2022-2023学年广东省清远市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省清远市高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省清远市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数f(x)=ex−2x，则f′(2)=(    )
A. e2−4 B. e2−2 C. e2+e D. e2+2
2. 已知随机变量ξ～N(5,σ2)，若P(3≤ξ≤7)=0.4，则P(ξ>7)=(    )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
3. 为提高学生的身体素质，某校开设了游泳和篮球课程，甲、乙、丙3位同学每人从中任选1门课程参加，则不同的选法共有(    )
A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 9种
4. 已知x和y之间的几组数据如下表：
x
−2
−1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为y =−x+a ，则预测当x=5时，y=(    )
A. −0.2 B. −0.8 C. −1.2 D. −2.2
5. 袋子中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到黑球的概率为(    )
A. 12 B. 14 C. 35 D. 310
6. 已知函数f(x)=lnx+ax2−3x在(12,3)上单调递增，则a的取值范围为(    )
A. [49,+∞) B. (0,49] C. [98,+∞) D. (0,98]
7. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有6支救援队前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，则不同的安排方法种数是(    )
A. 180 B. 320 C. 345 D. 360
8. 已知直线y=kx+b与函数f(x)=12x2+lnx的图象相切，则k−b的最小值为(    )
A. 92 B. 72 C. 52 D. 32

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
12
a
14
则(    )
A. a=14 B. a=12 C. E(X)=34 D. D(X)=1116
10. 已知f′(x)为函数f(x)的导函数，若函数y=f′(x)−1的图象大致如图所示，则(    )
A. f(x)有3个极值点
B. x=−4是f(x)的极大值点
C. x=0是f(x)的极大值点
D. f(x)在(0,4)上单调递增
11. 已知(1−x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则(    )
A. a0=1
B. a1+a2+a3+…+a9=0
C. a1+a3+a5+a7+a9=−256
D. 2a1+22a2+23a3+…+29a9=−2
12. 已知a=e12−1，b=ln32，c=512，则(    )
A. a>b B. a>c C. c>b D. b>c
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (1x2−2x)6的展开式中的常数项为______．
14. 已知随机变量X～B(3,25)，则D(X)= ______ ．
15. 如图，在墙角处有一根长3米的直木棒AB紧贴墙面，墙面与底面垂直.在t=0s时，木棒的端点B以0.5m/s的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点A向下沿直线运动，则端点A在t=2s这一时刻的瞬时速度为______ m/s．


16. 某校举行了足球比赛，每个球队都和其他球队进行一场比赛，每场比赛获胜的球队得2分，失败的球队得0分，平局则双方球队各得1分，积分最高的球队获得冠军.已知有一个队得分最多(其他球队得分均低于该球队)，但该球队的胜场数比其他球队都要少，则参加比赛的球队数最少为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表：
体育锻炼
性别
合计
男生
女生
喜欢
280
p
280+p
不喜欢
q
120
120+q
合计
280+q
120+p
400+p+q
在本次调查中，男生人数占总人数的47，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的35．
(1)求p，q的值；
(2)依据α=0.001的独立性检验，能否认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
α
0.05
0.025
0.010
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
10.828

18. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3acosC=csin A．
(1)求C的大小；
(2)若a>2，且b−c=1，求△ABC周长的最小值．
19. (本小题12.0分)
如图，将三棱锥A−BCD的侧棱AB放到平面α内，AC⊥CB，AB⊥BD，AC=CB，AB=BD，平面ABC⊥平面ABD．
(1)证明：平面ACD⊥平面BCD．
(2)若AB=2，平面ABD与平面α夹角的正切值为12，求平面ACD与平面α夹角的余弦值．

20. (本小题12.0分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n−1，集合A={k|Sm=log2ak,m∈N*,k∈N*}.
(1)求集合A；
(2)若bn=an,n∈A,log2an,n∉A,求数列{bn}的前30项和．
21. (本小题12.0分)
已知A(−2,0)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，过点D(1,0)的直线l与椭圆C交于P，Q两点(异于点A)，当直线l的斜率不存在时，|PQ|=3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求△APQ面积的取值范围．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ex+m+(m+1)x−xlnx．
(1)若m=0，求f(x)的图象在x=1处的切线方程；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：x1x27)=0.5−P(5≤ξ≤7)=0.3．
故选：C．
由正态分布的对称性求解即可．
本题考查百分位数的应用，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：甲、乙、丙3位同学每人都有2种不同的选法，
根据分步乘法计数原理可知，不同的选法共有2×2×2=23=8种．
故选：C．
根据分步乘法计数原理直接求解．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：x−=−2−1+0+1+25=0，y−=5+4+2+2+15=2.8，
则样本点的中心的坐标为(0,2.8)，
代入y =−x+a ，可得a =2.8．
∴y =−x+2.8，取x=5，可得y =−5+2.8=−2.2．
故选：D．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解a ，再求出x=5时的y 值即可．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．

5.【答案】A 
【解析】解：依题意，在第1次摸到白球的条件下，
第2次摸到黑球的概率为24=12．
故选：A．
根据条件概型的知识求得正确答案．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．

6.【答案】C 
【解析】解：由函数f(x)=lnx+ax2−3x，
可得f′(x)=1x+2ax−3，
若f(x)在区间(12,3)内单调递增，
则f′(x)≥0在x∈(12,3)恒成立，
即a≥32x−12x2在x∈(12,3)恒成立，
令g(x)=32x−12x2，x∈(12,3)，
则g′(x)=32⋅(−1x2)−12⋅(−2x3)=2−3x2x3，
令g′(x)>0，解得x0，f(x)递增，
x∈(−4,0)时，f′(x)0，f(x)递增，
x∈(4,+∞)时，f′(x)0，
t′(x)=ex−1+23x单调递增，
所以t′(x)>t′(0)=0，
所以t(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以t(x)>t(0)=0，
所以ex−1−x+13x2>0，
所以ex−1>x−13x2，
所以a>c，
b=ln32=ln(12+1)，
所以b−c=ln(12+1)−[12−(12)2×13]=ln(12+1)−12+(12)2×13，
令h(x)=ln(x+1)−x+13x2，x>0，
h′(x)=1x+1−1+23x=3−3(x+1)+2x(x+1)3(x+1)=2x2−x3(x+1)，
令h′(x)=0，得x=0或x=12，
所以在(0,12)上h′(x)0，h(x)单调递增，
所以h(12)t(0)=0，进而可得a，c的大小关系；b=ln32=ln(12+1)，则b−c=ln(12+1)−12+(12)2×13，令h(x)=ln(x+1)−x+13x2，x>0，求导分析单调性，可得h(12)2(n+1)，则m>2，即甲队至少平3场．
若乙队与甲队踢成平局，则乙队的得分至少为2(n+1)+1，则2n+m>2(n+1)+1，则有m>3，即甲队至少平4场．
若参加比赛的球队数为5，则甲队总得分为4分，其他4个球队每个球队至少胜1场比赛，则其他4个球队中必有球队得分不低于4分，不符合题意．
若参加比赛的球队数为6，且他们的得分如下表：

 甲
乙
A
B
C
D
得分
 甲

 1
 1
 1
 1
 2
 6
 乙
 1

 2
 0
 0
 2
 5
 A
 1
 0

 0
 2
 2
 5
 B
 2
 2
 2

 0
 0
 5
 C
 1
 2
 0
 2

 0
 5
 D
 0
 0
 0
 2
 2

4
符合题意，故参加比赛的球队数最少为6个．
故答案为：6．
根据题意，假设得分最多的球队为甲队，设甲队胜n场平m场，则甲队的总得分为2n+m，由条件分析m、n的关系，可得甲队至少平4场，列举分析参加比赛队伍的数目，即可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意比赛的规则，属于中档题．

17.【答案】解：(1)由题可知280+q400+p+q=47pp+120=35，解得p=180，q=120．
(2)零假设为H0学生的性别与喜欢体育锻炼之间无关联，
根据列联表及(1)中数据，经计算得到χ2=700×(280×120−180×120)2460×240×400×30≈7.6090，
所以y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
所以|PQ|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2 (−6m3m2+4)2−4⋅−93m2+4
= 1+m2⋅12⋅ 1+m2(3m2+4)2，
点A(−2,0)到直线l的距离为d=3 1+m2，
所以S△APQ=12⋅|PQ|d=12⋅1+m2⋅12⋅ 1+m2(3m2+4)2⋅3 1+m2=18⋅ 1+m23m2+4，
令t= m2+1，t≥1，则m2=t2−1，
所以S△APQ=18t3(t2−1)+4=18t3t2+1=183t+1t，
对于y=3t+1t，t≥1，
由对勾函数的性质可得当t≥1时，y=3t+1t单调递增，
所以当t=1时，ymin=4，S△APQ最大值为92，
所以S△APQ的取值范围为(0,92]. 
【解析】(1)根据题意可得a=2，当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，又|PQ|=3，则|yP|=|yQ|=32，不妨设P(1,32)，代入椭圆的方程，解得b2，即可得出答案．
(2)设直线l的方程为x=my+1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，由弦长公式可得|PQ|，点A(−2,0)到直线l的距离d，再计算S△APQ=12⋅|PQ|d，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．

22.【答案】解：(1)已知f(x)=ex+m+(m+1)x−xlnx，函数定义域为(0,+∞)，
当m=0时，f(x)=ex+x−xlnx，
可得f′(x)=ex+1−1nx−1=ex−1nx，
所以f′(1)=e，
又f(1)=e+1，
所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y−(e+1)=e(x−1)，
即ex−y+1=0；
(2)证明：因为f(x)=ex+m+(m+1)x−xlnx，
可得f′(x)=ex+m+m+1−lnx−1=ex+m+m−1n x，
因为f(x)有两个极值点x1，x2，
所以方程ex+m+m−lnx=0有两个不相等的正实数根x1，x2，
即方程xex=xem(lnx−m)=xemlnxm=elnxemlnxm有两个不相等的正实数根x1，x2，
不妨设g(x)=xex，函数定义域为R，
可得g′(x)=(x+1)ex，
当x0，g(x)单调递增，
又g(0)=0，
所以当x0，
因为xex=elnxemlnxm有两个不相等的正实数根x1，x2，
所以x=lnxem，即m=lnx−x有两个不相等的正实数根x1，x2，
此时m=lnx1−x1=1nx2−x2，
整理得x1−x2lnx1−lnx2，
要证x1x2