题的关键是证明BD和CE平行．
28.【答案】解：AB=AD+BE，理由如下：
∵∠DCE=∠A，
∴∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE，
∴∠D=∠BCE，
在△ACD和△BEC中，
∠A=∠B∠D=∠BCECD=EC，
∴△ACD≌△BEC(AAS)，
∴AD=BC，AC=BE，
∴AC+BC=AD+BE，
即AB=AD+BE．
【解析】证明△ACD≌△BEC(AAS)，得AD=BC，AC=BE，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
29.【答案】−3，−1 4 (3,−3)或(−5,1)或(−5,−3)
【解析】解：(1)由题意知，B(−3,−1)，则△ABC如图所示，
(2)∵B点和A点关于原点对称，
∴B(−3,−1)，
∵B点和C点纵坐标相等，
∴BC//x轴，
∴A点到BC的距离h=2，BC=1+3=4，
∴S△ABC=12BC⋅h=12×4×2=4，
故答案为：(−3,−1)，4．
(3)①当△ABC≌△DBC时，
DC=AC，AB=DB，
此时D(3,−3)；
②当△ABC≌△DCB时，
DC=AB，AC=DB，
此时D(−5,1)或(−5,−3)；
综上所述，如果△ABC与△BCD全等，D点的坐标为(3,−3)或(−5,1)或(−5,−3)．
故答案为：(3,−3)或(−5,1)或(−5,−3)．
(1)根据对称求出B点坐标，从而可画出三角形．
(2)由BC//x轴，可求出三角形的底BC的长以及三角形的高，从而可求出三角形的面积．
(3)分成△ABC≌△DBC和△ABC≌△DCB，画出图形，即可求出D点的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征、三角形的全等、对称．本题的关键是根据对称求出B的坐标．本题最后一问的易错点是没有考虑全面．
30.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴CD=CB；
(2)①∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠ACB=90°，
设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α，
∴∠BCD=2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，
分三种情况：
当BD=BF时，
∴∠BDC=∠BFD=3α，
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴90°−α=3α，
∴α=22.5°，
∴∠A=∠BCD=2α=45°；
当DB=DF时，
∴∠DBE=∠BFD=3α，
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，
∴90°−2α=3α，
∴α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°；
当FB=FD时，
∴∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC>∠DBF，
∴不存在FB=FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC=∠A+∠ACD，从而可得∠BDC=∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC=∠BDC.再根据等角对等边可得CD=CB，即可解答；
(2)①根据垂直定义可得∠BEC=90°，从而可得∠CBE+∠ACB=90°，然后设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，利用(1)的结论可得∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD=2α，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得∠BFD=3α，然后分三种情况：当BD=BF时；当DB=DF时；当FB=FD时；分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．
2022-2023学年上海市杨浦区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列语句错误的是( )
A. 实数可分为有理数和无理数 B. 无理数可分为正无理数和负无理数
C. 无理数都是无限小数 D. 无限小数都是无理数
2. 下列近似数，精确到0.001且有三个有效数字的是( )
A. 8.010 B. 8.01 C. 0.801 D. 0.081
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边BC上一点，且∠ADC=60°，下列说法中，错误的是( )
A. 直线AD与直线BC的夹角为60°
B. 直线AC与直线BC的夹角为90°
C. 线段CD的长是点D到直线AC的距离
D. 线段BD的长是点B到直线AD的距离
4. 下列三条线段能组成三角形的是( )
A. 2，5，4 B. 14，22，7 C. 22，9，7 D. 1，1， 5
5. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是( )
A. 有一个内角是50°的两个直角三角形
B. 有一个内角是50°的两个等腰三角形
C. 有一个内角为50°且腰长为6cm的两个等腰三角形
D. 有一个内角为100°且腰长为6cm的两个等腰三角形
6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，∠ABC=∠ACB，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )
A. AD=AE
B. BE=CD
C. OB=OC
D. BD=CE
二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）
7. 4的平方根是______ ．
8. 把 53表示成幂的形式是______ ．
9. 比较大小：− 10______−3．
10. 数轴上点A表示的数是− 2，那么点A到原点的距离是______ ．
11. 经过点M(5,−7)且平行于x轴的直线可以表示为直线______ ．
12. 如果点P(x,y)在第一象限，那么点Q(x,−y−2)第______ 象限．
13. 如果将点A(1,3)先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，得到点B，那么点B的坐标是______．
14. 已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，如果按角分类，那么△ABC是______ 三角形．
15. 等腰三角形的周长为16厘米，其中一边长为4厘米，那么腰长为______ 厘米．
16. 如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=______度．
17. 如图，已知在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE//BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，那么BC= ______ ．
18. 如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，AD、CE分别是边BC、AB上的两条高，AD与CE相交于点F，联结BF，那么图中有______ 对全等三角形．
19. 如图，在△ABC中，∠A=100度，如果过点B画一条直线l能把△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠C______度．
20. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置.如果DF//BC，∠B=60°，∠CEF=20°，那么∠A= ______ 度.
三、解答题（本大题共10小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题5.0分)
计算：3−8− 9−(−1)0+(12)−3．
22. (本小题5.0分)
计算： (1− 2)2+( 3+1)2−(1 3)−2．
23. (本小题5.0分)
利用有理数指数幂的性质进行计算：36÷ 6×634.(结果用含幂的形式表示)
24. (本小题5.0分)
如图，已知AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD//BE的理由．
解：因为AB//CD(已知)，所以∠1=∠BAF(______ ).
因为∠1=∠2(已知)，所以∠2=∠ ______ (______ ).
因为∠3=∠4(已知)，所以∠3+∠CAF=∠4+∠CAF(______ )
即∠BAF=∠CAD．
所以∠2=∠ ______ .所以AD//BE(______ ).
25. (本小题5.0分)
已知：如图，AD=BD，CD=ED，∠1=∠2，试说明∠3=∠1的理由．
解：因为∠1=∠2(已知)，
所以∠1+∠BDE=∠2+∠BDE(等式性质)，
即∠ ______ =∠ ______ ．
在△ADE和△BDC中，
AD=BD(已知)∠=∠ED=CD(已知)所以△ADE≌△BDC(( )______ ).
所以∠ ______ =∠ ______ (______ ).
又因为∠BED=∠2+∠C(______ )，
即∠3+∠AED=∠2+∠C，
所以∠3=∠2(______ ).
因为∠1=∠2(已知)，
所以∠3=∠1(______ ).
26. (本小题5.0分)
阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知直线l1//l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，AD与BC交于点E.△ACE与△BDE的面积相等吗？为什么？
解：作AH1⊥l2，垂足为H1，作BH2⊥l2，垂足为H2．
又因为l1//l2(已知)，
所以______ (平行线间距离的意义)．
(完成以下说理过程)
27. (本小题6.0分)
如图，已知AC//DF，∠C=∠D.试说明∠1=∠2的理由．
28. (本小题6.0分)
如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE.猜想AB、AD、BE之间的数量关系并证明．
29. (本小题6.0分)
在直角坐标平面内，已知点A的坐标为(3,1)，点B与点A关于原点对称，点C的坐标为(1,−1)．
(1)画出△ABC；
(2)写出点B的坐标和△ABC的面积：B(______ )，S△ABC= ______ ；
(3)如果△ABC与△BCD全等，请写出满足条件的所有点D的坐标(点D不与点A重合) ______ ．
30. (本小题12.0分)
已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．
(1)如图1，试说明CD=CB的理由；
(2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、实数可分为有理数无理数，正确；
B、无理数可分为正无理数和负无理数，正确；
C、无理数都是无限小数，正确；
D、无限不循环小数都是无理数，故错误；
故选：D．
根据实数的分类，即可解答．
本题考查了实数，解决本题的关键是掌握实数的分类．
2.【答案】C
【解析】解：A、8.010精确到0.001，且有四个有效数字，故A不符合题意；
B、8.01精确到0.01，且有三个有效数字；故B不符合题意；
C、0.801精确到0.001且有三个有效数字，故C符合题意；
D、0.081精确到0.001且有两个有效数字，故D不符合题意；
故选：C．
精确到哪一位就是看这个近似数的最后一位是什么位，有效数字就是从数的左边第一个不是0的数起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵∠CDA=60°，
∴直线AD与直线BC的夹角是60°，正确，故本选项不符合题意；
B、∵∠ACD=90°，
∴直线AC与直线BC的夹角是90°，正确，故本选项不符合题意；
C、∵∠ACD=90°，
∴DC⊥AC，
∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故本选项不符合题意；
D、∵AD和BC不垂直，
∴线段BD的长是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D．
本题考查了点到直线的距离，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
4.【答案】A
【解析】解：A.2+4>5，能组成三角形，故此选项正确；
B.14+7<22，不能组成三角形，故此选项错误；
C.7+9<22，不能组成三角形，故此选项错误；
D.1+1< 5，不能组成三角形，故此选项错误；
故选A．
根据三角形两边之和大于第三边可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5.【答案】D
【解析】解：A：不知道两三角形边长关系，从而无法判断全等，故A选项不符合题意；
B：不知道两三角形边长关系，从而无法判断全等，故B选项不符合题意；
C：若50°为顶角，则该三角形三角为50°，65°，65°；
若50°为底角，则该三角形三角为50°，50°，80°，
此时两三角形不全等，故C选项不符合题意；
D：∵100°为钝角，
∴100°只能为等腰三角形的顶角，
∴根据SAS可知此时两三角形全等，
故D选项符合题意．
故选：D．
只知道角的关系无法判断全等，从而可证明A，B选项不正确；分50°是顶角和底角两种情况可判断C选项不正确；由SAS可判断D选项．
本题主要考查了三角形全等的判定．本题的易错点是忽略50°既可以做底角又可以做顶角，从而错选C．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵∠BAE=∠CAD，
∴补充条件AD=AE时，△ABE≌△ACD(SAS)，故选项A不符合题意；
补充条件BE=CD，无法判断△ABE≌△ACD，故选项B符合题意；
补充条件OB=OC时，则∠OBC=∠OCB，故∠ABE=∠ACD，则△ABE≌△ACD(ASA)，故选项C不符合题意；
补充条件∠BDC=∠CEB时，则∠AEB=∠ADC，则△ABE≌△ACD(AAS)，故选项D不符合题意；
故选：B．
根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定△ABE≌△ACD，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】±2
【解析】解：∵22=4，(−2)2=4，
∴4的平方根是±2，
故答案为：±2．
一个数x的平方等于a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．
本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8.【答案】532
【解析】解： 53=532，
故答案为：532．
根据幂的表达方法即可得出答案．
本题考查幂的表达方法，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
9.【答案】<
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
先把−3变为9算术平方根的相反数，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】
解：∵10>9
∴ 10> 9=3,
∴− 10<− 9=−3，
故填空答案<．
10.【答案】 2
【解析】解：点A到原点的距离=0−(− 2)= 2．
故答案为： 2．
依据数轴上两点间的距离公式求解即可．
本题主要考查的是实数与数轴，依据数轴上两点间的距离公式列出算式是解题的关键．
11.【答案】y=−7
【解析】解：∵直线和x轴平行，
∴直线上所有点的纵坐标都相等，为−7，
∴直线表示为：y=−7．
故答案为：y=−7．
由直线和x轴平行可知直线上所有点的纵坐标，从而可求出答案．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征．与x轴平行的直线上所有点纵坐标相等，与y轴平行的直线上所有点的横坐标相等．
12.【答案】四
【解析】解：由点P(x,y)在第一象限，得x>0，y>0，
∴−y−2<0，
∴点Q(x,−y−2)在第四象限，
故答案为：四．
根据第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，可得x、y的取值范围，根据不等式的性质，可得−y−2的范围，再根据点的横坐标的取值范围、纵坐标的取值范围，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，得出x、y的取值范围，再利用不等式的性质得出Q点的横坐标的取值范围，纵坐标的取值范围．
13.【答案】(3,0)
【解析】
【分析】
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题主要考查坐标与图形的变化，解决本题的关键是得到各点的平移规律．
【解答】
解：根据题意知点B的坐标是(1+2,3−3)，即(3,0)，
故答案为：(3,0)．
14.【答案】锐角
【解析】解：设∠A：∠B：∠C=2x：3x：4x，
则2x+3x+4x=180°，
∴x=20°，
∴4x=80°，即三角形中最大的角是80°，
∴这个三角形是锐角三角形．
故答案为：锐角．
根据三角形的内角和为180°列出关于x的方程，求解可得三角形中最大角的度数，即可判断出三角形的形状．
此题主要是考查了三角形的内角和定理及三角形的分类，能够根据三角形的内角和定理得到关于x的方程是解答此题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：①当等腰三角形腰长为4厘米时，
16−4−4=8(厘米)；
∵4+4=8，
∴4，4，8不能构成三角形，
即腰长为4厘米不符合题意；
②等腰三角形底为4厘米时，
16−42=6(厘米)，
∵4+6>6，
∴6，6，4符合题意．
综上所述，腰长为6厘米．
故答案为：6．
分成等腰三角形的腰长为4厘米和底为4厘米两种情况，结合周长确定腰长．
本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系．本题的易错点有两个，一是没有讨论已知边是腰还是底，而是没有根据三角形的三边关系对答案进行取舍．
16.【答案】60
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOD=60°．
又∵OD=OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴AO=AD，∠OAD=60°，∠ADO=60°．
∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，
∴∠BAO=∠CAD．
在△BAO和△CAD中，AB=AC∠BAO=∠CADAO=AD，
∴△BAO≌△CAD(SAS)，
∴∠ADC=∠AOB=120°，
∴∠BDC=∠ADC−∠ADO=60°．
故答案为：60．
由△ABC为等边三角形可得出AB=AC、∠BAC=60°，由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD=60°，结合OD=OA可得出△AOD为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出AO=AD、∠OAD=60°，根据∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°可得出∠BAO=∠CAD，利用全等三角形的判定定理SAS可证出△BAO≌△CAD，根据全等三角形的性质可得出∠ADC的度数，再根据∠BDC=∠ADC−∠ADO即可求出∠BDC的度数．
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明△BAO≌△CAD，找出∠ADC=∠AOB=120°是解题的关键．
17.【答案】5
【解析】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∵DE//BC，
∴∠BOD=∠OBC，∠COE=∠OCB，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠COE，
∴BD=OD，CE=OE，
∵△ADE的周长为9，
∴AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=9，
∵△ABC的周长是14，
∴AB+AC+BC=14，
∴BC=14−9=5，
故答案为：5．
由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE//BC，易得△BOD与△COE是等腰三角形，又由△ADE的周长为9，可得AB+AC=9，又由△ABC的周长是14，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质，三角形的周长，弄清△ADE的周长和△ABC的周长之间的关系是解题的关键．
18.【答案】4
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∵AF=AF，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SAS)，△BAF≌△CAF(SAS)，
∴BF=CF，
∵FD=FD，
∴△BFD≌△CFD(SSS)，
∵∠FCD+∠CFD=90°，
∠FCD+∠CBE=90°，
∴∠CFD=∠AFE=∠CBE，
∵CE⊥AB，∠CAE=45°
∴∠CAE=∠ACE=45°，
∴AE=CE，
∵∠AEF=∠CEB=90°，
∴△AEF≌△CEB(AAS)．
故答案为：4．
由等腰三角形的性质可得BD=CD，∠BAD=∠CAD，结合SAS可证明△BAD≌△CAD，△BAF≌△CAF；从而可证明BF=CF，由SSS可证明△BFD≌△CFD；由已知条件可知△AEC是等腰直角三角形，即可证明AE=CE，又由同角的余角相等可证明∠AFE=∠CBE，由AAS可证明△AEF≌△CEB．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质．本题的易错点是忽略了已知45°，从而导致少找一对全等三角形．
19.【答案】=20
【解析】解：如图，设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形，
∵∠A=100度，
∴∠ADB=∠ABD=40°，
∵CD=BD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C，
∴2∠C=40°，
∴∠C=20°，
故答案为=20．
设过点B的直线与AC交于点D，则△ABD与△BCD都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，得出∠ADB=∠ABD=40°，∠C=∠DBC，根据三角形外角的性质即可求得∠C=20°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质并灵活运用是解题的关键．
20.【答案】50
【解析】解：∵DF//BC，∠B=60°，
∴∠ADF=60°．
∵△DEF由△DEA翻折而成，
∴∠EDF=12∠ADF=12×60°=30°，∠A=∠F．
∵∠CEF=20°，
∴∠DEC=180°−20°2=80°，
∴∠DEF=80°+20°=100°，
∴∠F=180°−∠EDF−∠DEF=180°−30°−100°=50°．
故答案为：50．
先根据平行线的性质求出∠ADF的度数，再由∠CEF=20°求出∠DEC的度数，根据翻折变换的性质求出∠EDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠F的度数，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
21.【答案】解：3−8− 9−(−1)0+(12)−3
=−2−3−1+8
=2．
【解析】先由立方根定义，算术平方根定义，零次幂法则，负整数指数幂法则进行化简，再合并计算可得结果．
此题主要是考查了立方根定义，算术平方根定义，零次幂法则，负整数指数幂法则，能够熟练运用各种运算法则是解答此题的关键．
22.【答案】解：原式=|1− 2|+( 3+1)2−1(1 3)2
= 2−1+(3+2 3+1)−3
= 2−1+3+2 3+1−3
= 2+2 3．
【解析】分别将算术平方根、完全平方、负指数幂计算出来，并化简即可．
计算能力是数学中要求的最基本的能力．本题考查二次根式的混合运算，比较简单，但要认真、仔细，否则很容易计算错误．
23.【答案】解：36÷ 6×634
=613÷612×634
=613−12+34
=6712．
【解析】根据分数指数幂的运算法则进行计算即可．
本题考查了实数的运算，分数指数幂，解决本题的关键是掌握分数指数幂运算法则．
24.【答案】两直线平行，同位角相等 BAF 等量代换 等式性质 CAD 内错角相等，两直线平行
【解析】解：因为AB//CD(已知)，所以∠1=∠BAF(两直线平行，同位角相等)．
因为∠1=∠2(已知)，所以∠2=∠BAF(等量代换)．
因为∠3=∠4(已知)，所以∠3+∠CAF=∠4+∠CAF(等式性质)．
即∠BAF=∠CAD，所以∠2=∠CAD．
所以AD//BE(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：两直线平行，同位角相等；BAF；等量代换；等式性质；CAD；内错角相等，两直线平行．
由已知平行可证明∠2=∠1=∠BAF，由∠3=∠4可证明∠BAF=∠CAD，从而可知∠2=∠CAD，进而可证明两直线平行．
本题主要考查了平行的性质和判定．本题的关键是证明∠2=∠CAD．
25.【答案】ADE BDC SAS AED C 全等三角形对应角相等 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 等式的性质 等量代换
【解析】解：因为∠1=∠2(已知)，
所以∠1+∠BDE=∠2+∠BDE(等式性质)，
即∠ADE=∠BDC．
在△ADE和△BDC中，
AD=BD∠ADE=∠BDCED=CD，
所以△ADE≌△BDC(SAS)．
所以∠AED=∠C ( 全等三角形对应角相等 )．
又因为∠BED=∠2+∠C( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 )，
即∠3+∠AED=∠2+∠C，
所以∠3=∠2( 等式的性质 )．
因为∠1=∠2(已知)，
所以∠3=∠1( 等量代换 )．
如图，首先运用等式的基本性质证明∠ADE=∠BDC；运用SAS公理证明△ADE≌△BDC，借助全等三角形的性质证明∠AED=∠C；借助三角形外角的性质及等式的基本性质，即可证明∠3=∠1．
该题主要考查了等式的性质、三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握三角形外角的性质、全等三角形的判定等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
26.【答案】AH1=BH2
【解析】解：相等．作AH1⊥l2，垂足为H1，作BH2⊥l2，垂足为H2．
∵l1//l2(已知)，
∴AH1=BH2(平行线间距离的意义)
∵S△ACD=12×CD×AH1，S△CBD=12×CD×BH2，
∴S△ACD=S△CBD，
∴S△ACD−S△CDE=S△CBD−S△CDE
∴△ACE与△BDE的面积相等．
故答案为：AH1=BH2．
由平行线距离的意义可知AH1=BH2，从而可证明△ACD和△BCD的面积相等，两个三角形减去公共部分剩余面积也相等，从而可证明△ACE与△BDE的面积相等．
本题考查了三角形面积、平行线的性质．本题的关键是先证明两个大三角形面积的关系．
27.【答案】解：∵AC//DF，
∴∠DBA=∠D，
∵∠C=∠D，
∴∠DBA=∠C，
∴CE//BD，
∴∠1=∠GHC，
∵∠2=∠GHC，
∴∠1=∠2．
【解析】由已知可证明∠C=∠DBA，从而可证明BD//EC，由平行线的性质和对顶角的性质可证明∠1=∠2．
本题主要考查了平行的性质和判定．本题的关键是证明BD和CE平行．
28.【答案】解：AB=AD+BE，理由如下：
∵∠DCE=∠A，
∴∠D+∠ACD=∠ACD+∠BCE，
∴∠D=∠BCE，
在△ACD和△BEC中，
∠A=∠B∠D=∠BCECD=EC，
∴△ACD≌△BEC(AAS)，
∴AD=BC，AC=BE，
∴AC+BC=AD+BE，
即AB=AD+BE．
【解析】证明△ACD≌△BEC(AAS)，得AD=BC，AC=BE，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
29.【答案】−3，−1 4 (3,−3)或(−5,1)或(−5,−3)
【解析】解：(1)由题意知，B(−3,−1)，则△ABC如图所示，
(2)∵B点和A点关于原点对称，
∴B(−3,−1)，
∵B点和C点纵坐标相等，
∴BC//x轴，
∴A点到BC的距离h=2，BC=1+3=4，
∴S△ABC=12BC⋅h=12×4×2=4，
故答案为：(−3,−1)，4．
(3)①当△ABC≌△DBC时，
DC=AC，AB=DB，
此时D(3,−3)；
②当△ABC≌△DCB时，
DC=AB，AC=DB，
此时D(−5,1)或(−5,−3)；
综上所述，如果△ABC与△BCD全等，D点的坐标为(3,−3)或(−5,1)或(−5,−3)．
故答案为：(3,−3)或(−5,1)或(−5,−3)．
(1)根据对称求出B点坐标，从而可画出三角形．
(2)由BC//x轴，可求出三角形的底BC的长以及三角形的高，从而可求出三角形的面积．
(3)分成△ABC≌△DBC和△ABC≌△DCB，画出图形，即可求出D点的坐标．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的特征、三角形的全等、对称．本题的关键是根据对称求出B的坐标．本题最后一问的易错点是没有考虑全面．
30.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD，
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴CD=CB；
(2)①∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠ACB=90°，
设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α，
∴∠BCD=2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α，
分三种情况：
当BD=BF时，
∴∠BDC=∠BFD=3α，
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴90°−α=3α，
∴α=22.5°，
∴∠A=∠BCD=2α=45°；
当DB=DF时，
∴∠DBE=∠BFD=3α，
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，
∴90°−2α=3α，
∴α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°；
当FB=FD时，
∴∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC>∠DBF，
∴不存在FB=FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC=∠A+∠ACD，从而可得∠BDC=∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC=∠BDC.再根据等角对等边可得CD=CB，即可解答；
(2)①根据垂直定义可得∠BEC=90°，从而可得∠CBE+∠ACB=90°，然后设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，利用(1)的结论可得∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD=2α，即可解答；
②根据三角形的外角性质可得∠BFD=3α，然后分三种情况：当BD=BF时；当DB=DF时；当FB=FD时；分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键．
相关试卷
2022-2023学年上海市杨浦区七年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年上海市杨浦区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市杨浦区八年级（上）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年上海市杨浦区八年级（上）期末数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，四象限D．第三，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市杨浦区七年级（上）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年上海市杨浦区七年级（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了5b)-ab．，【答案】-15，【答案】-3xy，【答案】-75a5，【答案】7等内容，欢迎下载使用。
