2022-2023学年北京市房山区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市房山区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市房山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，该不等式的解集为(    )


A. x<2 B. x≤2 C. x>2 D. x≥2
2. 纳米(nm)技术是一种高新科技，它可以在微观世界里直接探索0.1～500nm范围内物质的特性，从而创造新材料.lnm=0.000000001m，将数字0.000000001用科学记数法表示应为(    )
A. 1×10−8 B. 1×109 C. 1×10−9 D. 1×10−10
3. 下列式子从左到右变形是因式分解的是(    )
A. x(xy+y2)=x2y+xy2 B. 6xy2=2x⋅3y2
C. x2−2x+1=x(x−2)+1 D. x2−6x+9=(x−3)2
4. 下列计算正确的是(    )
A. a−1=−a B. a2+a2=0 C. a⋅a3=a4 D. (a3)2=a9
5. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠AOC=36°，则∠DOE的度数为(    )

A. 36° B. 54° C. 64° D. 144°
6. 下列命题中，假命题是(    )
A. 同角的补角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 如果a=b，b=c，那么a=c
D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
7. 下列图形中，由AB//CD，能得到∠1=∠2的是(    )
A. B.
C. D.
8. 如果x=2y=1是方程2ax+by=13的解，a，b是正整数，则a+b的最小值是(    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 已知∠1=40°，则∠1的补角是______ °.
10. 计算：(8a4+6a)÷2a= ______ ．
11. 如图，利用工具测量角，则∠1的大小为______ ．

12. 写一个以x=−1y=2为解的二元一次方程组______．
13. 如图，已知∠B=45°，请你添加一个条件：______ ，使得EF//BC．


14. 用一组a、b、c的值说明命题“若a>b，则ac>bc”错误的，这组值可以是a=______，b=______，c=______．
15. 某学习小组对学校附近一超市2022年3月至10月西红柿价格进行调研，结果统计如下表：(价格：元/千克)
月份
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
价格
10
9
7
5
5
6
6
8
上表中西红柿价格的平均数为______ ．
16. 已知二元一次方程2x+y=8，当y<0时，x的取值范围是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 解方程组：2x−y=7①3x+2y=0②．
四、解答题（本大题共10小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题10.0分)
计算：
(1)(−3)3+(12)−2−(5−π)0；
(2)(a+3)2−a(a+2)．
19. (本小题5.0分)
解不等式组：2(x−1)+3≤72x+53>1．
20. (本小题10.0分)
把下列各式分解因式：
(1)2m2−4mn+6mn2；
(2)a3−ab2．
21. (本小题5.0分)
如图，∠AOB，点C在边OB上．
(1)过点C作直线CD⊥OB，交OA于点D；
(2)过点C作直线CM//OA，过点D作直线DN//OB，直线CM，DN交于点E；
(3)如果∠AOB=50°，那么∠CED= ______ °.

22. (本小题5.0分)
已知x−y=3，求代数式(x+y)(x−y)+(y−2)2−x(x−4)的值．
23. (本小题5.0分)
请补全证明过程及推理依据，如图，AB和CD相交于点O，∠C=∠COA，
∠D=∠BOD，求证：AC//BD．
证明：∠C=∠COA，∠D=∠BOD，
又∠COA=∠BOD(______ )，
∴∠C= ______ (______ )，
∴AC//BD(______ ).

24. (本小题5.0分)
某中学积极开展“阳光体育”运动，开设“足球课间活动”.购买了甲种品牌的足球50个，乙种品牌的足球25个，共花费4500元，已知乙种品牌足球的单价比甲种品牌足球的单价高30元．
(1)求甲、乙两种品牌足球的单价各多少元？
(2)为参加“足球联谊赛”活动，根据需要，学校决定再次购进甲、乙两种品牌的足球50个.正逢体育用品商店“优惠促销”活动，甲种品牌的足球单价优惠4元，乙种品牌的足球单价打8折.如果此次学校购买甲、乙两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买乙种品牌的足球不少于23个，那么有几种购买方案？
25. (本小题6.0分)
下面是解答一道几何题时添加辅助线的方法，请完成证明．
已知：如图，AB//CD，
求证：∠AEC=∠A+∠C．
证明：如图，过点E作直线MN//AB．

26. (本小题6.0分)
北京时间2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功.为了激发学生的航天兴趣，弘扬科学精神，某校七年级所有学生参加了“科技筑梦，创新成长”为主题的太空科普知识竞赛.为了解七年级学生的科普知识掌握情况，调查小组进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据调查小组计划从七年级选取20名学生的竞赛成绩(百分制)作为样本，下面的抽样方法中，合理的是______ (填字母)．
A.从七年级的科技小组中选取20名学生的竞赛成绩组成样本；
B.从七年级选取20名男生的竞赛成绩组成样本；
C.从七年级随机选取10名男生、10名女生的竞赛成绩组成样本．
抽样方法确定后，调查小组抽取得到的样本数据如下：
66，88，84，79，92，83，95，89，100，91
91，97，74，77，99，98，89，94，100，100
整理、描述数据，按如下分数段整理、描述的样本数据情况如下：
成绩x
65≤x<80
80≤x<85
85≤x<90
90≤x<95
95≤x≤100
人数

2
3

7
分析数据样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
平均数
中位数
众数
89.3
m
n
得出结论
a.m= ______ ，n= ______ ；
b.如果该校七年级共有200名同学，估计成绩不低于95分的有______ 人.
27. (本小题6.0分)
如图，线段AB，AD交于点A.C为直线AD上一点(不与点A，D重合).过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC，过点D作直线DF//AB，交CE于点G(G与D不重合)．
(1)如图1，若点C在线段AD上，且∠BCA为钝角．
①按要求补全图形；
②判断∠B与∠CGD的数量关系，并证明．
(2)若点C在线段DA的延长线上，请直接写出∠B与∠CGD的数量关系．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：如图，该不等式的解集为x<2．
故选：A．
根据数轴表示不等式的解集的方法进行判断．
本题考查了解一元一次不等式：掌握用数轴表示数的方法和表示不等式的解集方法是解决问题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：由题意得，
0.000000001=1×10−9，
故选：C．
运用科学记数法的定义进行求解．
此题考查了运用科学记数法表示较小数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．

3.【答案】D 
【解析】解：A、x(xy+y2)=xy(x+y)，不符合题意；
B、该选项不是多项式，不能分解，不符合题意；
C、x2−2x+1=(x−1)2，不符合题意；
D、x2−6x+9=(x−3)2，符合题意；
故选：D．
将一个多项式分解成几个整式的积的形式叫因式分解，根据定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，将一个多项式分解成几个整式的积的形式叫因式分解．

4.【答案】C 
【解析】解：a−1=1a，故A不符合题意；
a2+a2=2a2，故B不符合题意；
a⋅a3=a1+3=a4，故C符合题意；
(a3)2=a3×2=a6，故D不符合题意．
故选：C．
本题分别计算四个选项结果进而作答．
本题考查负整数指数幂，同底数幂的乘法，乘方运算，解题的关键是熟悉幂的运算．

5.【答案】B 
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°．
又∵∠AOC=36°，
∴∠DOE=180°−∠AOE−∠AOC=54°．
故选：B．
根据垂直的定义，由OE⊥AB，得∠AOE=90°.由∠AOC=36°，得∠DOE=180°−∠AOE−∠AOC=54°．
本题主要邻补角、垂直，熟练掌握邻补角的定义、垂直的定义是解决本题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：A、同角的补角相等，是真命题，故本选项不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故本选项不符合题意；
C、如果a=b，b=c，那么a=c，是真命题，故本选项不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题，故本选项符合题意；
故选：D．
利用同角的补角的性质、垂直的定义、平行线的性质等知识分别判断后即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解同角的补角的性质、垂直的定义、平行线的性质等知识，难度不大．

7.【答案】A 
【解析】解：选项A中的∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同位角，
∴由AB//CD，可以得到∠1=∠2；
选项B中∠1和∠2是由直线AB与CD被第三条直线所截的一组同旁内角，
∴由AB//CD，不能得到∠1=∠2；
选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线AC所截的一组内错角，
∴由AB//CD，不能得到∠1=∠2；
选项C中∠1和∠2是由直线AD与BC被直线DC所截的一组同旁内角，
∴由AB//CD，不能得到∠1=∠2．
故选：A．
根据“三线八角”的定义，以及平行的性质对题目中的四个选项逐一进行判定即可得出答案．
此题主要考查了“三线八角”的定义，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握“三线八角”的定义，理解两直线平行同位角相等；两直线平行=内错角相等；两直线平行同旁内角互补．

8.【答案】B 
【解析】解：由题意得：4a+b=13．
又∵a、b是正整数，
∴a=1，b=9或a=2，b=5或a=3，b=1．
当a=1，b=9时，a+b=10．
当a=2，b=5时，a+b=7．
当a=3，b=1时，a+b=4．
∴a+b的最小值为4．
故选：B．
根据方程的解的定义，将x=2y=1代入方程2ax+by=13，可得4a+b=13.因a，b是正整数，故可知a及b的值，从而求出a+b的最小值．
本题属于简单题，主要考查方程的解的定义．

9.【答案】140 
【解析】解：设所求角为∠α，
∵∠α+∠1=180°，∠1=40°，
∴∠α=180°−40°=140°．
故答案为：140．
两角互为补角，和为180°，那么计算180°−∠1可求补角．
此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，两角互补和为180°．

10.【答案】4a3+3 
【解析】解：原式=8a4÷2a+6a÷2a
=4a3+3．
依据题意，由整式的除法运算法则可以得解．
本题主要考查了整式的除法，解题时需要熟练掌握并准确计算．

11.【答案】30° 
【解析】解：观察量角器可知角的度数为30°，
由对顶角相等可知∠1=30°，
故答案为：30°．
根据对顶角的性质解答即可．
本题考查了对顶角，熟知对顶角相等是解题的关键．

12.【答案】x+y=1x−y=−3 
【解析】解：一个以x=−1y=2为解的二元一次方程组x+y=1x−y=−3．
故答案为：x+y=1x−y=−3．
根据方程组的解，可得二元一次方程组．
本题考查了二元一次方程组的解，本题是开放型题目，符合题意的方程二元一次方程组有无数个，只要符合题意就可以．

13.【答案】∠ADF=45°(答案不唯一) 
【解析】解：①∠ADF=45°，理由如下：
∵∠B=45°，
∴∠ADF=∠B，
∴EF//BC．
②∠EDB=45°，理由如下：
∵∠B=45°，
∴∠EDB=∠B，
∴EF//BC．
③∠BDF=135°，理由如下：
∵∠B=45°，
∴∠BDF+∠B=180°，
∴EF//BC．
故答案为：∠ADF=45°(答案不唯一)
根据同位角相等两直线平行可添加条件∠ADF=45°；根据内错角相等两直线平行可添加条件∠EDB=45°；根据同旁内角互补两条直线平行可添加∠BDF=135°．
此题主要考查了平行线的判定，解答此题的关键是理解同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两条直线平行．

14.【答案】1  −1  0 
【解析】解：当a=1，b=−1，c=0时，1>−1，而1×0=0×(−1)，
∴命题“若a>b，则ac>bc”是错误的，
故答案为：1；−1，0.(答案不唯一)
根据题意选择a、b、c的值即可．
本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

15.【答案】7千克 
【解析】解：由题意可知，上表中西红柿价格的平均数为：
18×(10+9+7+5+5+6+6+8)=7(千克)．
故答案为：7千克．
根据平均数的定义列式计算即可．
本题考查了平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．掌握定义是解题的关键．

16.【答案】x>4 
【解析】解：∵2x+y=8，
∴y=8−2x，
∵y<0，
∴8−2x<0，
−2x<−8，
x>4，
故答案为：x>4．
根据已知可得y=8−2x，从而可得8−2x<0，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．

17.【答案】解：2x−y=7①3x+2y=0②，
①×2+②，可得7x=14，
解得x=2，
把x=2代入①，解得y=−3，
∴原方程组的解是x=2y=−3． 
【解析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
直接用加减消元法，求出方程组的解即可．

18.【答案】解：(1)原式=−27+4−1
=−24；
(2)原式=a2+6a+9−a2−2a
=4a+9． 
【解析】(1)利用有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义和零指数幂的意义化简运算即可；
(2)利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，整式是运算，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，完全平方公式和单项式乘多项式的法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．

19.【答案】解：2(x−1)+3≤7①2x+53≥1②，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x≥−1，
所以这个不等式组的解集为：−1≤x≤3． 
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

20.【答案】解：(1)2m2−4mn+6mn2=2m(m−2n+3n2)；
(2)a3−ab2
=a(a2−b2)
=a(a+b)(a−b)． 
【解析】(1)利用提公因式法，进行分解即可解答；
(2)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

21.【答案】50 
【解析】解：(1)如图，直线CD即为所求；
(2)如图，直线DN，CM，点E即为所求；
(3)∵CM//OA，
∴∠MCB=∠AOB=50°，
∵DN//OB，
∴∠CED=∠MCB=50°，
故答案为：50．
(1)根据作图语句即可完成作图；
(2)根据作图语句完成作图即可；
(3)根据平行线的性质即可解决问题．
本题考查了作图−基本作图，平行线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

22.【答案】解：(x+y)(x−y)+(y−2)2−x(x−4)
=x2−y2+y2−4y+4−x2+4x
=4x−4y+4，
当x−y=3时，原式=4(x−y)+4=4×3+4=12+4=16，
∴(x+y)(x−y)+(y−2)2−x(x−4)的值为16． 
【解析】利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x−y=3代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

23.【答案】对顶角相等  ∠D  等量代换  内错角相等，两直线平行 
【解析】证明：∠C=∠COA，∠D=∠BOD，
又∠COA=∠BOD(对顶角相等)，
∴∠C=∠D(等量代换)，
∴AC//BD(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：对顶角相等；∠D；等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．

24.【答案】解：(1)设甲种品牌足球的单价是x元，乙种品牌足球的单价是y元，
根据题意得：50x+25y=4500y−x=30，
解得：x=50y=80．
答：甲种品牌足球的单价是50元，乙种品牌足球的单价是80元；
(2)设购买m个甲种品牌的足球，则购买(50−m)个乙种品牌的足球，
根据题意得：(50−4)m+80×0.8(50−m)≤275050−m≥23，
解得：25≤m≤27，
又∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种购买方案．
答：该学校共有3种购买方案． 
【解析】(1)设甲种品牌足球的单价是x元，乙种品牌足球的单价是y元，根据“购买了甲种品牌的足球50个，乙种品牌的足球25个，共花费4500元，且乙种品牌足球的单价比甲种品牌足球的单价高30元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买m个甲种品牌的足球，则购买(50−m)个乙种品牌的足球，根据“此次学校购买甲、乙两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买乙种品牌的足球不少于23个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该学校共有3种购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

25.【答案】证明：过点E作直线MN//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//MN，
∴∠AEM=∠A，∠CEM=∠C，
∴∠AEM+∠CEM=∠A+∠C，
即：∠AEC=∠A+∠C． 
【解析】过点E作直线MN//AB，于是可得出AB//CD//MN，然后根据两直线平行内错角相等得∠AEM=∠A，∠CEM=∠B，据此即可得出结论．
此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，理解平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等．

26.【答案】C  91  100  70 
【解析】解：由题意可得，从七年级随机选取10名男生、10名女生的竞赛成绩组成样本比较合理，
故答案为：C；
a.由样本数据可得，中位数m=91+912=91，
100出现的次数最多，众数n=100，
故答案为：91，100；
b.200×720=70(人)，
故答案为：70．
根据题意，可以选出最合理的抽查方式；
a.根据题目给出的数据以及中位数、众数的定义即可解答本题；
b.根据频数分布表中的数据，可以得出成绩不低于95分的有有多少人．
本题考查频数分布表、中位数、众数、用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识．

27.【答案】解：(1)①补全图形如图：

②判断：∠CGD−∠B=90°．
证明：过点C作CH//AB，
∴∠1=∠B(两直线平行，内错角相等)．
∵AB//DF(已知)，
∴CH//DF(平行于同一直线的两直线平行)．
∴∠2+∠HCG=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∵CE⊥BC(已知)，
∴∠1+∠HCG=90°(垂直的定义)．
∴∠CGD+(90°−∠B)=180°，
即∠CGD−∠B=90°. 

(2)∠CGD+∠B=90°．
理由：如图，过点C作CH//AB，

∴∠B=∠BCH，
∵AB//DF(已知)，
∴CH//DF(平行于同一直线的两直线平行)．
∴∠CGD+∠HCG=180°，
又∵CE⊥CB，
∴∠BCG=90°，
∴∠BCH+90°+∠CGD=180°，
即∠B+∠CGD=90°． 
【解析】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
(1)①依据过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC，过点D作直线DF//AB，交CE于点G，画出图形即可；②根据平行线的性质即可得到∠1=∠B，再根据平行线的性质，即可得出∠2+∠HCG=180°，进而得出∠CGD−∠B=90°．
(2)过点C作CH//AB，根据平行线的性质可得∠B=∠BCH，再根据平行线的性质即可得到∠CGD+∠HCG=180°，进而得出∠B+∠CGD=90°．