2021-2023年高考数学真题分项汇编专题13不等式、推理与证明（全国通用）（Word版附解析）

这是一份2021-2023年高考数学真题分项汇编专题13不等式、推理与证明（全国通用）（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了若，满足约束条件则的最大值是，若，满足约束条件则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

专题13 不等式、推理与证明
知识点目录
知识点1：推理问题
知识点2：线性规划问题
知识点3：不等式大小判断问题
知识点4：利用基本不等式求最值
知识点5：解不等式
近三年高考真题
知识点1：推理问题
1．（2022•乙卷（理））嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列，，，，依此类推，其中，2，．则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，2，，可以取，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，故错误；，故错误；，故错误；，故正确．
故选：．
2．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为　 　，那么
【答案】5；．
【解析】易知有，，共5种规格；
由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，
则，记，则，

，
，
．
故答案为：5；．

知识点2：线性规划问题
3．（2022•浙江）若实数，满足约束条件则的最大值是　　
A．20 B．18 C．13 D．6
【答案】
【解析】实数，满足约束条件
则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
由已知可得，
由图可知：当直线过点时，取最大值，
则的最大值是，
故选：．

4．（2022•乙卷（文））若，满足约束条件则的最大值是　　
A． B．4 C．8 D．12
【答案】
【解析】作出可行域如图阴影部分所示，

由图可知，当取点时，目标函数取得最大值，且最大为8．
故选：．
5．（2021•浙江）若实数，满足约束条件，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
化目标函数为，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最大，有最小值为．
故选：．

6．（2021•乙卷（理））若，满足约束条件则的最小值为　　
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最小值为．
故选：．

7．（2023•甲卷（文））若，满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】15．
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
由得，
则表示直线在轴截距，截距越大，越大，
结合图形可知，当直线经过点时，最大，
联立可得，此时取得最大值15．

8．（2023•乙卷（文））若，满足约束条件，则的最大值为 ．
【答案】8．
【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示：
由可得，
则表示直线在轴上的截距，截距越小，越大，
结合图形可知，当经过点时，最大，
由可得，，即，
此时取得最大值8．
故答案为：8．

9．（2023•甲卷（理））设，满足约束条件，设，则的最大值为 ．
【答案】15．
【解析】由题意，作出，满足约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

目标函数，可化为直线，
由，可得，
即，
当直线过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，
代入可得．
故答案为：15．
10．（2022•上海），，求的最小值 ．
【答案】．
【解析】如图所示：

由，，可知行域为直线的左上方和的右上方的公共部分，
联立，可得，即图中点，，
当目标函数沿着与正方向向量的相反向量平移时，离开区间时取最小值，
即目标函数过点，时，取最小值：．
故答案为：．
11．（2021•上海）已知，，则的最大值为 ．
【答案】4．
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：，其中取得最大值时，其几何意义表示直线系在轴上的截距的相反数，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值，
联立直线方程：，可得点的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：．
故答案为：4．
知识点3：不等式大小判断问题
12．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当时取等号，
又，所以，故正确，错误，
，当且仅当，即时取等号，故错误，
故选：．
13．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，，即，，
由不等式的可加性可得，，故正确，
对于，令，，，，满足，但，故错误，
对于，令，，，，满足，但，故错误．
故选：．
14．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设，
，，，
根据题意，应该有，
且，
则有，
则，
因为，
所以，
所以项正确，错误．
，而上面已证，
因为不知道的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选：．
知识点4：利用基本不等式求最值
15．（2021•乙卷（文））下列函数中最小值为4的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】对于，，
所以函数的最小值为3，故选项错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以等号取不到，
所以，故选项错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项正确；
对于，因为当时，，
所以函数的最小值不是4，故选项错误．
故选：．
16．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若，满足，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方法一：由可得，，
令，则，
，，故错，对，
，，
故对，错，
方法二：对于，，由可得，，即，
，，故错，对，
对于，，由得，，
，故对；
，，
，故错误．
故选：．
17．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为 ．
【答案】．
【解析】正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立．
故答案为：．
18．（2021•天津）已知，，则的最小值为 ．
【答案】．
【解析】法一：，，，
当且仅当且，即时取等号，
的最小值为，
法二：，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为，
故答案为：．
19．（2021•上海）已知函数的最小值为5，则 ．
【答案】9
【解析】，
所以，经检验，时等号成立．
故答案为：9．
知识点5：解不等式
20．（2021•上海）不等式的解集为 ．
【答案】．
【解析】，
解得，．
故答案为：．
21．（2022•上海）不等式的解集为 ．
【答案】．
【解析】由题意得，
解得，
故不等式的解集．