2022-2023学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

这是一份2022-2023学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，B={1,2,4}，则A∪(∁UB)=(    )
A. {1,3,5} B. {1,3} C. {1,2,4} D. {1,2,4,5}
2. 函数f(x)=log2(x+3)+(x+2)0的定义域是(    )
A. [−3,+∞) B. (−3,−2)∪(−2,+∞)
C. (−3,+∞) D. [−3,2)⋃(2,+∞)
3. 下列关于函数y=x12的单调性的描述中，正确的是(    )
A. 在(−∞,+∞)上是增函数 B. 在(−∞,+∞)上是减函数
C. 在[0,+∞)上是增函数 D. 在[0,+∞)上是减函数
4. 命题“∀x∈R，ex≥ex”的否定是(    )
A. ∃x∈R，ex≥ex B. ∀x∈R，ex≤ex
C. ∃x∈R，ex 5. 已知x>0，则x+4x+1的最小值为(    )
A. 2+1 B. 2 2+1 C. 4 D. 5
6. 已知向量a=(m+1,2),b=(1,m)，若a与b垂直，则实数m的值为(    )
A. −3 B. −13 C. 13 D. 1
7. 下列选项中，能够确定直线a与平面α平行的是(    )
A. b⊂α，c⊂α，a//b，a//c
B. b⊄α，b//α，a//b
C. a⊄α，b⊂α，a//b
D. A，B∈a，C，D∈b，AC//BD，且b⊂α
8. 某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是(    )
A. 15、17、18 B. 15、16、19 C. 14、17、19 D. 15、16、20
9. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= 63,b=2 2,c= 3，则a=(    )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
10. 若函数f(x)=4sin(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π，则它的一条对称轴是(    )
A. x=−π12 B. x=0 C. x=π6 D. x=2π3
11. 在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，AB=a，AD=b，则向量NM=(    )
A. 16a−b B. a−16b C. a+16b D. −16a−b
12. 若函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递增，若f(1)=0，则不等式(x2−1)f(x)<0的解集为(    )
A. (−∞,−1)∪(1,+∞) B. R
C. (−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞) D. ⌀
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 若复数z满足z−1=2+5i(i是虚数单位)，则z−= ______
14. 若函数y=f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)=2x−1，则f(1)= ______ ．
15. 若sinα+cosαsinα−cosα=3，tan(α−β)=2，则tan(2α−β)= ______ ．
16. 样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样本方差为______．
17. 将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)= ______ ．
18. 已知以O为起点的向量a，b在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则a⋅(a−b)= ______ ．




三、解答题（本大题共4小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长(单位：小时)，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：
如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．
(1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；
(2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率．
甲班
8
13
28
32
39
乙班
12
25
26
28
31

20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=log2x,x>04x,x≤0．
(1)求f(14)与f(−2)的值；
(2)若f(a)>12，求a的取值范围；
(3)当m<0时，f(m−2)−f(2m)>0，求m的取值范围．
21. (本小题12.0分)
设函数f(x)=2cos2x+2 3sinx⋅cosx．
(1)求f(x)的最小正周期以及单调增区间；
(2)若f(x)=53，−π6 22. (本小题12.0分)
如图，在底面ABCD是矩形的四棱锥P−ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，且CD= 2PD，M，N分别是PA，BD的中点．
(1)证明：MN//平面PBC．
(2)证明：PC⊥平面PAD．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：U={1,2,3,4,5}，B={1,2,4}，
则CUB={3,5}，
A={1,3}，
则A∪(∁UB)={1,3,5}．
故选：A．
根据已知条件，结合补集、并集的定义，即可求解．
本题主要考查补集、并集的定义，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：由题意知，x+3>0x+2≠0⇒x>−3且x≠−2，
故函数f(x)的定义域为(−3,−2)∪(−2,+∞)．
故选：B．
根据对数函数中真数大于0与零次幂中底数不等于0列式求解即可．
本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：函数的定义域为[0,+∞)，y′=12 x>0，y在[0,+∞)上单调递增．
故选：C．
函数的定义域为[0,+∞)，求导判断函数增减性即可．
本题主要考查函数求导，属基础题．

4.【答案】C 
【解析】解：根据题意，命题“∀x∈R，ex≥ex”是全称命题，
其否定为∃x∈R，ex 故选：C．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．

5.【答案】D 
【解析】解：由x>0可知，利用基本不等式可得x+4x+1≥2 x⋅4x+1=5，
当且仅当x=2时，等号成立，
即x+4x+1的最小值为5．
故选：D．
根据题意利用基本不等式即可求得其最小值．
本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：已知向量a=(m+1,2),b=(1,m)，若a与b垂直，
故a⋅b=m+1+2m=0，故m=−13．
故选：B．
直接利用向量垂直的充要条件和向量的坐标运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．

7.【答案】C 
【解析】解：对于A，因为b⊂α，c⊂α，a//b，a//c，则a与面α：平行或直线在面内，故选项A错误；
对于B，若b⊄α，b//α，a//，则a与面α：平行或直线在面内，故选项B错误；
对于C，根据线面平行的判定定理知b⊂α，a//，a⊄α，则a//α，故选C正确；
对于D，若A，B∈a，C，D∈b，AC//BD，且b⊂α，
则a与平面α：相交、平行、或直线在面内，故选项D错误，
故选：C．
利用直线与平面平行的判定定理即可求解．
本题考查直线与平面平行的判定定理，属于基础题．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题．
根据分层抽样的方法直接计算即可．
【解答】
解：高一、高二、高三抽取的人数分别为
50680+600+720×600=502000×600=15，
50680+600+720×680=502000×680=17，
50680+600+720×720=502000×720=18，
故选A．  
9.【答案】D 
【解析】解：由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA=3，
得a= 3．
故选：D．
根据余弦定理求解即可．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．

10.【答案】A 
【解析】解：由于函数f(x)=4sin(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为2πω=π，∴ω=2，f(x)=4sin(2x−π3)，
令x=−π12，求得f(x)=−4，为最小值，故f(x)的一条对称轴为x=−π12，故A正确；
令x=0，求得f(x)=−2 3，不是最值，故B错误；
令x=π6，求得f(x)=0，不是最值，故C错误；
令x=2π3，求得f(x)=0，不是最值，故D错误，
故选：A．
由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．

11.【答案】B 
【解析】解：M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，AB=a，AD=b，
则NM=NA+AB+BM=−23AD+AB+12BC
=−23AD+AB+12AD
=a−16b．
故选：B．
根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．

12.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(−1)=f(1)=0，推得f(x)>0和f(x)<0的解集，讨论x2−1>0，x2−1<0，可得x的不等式组，解不等式可得所求解集．
【解答】
解：函数f(x)是定义域在R上的偶函数，且在(−∞,0]上单调递增，若f(1)=0，
可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(−1)=f(1)=0，
则f(x)>0的解集为(−1,1)，f(x)<0的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．
不等式(x2−1)f(x)<0等价为x2−1>0f(x)<0或x2−1<0f(x)>0，
即为x>1或 x<−1x<−1或x>1或−1 所以原不等式的解集为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)．
故答案选C．
  
13.【答案】3−5i 
【解析】解：z−1=2+5i，
则z=3+5i，
故z−=3−5i．
故答案为：3−5i．
根据已知条件，先求出z，再结合共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．

14.【答案】−12 
【解析】解：当x<0时，f(x)=2x−1，所以f(−1)=2−1−1=−12，
又因为y=f(x)为偶函数，所以f(1)=f(−1)=−12．
故答案为：−12．
利用偶函数的定义即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．

15.【答案】−43 
【解析】解：sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=3，解得tanα=2，
则tan(2α−β)=tan[(α−β)+α]=2+21−2×2=−43．
故答案为：−43．
先根据商数关系化弦为切求出tanα，再根据tan(2α−β)=tan[(α−β)+α]利用两角和的正切公式即可得解．
本题主要考查了同角基本关系及两角和的正切公式的应用，属于基础题．

16.【答案】2 
【解析】解：设第五个值为x，
则0+1+2+3+x=1×5，
即x=−1，
则样本方差为15[(0−1)2+(1−1)2+(2−1)2+(3−1)2+(−1−1)2]=2，
故答案为：2．
由平均数、方差的运算求解即可．
本题考查了平均数、方差的运算，属基础题．

17.【答案】sin(2x−π3) 
【解析】解：函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g(x)=sin[2(x−π6)]=sin(2x−π3)的图象．
故答案为：sin(2x−π3)．
直接根据左正右负的平移原则即可得到答案．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．

18.【答案】2 
【解析】解：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
则O(0,0)，A(2,1)，B(2,−1)，
∴a=(2,1),b=(2,−1)，
∴a−b=(2,1)−(2,−1)=(0,2)，
∴a⋅(a−b)=2×0+1×2=2．
故答案为：2．

建立平面直角坐标系，由平面向量数量积的坐标运算即可求得．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．

19.【答案】解：(1)甲班样本数据的平均值为8+13+28+32+395=24，
估计甲班学生每周平均熬夜时间为24小时，
乙班样本数据的平均值为12+25+26+28+315=24.4，
估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时；
(2)已知甲班“过度熬夜”的有3人，分别记为a，b，c，
乙班“过度熬夜”的有2人，分别记为m，n，
从中任取2人，有ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn，共10种可能，
其中都来自甲班的有ab，ac，bc，共3种可能，
则这2人都来自甲班的概率P=310． 
【解析】(1)由题意，根据平均数计算公式列出等式直接求解即可；
(2)将所有可能列举出来，再利用古典概型公式进行求解即可．
本题考查平均数以及古典概型的概率公式，考查了数据分析和运算能力．

20.【答案】解：(1)f(14)=log214=−2，f(−2)=4−2=116．
(2)若a>0，f(a)=log2a>12，解得a> 2，
若a≤0，f(a)=4a>12，即22a>2−1，解得−12 所以a的取值范围为(−12,0]∪( 2,+∞)．
(3)当m<0时，f(m−2)−f(2m)=4m−2−42m>0，
即4m−2>42m，解得m<−2，所以m的取值范围为(−∞,−2)． 
【解析】(1)根据分段函数求函数值即可；(2)分情况讨论解不等式即可；(3)解指数不等式即可求解．
本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)f(x)=2cos2x+ 3sin2x=2sin(2x+π6)+1，
∴f(x)的最小正周期为2π2=π．
∵由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z．
∴f(x)的单调增区间为：[kπ−π3,kπ+π6],k∈Z．
(2)∵2sin(2x+π6)+1=53，
∴sin(2x+π6)=13，
∵−π6 ∴cos(2x+π6)>0，可得：cos(2x+π6)=2 23，
∴sin2x=sin(2x+π6−π6)=sin(2x+π6)cosπ6−cos(2x+π6)sinπ6= 3−2 26． 
【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为一个三角函数的形式，进而利用周期公式可求f(x)的最小正周期，利用正弦函数的单调性可求f(x)的单调增区间．
(2)由已知可求sin(2x+π6)=13，由范围−π6<2x+π6<π2，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2x+π6)=2 23，进利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的单调性，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．

22.【答案】证明：(1)连接AC，由矩形ABCD可得N为AC与BD的交点，且N为AC的中点，因为M为PA的中点，
在△PAC中，可知MN为三角形的中位线，所以MN//PC，
而PC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，
可证得MN//平面PBC；
(2)因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD，由PC⊂平面PCD，
所以AD⊥PC；①
又因为PC=PD，且CD= 2PD，所以PD⊥PC，②
AD∩PD=D，③
由①②③，可证得PC⊥平面PAD． 
【解析】(1)(1)连接AC，由题意可知N为AC的中点，由中位线的性质可得MN//PC，再由线面平行的条件可证得线面平行；
(2)由面面垂直的性质可知PC⊥AD，再由线线的数量关系可知PC⊥PA，进而可证得结论．
本题考查线面垂直及线面平行的证明方法，属于基础题．