2022-2023学年湖南省长沙市望城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市望城区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖南省长沙市望城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下计算正确的是(    )
A. 2023°=0 B. 7+ 6= 13
C. (−3a2)3=−27a3 D. a7÷a3=a4
2. 在平面直角坐标系中，点P(3,4)，则点P到原点的距离为(    )
A. 3 B. −5 C. 5 D. 4
3. 如图，▱OABC位于第一象限中，已知顶点A、C的坐标分别为(5,0)，(2,3)，则顶点B的坐标为(    )
A. (5,3)
B. (6,3)
C. (6,4)
D. (7,3)
4. 已知一组数据3、8、5、x、4的众数为4，则该组数据的中位数为(    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 8
5. 已知y=kx+b，当x=0时，y=−1；当x=12时，y=2，那么当x=−12时，y的值为(    )
A. −2 B. −3 C. 4 D. −4
6. 古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦−秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c).如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=6，则△ABC的面积为(    )
A. 14 B. 2 14 C. 3 14 D. 4 14
7. 如图，把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影面积为(    )

A. 2 B. 4 C. 9 D. 16
8. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩是0.9环.方差分别0.56、0.78、0.42、0.63，这四人中成绩最稳定的是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9. 如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．(    )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
10. 已知A(a,b)、B(c,d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，若(c−a)(d−b)<0，则k的取值范围是(    )
A. k<2 B. k>3 C. k<3 D. k>2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若a，b都是实数，b= 1−2a+ 2a−1+3，则ab的值为______ ．
12. 已知正比例函数y=kx中，y的值随x的增大而增大，则( 3,k)在第______ 象限．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE平分∠ADC，BC=4，则DE的长是______ ．

14. 函数y=1−x x+2中自变量x的取值范围是______ ．
15. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：______．
①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41．
16. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都等于2，无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都不变，则这两个正方形重叠部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算： 6÷ 2+|1− 3|− 12+(12)−1．
18. (本小题6.0分)
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB=56°，求∠EAB的度数．

19. (本小题6.0分)
填表，并在如图的平面直角坐标系中画出一次函数y=x+2的图象．
(1)列表：
x
−1
0
y=x+2
______
______
(2)描点、连线：

20. (本小题8.0分)
体育课上，老师为了解女学生定点投篮的情况，随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，进球数的统计如图所示．
(1)求女生进球数的平均数、中位数、众数；
(2)投球4次，进球3个以上(含3个)为优秀，全校有女生800人，估计为“优秀”等级的女生约为多少人？

21. (本小题8.0分)
已知点A(8,0)及在第一象限的动点P(x,y)，且x+y=10.设△OPA的面积为S．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)求x的取值范围，并根据x的取值范围求出S的取值范围；
(3)当S=12时，求P点坐标．
22. (本小题9.0分)
近年来，我国着力促进教育公平，提升教育质量，加快推进教育现代化、建设教育强国、办好人民满意的教育，教育数字化工作持续推进、成果丰碗.在教育数字化进程中，多媒体的作用不可小觑.某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示：该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共50套，设购进A种多媒体设备x套，利润为y万元．

A
B
进价(万元/套)
3
2.4
售价(万元/套)
3.3
2.8
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
23. (本小题9.0分)
(1)已知m=b−1a+4是a+4的算术平方根，n=a−23b−1是3b−1的立方根，求m−2n的立方根；
(2)若m= 1−a+ a−1+1，n的算术平方根是5，求3n+6m的平方根．
24. (本小题10.0分)
某校数学兴趣小组活动：用一张矩形纸片剪出一张菱形纸片，要求菱形的各个顶点均落在矩形的边或顶点上，例如：过矩形两对角线的交点，作两条互相垂直的直线与矩形四边相交，依次连结四个交点，沿连线可剪出菱形．

(1)请画2种符合要求的示意图；
(2)若AB=6cm，BC=8cm，求出你所作的其中一个菱形的边长．
25. (本小题10.0分)
在平面直角坐标系中，已知一次函数y=12x+1的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点.以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
(1)求点C，D的坐标；
(2)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：20230=1，选项A错误，不符合题意；
7与 6，不是同类二次根式，不能合并，选项B错误，不符合题意；
(−3a2)3=−27a6，选项C错误，不符合题意；
a7÷a3=a4，选项D计算正确，符合题意；
故选：D．
逐项计算判断出正确选项即可．
本题考查了与零指数幂、同类二次根式、幂的乘方、同底数幂相除相关的计算，掌握相关计算方法是解题关键．

2.【答案】C 
【解析】解：∵点P(3,4)，
∴点P(3,4)到原点的距离是： 32+42=5．
故选：C．
根据点P的坐标，可以得到点P到x轴和y轴的距离，然后根据勾股定理即可得到点P到原点的距离．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．

3.【答案】D 
【解析】解：∵▱OABC位于第一象限中，顶点A、C的坐标分别为(5,0)，(2,3)，
∴BC=OA=5，
∴B(7,3)，
故选：D．
根据平行四边形的性质得出BC=OA=5，结合坐标系即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵这组数据的众数是4，
∴数据中的x的值是4，
将这组数据按照从小到大的顺序排列为：3、4、4、5、8，
∵中间的是4，
∴该组数据的中位数为4．
故选：B．
先根据众数的意义推出这组数据中x的值，然后根据求一组数据的中位数的方法即可求出结果．
本题主要考查众数和中位数的意义，熟练掌握众数的意义和求中位数的方法是解决问题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：根据题意得：b=−112k+b=2，
解得：k=6b=−1，
∴y=6x−1，
当x=−12时，y=−3−1=−4，
故选：D．
把x与y的值代入y=kx+b中计算，求出k与b的值，确定出y与x关系式，再将x的值代入计算即可求出y的值．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：∵a=3，b=5，c=6，
∴p=a+b+c2=3+5+62=7．
∴S△ABC= 7×(7−3)×(7−5)×(7−6)=2 14．
故选：B．
根据海伦−秦九韶公式即可解决此题．
本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：如图1所示：


∵四边形ABCD是菱形，AC=16，AD=10，
∴OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，
∴OB=OD= AD2−OA2=6，
∴BD=2OD=12，
∴菱形的面积=12×12×16=96，
图2正方形的面积=102=100，
∴阴影的面积=100−96=4．
故选：B．
先利用勾股定理求得此菱形的另一条对角线的长，再求得菱形的面积，进而可得阴影的面积是边长为10的正方形的面积减去菱形的面积．
本题考查了图形的剪拼、菱形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．

8.【答案】C 
【解析】解：因为甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，方差分别为S甲=0.56，S乙=0.78，S丙=0.42，S丁=0.63，所以丙的方差最小，即丙最稳定．
故选：C．
据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义，掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：两棵树的高度差为8−2=6m，间距为8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离= 82+62=10m．
故选：C．
根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．

10.【答案】A 
【解析】解：∵A(a,b)、B(c,d)是一次函数y=kx−2x−1图象上的不同的两个点，
∴b=ka−2a−1，d=kc−2c−1，且a≠c，
∴d−b=(c−a)(k−2)，
∴k−2=d−bc−a，
∵(c−a)(d−b)<0，
∴k−2<0，
∴k<2．
故选：A．
将点A，点B坐标代入解析式可求k−2=d−bc−a，即可求解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，求出k−2=d−bc−a是关键，是一道基础题．

11.【答案】18 
【解析】解：∵b= 1−2a+ 2a−1+3要有意义，
∴1−2a≥02a−1≥0，
∴a=12，
∴b= 1−2×12+ 2×12−1+3=3，
∴ab=(12)3=18．
故答案为：18．
先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，最后代值计算即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．

12.【答案】一 
【解析】解：∵正比例函数y=kx中，y的值随x的增大而增大，
∴k>0，
∴点( 3,k)在第一象限．
故答案为：一．
先根据正比例函数y=kx中，y的值随x的增大而增大判断出k的符号，进而可得出结论．
本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键．

13.【答案】2 
【解析】解：∵∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，
∴AD=CD=12AB，
∵DE平分∠ADC，
∴AE=EC，
∴ED是△ABC的中位线，
∴DE=12BC=2，
故答案为：2．
根据直角三角形斜边上的中线性质可得AD=CD=12AB，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得AE=EC，最后利用三角形的中位线定理进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及三角形的中位线定理是解题的关键．

14.【答案】x>−2 
【解析】解：∵1−x x+2有意义，
∴x+2>0，
解得：x>−2，
故答案为：x>−2．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+2>0，即可求解．
本题考查了求函数自变量取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．

15.【答案】11，60，61 
【解析】解：∵①3=2×1+1，4=2×1×(1+1)，5=2×1×(1+1)+1，
②5=2×2+1，12=2×2×(2+1)，13=2×2×(2+1)+1，
③7=2×3+1，24=2×3×(3+1)，25=2×3×(3+1)+1，…，
∴第n组勾股数为：
a=2n+1，b=2n(n+1)，c=2n(n+1)+1，
∴第⑤组勾股数为a=2×5+1=11，b=2×5×(5+1)=60，c=2×5×(5+1)+1=61，即11，60，61．
故答案为：11，60，61．
根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数．
考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．

16.【答案】1 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=90°，AO=12AC，BO=12BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵四边形A1OC1B1是正方形，
∴∠A1OC1=90°，
∴∠A1OC1=∠AOB=90°，
∴∠A1OC1−∠A1OB=∠AOB−∠A1OB，
∴∠BOF=∠AOE，
∴△AOE≌△BOF(ASA)，
∴四边形EOFB的面积=△EOB的面积+△BOF的面积
=△EOB的面积+△AOE的面积
=△AOB的面积
=14正方形ABCD的面积
=14×22
=1，
∴这两个正方形重叠部分的面积为1，
故答案为：1．
根据正方形的性质可得∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=90°，AO=12AC，BO=12BD，AC=BD，∠A1OC1=90°，从而可得OA=OB，再根据等式的性质可得∠BOF=∠AOE，然后利用SAS证明△AOE≌△BOF，从而可得四边形EOFB的面积=△AOB的面积=14正方形ABCD的面积，进行计算即可解答．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．

17.【答案】解： 6÷ 2+|1− 3|− 12+(12)−1
= 3+ 3−1−2 3+2
=1． 
【解析】根据二次根式的除法运算，化简绝对值，二次根式的性质化简，负整数指数幂，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算，化简绝对值，二次根式的性质化简，负整数指数幂是解题的关键．

18.【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,OA=12AC,OB=12BD，
∴AO=OB，
又∵∠AOB=56°，
∴∠OBA=∠OAB=62°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE=90°−∠ABE=28°． 
【解析】根据矩形的性质可知OA=OB，根据∠AOB的度数求出∠ABO的度数，然后根据直角三角形的锐角互余求解即可．
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．

19.【答案】1  2 
【解析】解：(1)列表：
x
−1
0
y=x+2
1
2
(2)描点、连线：

(1)根据x的值求出y的值即可；
(2)描点、连线即可作出一次函数y=x+2的图象．
本题考查了一次函数的图象，使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．

20.【答案】解：(1)由条形统计图可得，女生进球数的平均数为：(1×1+2×4+1×3+4×2)÷8=2.5(个)，
∵第4，5个数据都是2，则其平均数为：2，
∴女生进球数的中位数为：2，
女生进球数的众数为：2；
(2)样本中优秀率为：38，
故全校有女生800人，“优秀”等级的女生为：800×38=300(人)，
答：“优秀”等级的女生约为300人． 
【解析】(1)利用条形统计图得出进球总数，进而得出平均数、众数和中位数；
(2)利用样本中优秀率，再估计总体优秀人数．
本题主要考查了中位数、众数以及利用样本估计总体和算术平均数求法，掌握相应的定义是解题关键．

21.【答案】解：(1)如图，过P作PG⊥OA于点G，
由题意可知，PG=10−x，OA=8，P点坐标为(x,10−x)，

由S=12×AO×PG=12×8×(10−x)得，S=−4x+40；
(2)∵动点P(x,y)在第一象限，
∴x>0，y>0，
∵x+y=10，
∴y=10−x，
∴10−x>0，
∴x<10，
∴0 (3)把S=12代入S=−4x+40中，解得x=7，
把x=7代入x+y=10得，y=3，
∴P点坐标是(7,3)． 
【解析】(1)根据△OAP的面积=OA×y÷2列出函数解析式即可，
(2)根据点P(x,y)在第一象限内，即可得到x>0，10−x>y，进一步得到0 (3)将S=12代入(1)求出的解析式中即可．
本题考查的是动点函数图象，解题的关键是利用面积公式，确定S关于x的函数关系式．

22.【答案】解：(1)购进A种多媒体设备x套，则购进B种多媒体设备(50−x)套，
由题意可得：y=(3.3−3)x+(2.8−2.4)×(50−x)
整理得：y=−0.1x+20，
∴y与x之间的函数关系式为y=−0.1x+20；
(2)由题意可得：4x≥50−x，
解得x≥10，
在y=−0.1x+20中，
∵k=−0.1<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=10时，y取得最大值，此时最大利润y=19，
答：购进A种多媒体设备10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元． 
【解析】(1)购进A种多媒体设备x套，则购进B种多媒体设备(50−x)套，由题意可得：y=(3.3−3)x+(2.8−2.4)×(50−x)，整理即可解答；
(2)根据题意列出不等式，解出x的取值范围，再根据一次函数的性质求出最大利润即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．

23.【答案】解：(1)由题意知b−1=2，a−2=3，
∴a=5，b=3，
∴m= 9=3，n=38=2，
∴m−2n=−1，
∴m−2n的立方根为3−1=−1；
(2)由题意得1−a≥0a−1≥0，
解得a=1，
∴m=1．
∵n的算术平方根是5，
∴n=52=25，
∴3n+6m=81，
∴3n+6m的平方根为±9． 
【解析】(1)由算术平方根和立方根的定义可求出a=5，b=3，即得出m=3，n=2，代入m−2n中求值，再求其立方根即可；
(2)由被开方数为非负数即可求出a=1，由算术平方根的定义可求出n=25，代入3n+6m中求值，再求其平方根即可．
本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，被开方数为非负数，代数式求值．熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题关键．

24.【答案】解：(1)符合要求的示意图如下：



(2)①如图1，菱形边长AB=6cm；
②如图2，∵AB=6cm，BC=8cm，
∴菱形边长EF= 32+42=5cm；
③如图3，设AF=FC=x cm，
在Rt△ABF中，∵∠B=90°，
∴AB2+BF2=AF2，
∴62+(8−x)2=x2，
解得x=254，
∴菱形边长AF为254cm． 
【解析】(1)根据菱形的判定即可画出符合要求的示意图；
(2)根据菱形的性质和勾股定理即可计算出菱形的边长．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．

25.【答案】解：(1)对于直线y=12x+1，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=−2，
∴A(−2,0)，B(0,1)，
在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，
根据勾股定理得：AB= 22+12= 5；
作CE⊥y轴，DF⊥x轴，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，
∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，
∴△BCE≌△DAF≌ABO，
∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，
∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，
∴C(−1,3)，D(−3,2)；
(2)存在，
找出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小，

∵B(0,1)，
∴B′(0,−1)，
设直线B′D的解析式为y=kx+b，
把B′与D坐标代入得：b=−1−3k+b=2，
解得：k=−1b=−1，
即直线B′D的解析式为y=−x−1，
令y=0，得到x=−1，
即M(−1,0)． 
【解析】(1)在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；过C作y轴垂线，过D作x轴垂线，分别交于点E，F，可得三角形CBE与三角形ADF与三角形AOB全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C与D坐标即可；
(2)作出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，连接BD，BM，此时△MDB周长最小，求出此时M的坐标即可．
此题考查一次函数图象上点的坐标，掌握待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理是解本题的关键．