甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷（含答案）

这是一份甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知等比数列的首项和公比均为2，则的值为( )
A.-2 B.2 C.4 D.8
2、如图，在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角为( )

A. B. C. D.
3、设一组样本数据,,,的均值为2，方差为0.01，则数据,,,的均值和方差分别为( )
A.20;0.01 B.20;0.1 C.200;1 D.20;1
4、已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
5、《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目改编：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的1份为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6、已知抛物线的焦点为F，圆，过F作直线l，与上述两曲线自上而下依次交于点P,M,N,Q，当时，直线l的斜率为( )
A. B. C.1 D.
7、等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
8、已知，分别为双曲线的左、右焦点，直线l过点，且与双曲线右支交于A，两点，O为坐标原点，、的内切圆的圆心分别为，，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、对于抛物线，下列描述不正确的是( )
A.开口向上，焦点为 B.开口向上，焦点为
C.准线方程为 D.准线方程为
10、已知数列 的前项和为，下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，则的最小值为-66
C.若，则数列的前17项和为-33
D.若数列为等差数列，且，则当时，n的最大值为2023
11、已知,为双曲线的左右焦点，关于一条渐近线的对称点P刚好落在双曲线上，则下列说法正确的是( )
A.
B.双曲线的离心率
C.
D.渐近线方程为
12、已知数列满足，下列命题正确的有( )
A.当时，数列为递减数列
B.当时，数列一定有最大项
C.当时，数列为递减数列
D.当为正整数时，数列必有两项相等的最大项
三、填空题
13、已知数列满足，则数列的通项公式为______.
14、已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为__________
15、抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是________.
16、已知,为椭圆两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），的重心为G，内心为M，且，则椭圆C的离心率为___________．
四、解答题
17、已知数列的首项，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式.
18、已知椭圆与抛物线有相同的焦点F，抛物线C的准线交椭圆于A，B两点，且.
（1）求椭圆与抛物线C的方程；
（2）O为坐标原点，过焦点F的直线l交椭圆于M，N两点，求面积的最大值.
19、如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，,,E为AD延长线上一点，平面ABCD,,,F是PB中点.

（1）证明：；
（2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
20、某校从小明所在的高一年级的600名学生中，随机抽取了50名学生，对他们家庭中一年的月均用水量（单位：吨）进行调查，并将月均用水量分为6组：，，，，，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求出图中实数a的值，并根据样本数据，估计小明所在的高一年级的600名同学家庭中，月均用水量不低于11吨的约有多少户；
（2）在月均用水量不低于11吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率．
21、已知双曲线的右焦点为，且点在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在不与F重合的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
22、已知数列的通项公式为，为数列的前n项和.
（1）求；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：由于等比数列的首项和公比均为2，
所以，
故选：D
2、答案：D
解析：在正方体中，且，所以为平行四边形，
则，所以即为直线PB与所成的角（或所成角的补角），
不妨设正方体的棱长为2，因为P为的中点，
所以，则，
在中，，，
所以在中，，
因为，所以.
故选：D
3、答案：D
解析：根据题意，易知新数据的平均数为；
方差为.
故选：D.
4、答案：B
解析：设，,因为，所以；
因为，所以，即，
所以，整理得，其轨迹是椭圆.
故选：B.
5、答案：A
解析：设每个人所得按从小到大排列构成等差数列，首项为，公差为d，
由题意知，
解得，最小的1份为10个.
故选：A.
6、答案：A
解析：设，，则，.
，，
由抛物线的性质知，
，则，
.
又，
得，，
当且仅当时，，
此时， ，，
，
又，
故
故选：A
7、答案：A
解析：根据题意得，，解得，故，
时，，
故
．
故选：A
8、答案：B
解析：设圆与，，分别切于点M，N，P.
由双曲线定义知，，

，
，，，
，又，
，，即点P为双曲线的右顶点.
轴，的横坐标为1，同理：横坐标也为1.
平分，平分.，
设、的内切圆半径分别为，，
轴，，
，.
设直线AB倾斜角为，又AB为双曲线右支上两点，
又渐近线方程为，由题意得，，
，
又在单调递减，在单调递增
当时，；
当时，；当时，
.
故选：B.
9、答案：BC
解析：因为，所以，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A,D正确.
故选：BC.
10、答案：BC
解析：对于A，由，当时，，
由，当时，，所以A不正确；
对于B，若，当时，，则，
所以当时，取得的最小值为；
对于C，若，设数列的前n项和为，
所以
，故C正确；
对于D，数列等差数列，且，
则，
所以，
当时，n的最大值为2022，所以D不正确.
故选：BC.
11、答案：BC
解析：如图所示，双曲线的左焦点为，右焦点为，由对称性，取一条渐近线，关于渐近线的对称点为P，

直线l与线段的交点为A，连接，因为点P与关于直线l对称，
则，且A为的中点，所以，,
根据双曲线的定义，有，故A不正确；
，即，
所以，故B正确；
易知是以为直角的直角三角形，所以，故C正确；
由于，所以渐近线方程为，故D不正确.
故选：BC
12、答案：BCD
解析：当时，，知A错误；
当时，，当，，，，
所以可判断一定有最大项，B正确；
当时，，所以数列为递减数列，C正确；
当为正整数时，，当时，，
当时，令，
解得，则，当时，，
结合B，数列必有两项相等的最大项，故D正确；
故选：BCD.
13、答案：
解析：当时，；
当时，，
因为，所以两式相减可得；
显然不满足上式，
综上可得.
故答案为：
14、答案：12
解析：由题意得：，根据椭圆的定义得，
，
圆变形得，即圆心，半径，
要使最大，即最大，又，
使最大即可.
如图所示：

当P,,M共线时，有最大值为，
的最大值为，
的最大值，即的最大值为，
故答案为：12
15、答案：
解析：因为，所以，
又因为A,B为相互独立事件，
所以
所以A,B中至少有一件发生的概率为
故答案为:
16、答案：
解析：设，由于G是的重心，由重心坐标公式可得，
由于，所以M的纵坐标为，
由于M是的内心，所以内切圆的半径为，
由椭圆定义得，
，
，
故答案为：

17、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，所以，
即，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可求得，所以，即.
18、答案：（1）椭圆的方程为：，抛物线C的方程为：；
（2）最大值为1.
解析：（1）因为，所以不妨设A的坐标为，B的坐标为，
所以有：， ，，
椭圆的方程为：，抛物线C的方程为：；
（2）由（1）可知：F的坐标为：，
设直线l的方程为：，O到MN的距离为d，则，
联立可得：，则，
，
当且仅当时取等号，故面积的最大值为1.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：平面ABCD,平面ABCD,.
,,.
又，PE,平面PAD
平面PAD.
平面PAD.

取PA的中点M，连接EM,FM,F为PB的中点，
.
.
，
，
D为AE的中点，,.
又,EM,平面EFM
平面EFM.
平面EFM,.

（2）,.
，且,,四边形ABCE为矩形，
平面PAE.
，解得，
以E为原点，分别以,,方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Exyz.

则，,,,
易知是平面DEC的一个法向量.
设平面FDE的一个法向量为，
，即，不妨取，得.
.
由图知二面角的平面角为锐角，
二面角的余弦值为.
20、答案：（1），84户
（2）.
解析：（1）因为各组的频率之和为1,
所以月均用水量在区间的频率为

所以图中实数.
由图可知,样本数据中月均用水量不低于11吨的频率为

所以小明所在学校600名同学家庭中,月均用水量不低于11吨的约有
（户）
（2）设事件A:这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组
由图可知,样本数据中月均用水量在的户数为.
记这五名同学家庭分别为a,b,c,d,e.
月均用水量在的户数为.
记这两名同学家庭分别为f,g.
则选取的同学家庭的所有可能结果为:
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,共21种.
事件A的可能结果为:
，,,,,,,,,共10种.
所以.
所以这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于组的概率为.
21、答案：（1）
（2）存在，，理由见解析
解析：（1）由题意得，，
所以，所以，，
所以双曲线C的标准方程为；
（2）假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去x，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，此时；
当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得也能让点F到直线PA，PB的距离相等；
综上所述，故存在满足题意
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以
.
（2）当n为正奇数时，，
且随n的增大而增大，所以，所以，
当n为正偶数时，，
且随n的增大而减小，所以，
所以，综上可得且，则，
所以的最大值为（当且仅当时取得）.
因为恒成立，所以恒成立，所以，
所以的取值范围为.