2022-2023学年山西省大同市阳高四中高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省大同市阳高四中高二（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省大同市阳高四中高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. i为虚数单位，则i2i4+i=(    )
A. −1−i2 B. −1+i2 C. 1+i2 D. 1−i2
2. 已知函数f(x)= x在点x=x0处的切线的倾斜角是π4，则x0的值为(    )
A. 14 B. 12 C. 22 D. 1
3. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的离心率e=43，且其右焦点为F(4,0)，则双曲线C的方程为(    )
A. x24−y23=1 B. x23−y24=1 C. x29−y27=1 D. x27−y29=1
4. 曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积是(    )
A. 13 B. 23 C. 1 D. 43
5. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过C的左焦点作一条直线与椭圆相交于A，B两点，若BF1=F1H=HA且HF2⋅AB=0，则C的离心率为(    )
A. 13 B. 23 C. 12 D. 32
6. 已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(    )
A. f(x)=ex+e−xx2
B. f(x)=ex−e−xx2
C. f(x)=x2+1x2
D. f(x)=x+1x3


7. 若x，y满足约束条件2x−y≥0,x+2y−5≥0,3x+y−10≤0,则z=x2+y2的最大值是(    )
A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 20
8. 已知等边三角形ABC的边长为a，则AB⋅AC+AC⋅BC的值为(    )
A. −a2 B. a2 C. 0 D. 3a2
9. 成都大运会某志愿者服务小队由四川大学25名学生和电子科技大学15名学生组成，现用分层抽样的方法从上述所有学生中抽取16名学生进行应急知识检测，则从四川大学学生中抽取的人数为(    )
A. 10 B. 6 C. 5 D. 3
10. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛(每两个球队都要进行一场)，每场比赛的计分方法是：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分．全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则(    )
A. 甲胜乙 B. 乙胜丙 C. 乙平丁 D. 丙平丁
11. 以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.5x+3，则c=(    )
A. 3 B. e3 C. 0.5 D. e0.5
12. PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可人肺颗粒物).为了探究车流量与PM2.5的浓度是否有关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的浓度的数据如下表，由最小二乘法求得回归直线方程y =0.72x+6.24.表中一个数据模糊不清，请你推断出该数据为(    )
时间
周一
周二
周三
周四
周五
车流量x(万辆)
100
102
108
114
116
PM2.5的浓度y(微克/立方米)
78

84
88
90

A. 78 B. 79 C. 80 D. 81
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数f(x)=sinx−x+ex−1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a2)+f(2a−3)≤0，则实数a的取值范围是______．
14. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，动点E，F分别在线段AB和CC1上.给出下列四个结论：
①存在点E，F，使得△DEF是等边三角形；
②三棱锥F−ED1D的体积为定值；
③设直线DE与D1F所成角为α，则cosα∈[0,45]；
④至少存在两组E，F，使得三棱锥D1−DEF的四个面均为直角三角形．
其中所有正确结论的序号是______ ．
15. 若复数z=a+bi(a,b∈R)满足z(1−i)=i，则ab= ______ ．
16. 已知f(x)=−2x2+4x,x⩽2,ln(x−1),x>2,若关于x的方程f2(x)+(t−2)f(x)−2t=0有五个相异的实数根，则t的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=3CD=3，PA⊥底面ABCD，且AD=PA=2，PE=13PB．
(1)证明：CE//平面PAD；
(2)求二面角B−PC−D的余弦值．

18. (本小题12.0分)
高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为12，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验．
(1)第1组做了5次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子)，求他们的实验至少有3次成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数X的概率分布列和期望.  

19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax−sinx，g(x)=x2−alnx，a∈R．
(1)当a=1时，证明：x⩾0时，f(x)⩾0恒成立；
(2)若g(x)在(1,g(1))处的切线与y=−x+1垂直，求函数g(x)在区间[12,2]上的值域；
(3)若方程f(x)+sinx=lnx有两个不同的根，求实数a的取值范围．
20. (本小题12.0分)
十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如图频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x−(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为年平均收入x−，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2=6.92，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于12.14千元的人数为ξ，求E(ξ)．
附参考数据： 6.92≈2.63，若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973．

21. (本小题12.0分)
已知复数z=a+bi(a,b∈R)．
(1)若复数z在复平面内对应的点位于实轴上方(不包括实轴)，求a，b满足的条件；
(2)若(a+2)−2ai=−3b+(b−1)i，求a，b的值．
22. (本小题12.0分)
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积xi
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量yi
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
由散点图知根部横截面积与材积量线性相关，并计算得i=110xi2=0.038,i=110xiyi=0.2474．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程；
(3)现测量了该林区2500棵这种树木的根部横截面积，并得到这些树木的根部横截面积总和为i=12500xi=153m2.利用(2)中所求的回归直线方程，估计这些树木的总材积量．
附：回归直线方程的斜率b =i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，截距a =y−−b x−．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：则i2i4+i=−11+i=−(1−i)(1+i)(1−i)=−12+12i．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：易知f′(x)=12 x，
因为在x=x0处，切线倾斜角为π4，
故12 x0=tanπ4=1，
解得x0=14．
故选：A．
根据切线的倾斜角求出斜率，然后令导数等于斜率，即可解出x0的值．
本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1的离心率e=43，且其右焦点为F(4,0)，
可得c=4，a=3，则b= 7，
所以双曲线C的方程为：x29−y27=1．
故选：C．
利用双曲线的离心率以及焦点坐标，求解a，c，推出B，然后得到双曲线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是双曲线方程的求法，是基础题．

4.【答案】A 
【解析】解：联立y=x2y2=x得x1=0，x2=1，所以曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积
S=01( x−x2)dx=(23x32−13x3)|01=23x32|01−13x3|01=23−13=13．
故选：A．
求曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求 x−x2在区间[0,1]上的积分．
对于求平面图形的面积问题，首先应画出平面图形的大致形状，根据图形特点，选择相应的积分变量和被积函数，并确定被积区间，解答的关键是找到被积函数的原函数．

5.【答案】A 
【解析】解：依题意，直线HF2为线段AF1的垂直平分线，所以|AF2|=|F1F2|=2c，
由椭圆定义知|AF1|=2a−2c，所以|AH|=|F1H|=|BF1|=a−c，
所以|BF2|=a+c，|BH|=2a−2c.在RtΔAHF2中，|AF2|2−|AH|2=|HF2|2，
在RtΔBHF2中，|BF2|2−|BH|2=|HF2|2，所以|AF2|2−|AH|2=|BF2|2−|BH|2，
即(2c)2−(a−c)2=(a+c)2−(2a−2c)2，化简得3c2−4ac+a2=0，
即3(ca)2−4(ca)+1=0，即3e2−4e+1=0(0