2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高一（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市六校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数z=−1+2i，则z−=(    )
A. 1−2i B. 1+2i C. −1+2i D. −1−2i
2. 若a=(1,2),b=(x,3)且a⋅b=4，则x=(    )
A. −2 B. −12 C. 12 D. 10
3. 如图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为M，中位数为N，则关于M与N的大小关系，下面说法正确的是(    )

A. M>N B. M0
C. a−bc+b=sinCsinA+sinB
D. b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC
12. 设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为(    )
A. 若A，B是互斥事件，P(A)=13,P(B)=12，则P(A∪B)=16
B. 若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1
C. 若A，B是独立事件，P(A)=13,P(B)=23，则P(AB−)=19
D. 若P(A−)=13,P(B−)=12，且P(A−B)=14，则A，B是独立事件
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 常言道：国以民为本，民以食为天.食品安全问题是人类生存的第一需要.学校为了解学生对食堂满意情况组织了一次座谈会，并利用分层抽样的方法从高中3个年级中随机抽取了150人参加，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生______ 人.
14. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为(−2,−1)，则zi= ______ ．
15. 已知|a|= 2，a与b的夹角为π4，e是与b同向的单位向量，则a在b方向上的投影向量为______ ．
16. 方山双塔位于台州市黄岩区九峰公园内紫云峰之巅.南宋宝章阁直学士章雄飞《游九峰寺》诗中赞道：“九峰突地三千丈，双塔攒空十二层”.为了测量南塔高度，某同学设计了如下测量方法：先在塔底平台A点处测得塔底中心O在北偏西70°方向，塔顶仰角的正切值为32，再走到距离A点25米的点B处，测得点O在北偏东80°方向，塔顶仰角为π6，则该塔的高度为______ 米.


四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知向量a=(1,0)，b=(2,1)，
(1)当实数k为何值时，向量ka−b与a+3b共线
(2)当实数k为何值时，向量ka−b与a+3b垂直
18. (本小题12.0分)
如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为2，侧棱AA1=1，E是棱BC的中点，F是DC1与D1C的交点．
(1)求证：BD1//平面C1DE；
(2)求三棱锥D−D1BC的体积．

19. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin2A+sin2C=sinAsinC+sin2B.
(1)求角B的大小；
(2)若b= 3，△ABC的面积为 32，求△ABC的周长．
20. (本小题12.0分)
某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)估计该校学生数学成绩的平均数；
(3)估计该校学生数学成绩的第75百分位数．

21. (本小题12.0分)
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.记事件A=“甲第一轮猜对”，B=“乙第一轮猜对”，C=“甲第二轮猜对”，D=“乙第二轮猜对”．
(1)求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率；
(2)求“星队”在两轮活动中，甲、乙猜对成语的个数相等且至少为1的概率．
22. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点．
(1)求证：AM⊥平面PCD；
(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵复数z=−1+2i，
∴z−=−1−2i．
故选：D．
根据共轭复数的定义判断即可．
本题考查了共轭复数的定义，是基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：根据题意，若a=(1,2),b=(x,3)，
则a⋅b=x+6=4，解可得x=−2．
故选：A．
根据题意，由数量积的计算公式可得a⋅b=x+6=4，解可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．

3.【答案】B 
【解析】解：由题意，平均数是反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每一个数据都有关系；
将一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数，叫做这组数据的中位数．
平均数和中位数的大小关系与数据的分布的形态有关，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”的那边，

如图(1)中位数与平均数相等；如图(2)中位数小平均数；如图(3)中位数大于平均数，
结合给定的频率分布直方图，可知数据的中位数N更大一些，即Ma，
∴B=60°或120°．
故选：D．
直接利用正弦定理，求出B的正弦函数值，即可求出B的值．
本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正确利用正弦定理是解本题的关键，属于基础题．

6.【答案】C 
【解析】解：如图，取CC1的中点F，连接EF，BF，D1F，

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB//CD，AB=CD，
因为E，F分别为DD1，CC1的中点，
所以EF//CD，EF=CD，即四边形ABFE为平行四边形，
所以AE//BF，所以∠D1BF(或其补角)为直线BD1与AE所成角，
因为AB=AD=1，AA1=2，
所以BC=C1D1=1，CC1=DD1=2，
所以BF= BC2+CF2= 2，
D1F= D1C12+C1F2= 2，
BD1= AB2+AD2+DD12= 6，
在等腰三角形FBD1中，cos∠D1BF=12BD1BF= 62 2= 32，
所以∠D1BF=π6，
故直线BD1与AE所成角的大小是π6．
故选：C．
长方体模型容易找平行线，通过构造平行四边形，运用平行线平移法作出异面直线所成的角，然后解三角形求解．
本题主要考查异面直线所成的角，考查转化能力，属于基础题．

7.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=AB+AD，
∵BM=12BC，DC=3DN，
∴AM=AB+BN=AB+12BC=AB+12AD，AN=AD+DN=AD+13DC=AD+13AB，
∵AC=xAM+yAN，
∴AC=x(AB+12AD)+y(AD+13AB)=(x+y3)AB+(x2+y)AD，
∵AB与AD不共线，
∴x+y3=1x2+y=1，得x=45y=35，
则x+y=75，
故选：D．
根据平面向量的线性运算可解．
本题考查平面向量的线性运算，属于中档题．

8.【答案】C 
【解析】解：由题意，基本事件由(立夏，小满)，(立夏，芒种)，(立夏，夏至)，(立夏，小暑)，(立夏，大暑)，(小满，芒种)，(小满，夏至)，(小满，小暑)，(小满，大暑)，(芒种，夏至)，(芒种，小暑)，(芒种，大暑)，(夏至，小暑)，(夏至，大暑)，(小暑，大暑)共15个，
其中任取两个在同一个月的有3个，
所以P=315=15．
故选：C．
写出基本事件，根据古典概型概率公式求解．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．

9.【答案】CD 
【解析】解：A选项，若m//α，n//α，则m，n可能平行，相交或异面，故A错误；
B选项，若m//α，m//β，则α，β可能相交或平行，故B错误；
C选项，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直性质可知m//n，故C正确；
D选项，若m⊥α，m⊥β，则α，β互相平行，故D正确．
故选：CD．
由线面，面面关系相关知识判断各选项正误即可．
本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，属基础题．

10.【答案】AB 
【解析】解：甲班成绩的极差为9.1−8.1=1.0秒，乙班成绩的极差为9.3−7.0=2.3秒，A项正确；
甲班成绩的众数为8.6秒，乙班成绩的众数为8.9秒，B项正确；
甲班成绩的平均数为x−甲=16×(8.1+9.1+8.5+8.6+8.7+8.6)=8.6，
乙班成绩的平均数为x−乙=16×(7.0+9.3+8.3+9.2+8.9+8.9)=8.6.所以x−甲=x−乙，C项错误；
甲班成绩波动小，相对于甲班的平均值比较集中，乙班成绩波动大，且相对于乙班的平均值比较分散，
所以甲班成绩的方差小于乙班成绩的方差，D项错误．
故选：AB．
根据极差、众数、平均数的概念逐项进行判断即可求解．
本题主要考查统计图表，极差，众数，平均数，方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

11.【答案】ABC 
【解析】解：对于A，∵a>b>c，
∴A>B>C，且b2+c2=41