精品解析：黑龙江省哈尔滨市道里区2022-2023学年八年级下学期期末试数学(五四制)试题（解析版）

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道里区八下数学20级2023年6月29日期末统考真题
一、选择题
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，进行判断即可．
【详解】A、是一元二次方程，符合题意；
B、是分式方程，不符合题意；
C、是二元一次方程，不符合题意；
D、是三次方程，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2. 如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中表示y是x的函数的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的定义，对于给定的x的值，y都有唯一的值与其对应，进而判断得出结论．
【详解】解：在选项A，B，C中，每给x一个值，y都有2个值与它对应，所以A，B，C选项中y不是x的函数，
在选项D中，给x一个值，y有唯一一个值与之对应，所以y是x的函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
3. 由线段a，b，c可以组成直角三角形的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，逐一计算两小边的平方和与最长边的平方，即可得到答案．
【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意，选项错误；
B、，不能组成直角三角形，不符合题意，选项错误；
C、，能组成直角三角形，符合题意，选项正确；
D、，不能组成直角三角形，不符合题意，选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，解题关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，须满足较小两边的平方和等于最长边的平方．
4. 若把直线向下平移3个单位长度，得到图象对应的函数解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】把直线向下平移3个单位长度，得到直线
即
故选：D
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟记图象的平移规律是解题关键，上加下减，左加右减．
5. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（ ）个人
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得
，即，
解方程得(舍去)，
即每轮传染中平均每人传染了个人，
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，从实际问题中抽象出方程模型，设出未知数，找出等量关系，列方程．
6. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定k的取值范围，从而求解．
【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，
∴一次函数图象经过第一、三象限或第一、三、四象限，
当函数图象只经过第一、三象限时，则，
解得：，
当函数图象经过第一、三、四象限时，，，
解得：；
综上分析可知，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；k时，直线必经过二、四象限；时，直线与y轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．
7. 如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（ ）

A. B. 是直角三角形
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的性质可知，，由两直线平行，同位角相等可以推出，再证明，得出，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出．现有条件不足以证明．
【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故B选项正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，，故A选项正确；
∴BC为斜边上的中线，
∴，故C选项正确；
现有条件不足以证明，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题考查菱形性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出，是解题的关键．
8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，，若菱形ABCD的面积为，则CD的长为（ ）

A. 6 B. C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到，根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半得到，推出，在中，根据勾股定理即得CD长．
【详解】∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形，勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握菱形的对角线性质和面积公式，勾股定理解直角三角形．
9. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，，，折叠后，点C落在AD边上的处，并且点B落在边上的处．则BC的长为（ ）

A. 6 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理得出，求出，，根据翻折和对边平行可得和为等边三角形，那么就得到，相加即可．
【详解】解：连接，

在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
同理也为等边三角形，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，对角线和相交于点O，点E在上，连接，过点E作的垂线交于点F，连接，过点E作垂足为点H，以为边作等边三角形，连接交于点M，下列四个命题或结论：①；②；③；④若，则四边形MEDG的面积是．其中正确的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，过点E作于N，证明四边形是正方形，得到，则，证明得到，即可判断①；证明，推出，由三线合一定理即可判断②；设交于T，证明四边形是矩形，再证明，同理可得，得到，再由，即可得到，即可判断③；如图所示，以B为原点，以所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，先求出直线的解析式为；再求出，，则，进一步求出，再根据求解即可判断④．
【详解】解：如图所示，过点E作于N，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，四边形是矩形，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
设交于T，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
如图所示，以B为原点，以所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，
∵，四边形是正方形，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得，
∴，
∴


，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
二、填空题
11. 在函数中，自变量x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由分式的分母不能为0得：，
解得，
即自变量的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的自变量，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
12. 已知是方程的一个根，则的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接把代入方程，即可求出的值．
【详解】解：由题意得：
把代入方程中，
则，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义，正确求出的值．
13. 若是关于的正比例函数，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正比例函数的条件计算即可．
【详解】因为是关于的正比例函数,
所以,
所以．
故答案为: ．
【点睛】本题考查了正比例函数的条件即形如，熟练掌握定义具备的条件是解题的关键．
14. 已知实数，是方程的两根，则的值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得，，然后由，整体代入计算即可．
【详解】解：∵实数，是方程的两根，
∴，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程的两根为，，则，．
15. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得，然后解不等式即可．
【详解】解：关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，


整理得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根得判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
16. 已知一次函数的图象如图所示，不等式的解集是__________．

【答案】
【解析】
【分析】利用函数图象，找出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：由图象可得：不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17. 如图所示，有一根高为16m的电线杆BC在A处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点8m远的地方，则电线杆的断裂处A离地面的距离为_____米．

【答案】x=6．
【解析】
【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程求解即可．
【详解】解：设AB=x，则AC=16-x．
根据勾股定理，得x2+64=（16-x）2,
∴x2+64=x2-32x+256，
∴32x=192，
解之得：x=6．
【点睛】能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解.
18. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AF的长度是___________．

【答案】4
【解析】
【分析】利用正方形的面积和全等三角形的性质，得到，，，设，则，再利用三角形面积公式列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，四个直角三角形全等，
，，，
设，则，
，
解得：或（舍），
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积公式，解一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
19. 已知：正方形，点E是边上的点，连接，点F是正方形边上的一点，连接，若，正方形边长为12，则的长度是___________．
【答案】或2##2或
【解析】
【分析】分两种情况画出图形，利用正方形的性质和勾股定理求出相应的边长即可．
【详解】解：如图1，

在正方形中，
，
∴，，
∴，
∴；
如图2，

在正方形中，
，
∴，，
∴．
综上可知，的长度是或2．
故答案为：或2
【点睛】此题考查了正方形的性质和勾股定理，分类讨论思想是解题的关键．
20. 如图，在矩形中，对角线上有两动点E和F，连接和，若，，，则的最小值是___________．

【答案】17
【解析】
【分析】如图，连接，，由全等三角形判定（）可以证得，得到，进而得到，再根据题意及勾股定理求出的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，为矩形的对角线，

，
是直角三角形，，，
，

移项得，
配方得，
，
解得，或
，
，
，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．
三、解答题
21. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）运用公式法求解即可；
（2）运用分解因式法求解即可．
【小问1详解】

∵，，．
．
∴
即，．
【小问2详解】



，或，
，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22. 如图，图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位，线段的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图1中画出一个以线段为对角线，面积为4矩形，且点C和点D均在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出一个以线段为一边，面积为7的平行四边形，且点E和点F均在小正方形的顶点上（画出一个即可），直接写出平行四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，平行四边形的周长
【解析】
【分析】（1）直接利用网格结合矩形的性质得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案．
【小问1详解】
如图，矩形为所求．
【小问2详解】
如图，平行四边形为所求

根据勾股定理，得

∴平行四边形的周长
【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题．
23. 已知：A、B两地距离，甲、乙两人都从A地出发前往B地，乙比甲晚出发，甲、乙两人全程匀速运动，设运动时间为（单位：h），甲、乙距离A地的路程分别为，，（单位：km），，分别与x的函数关系如图所示．

（1）分别求，关于x的函数解析式；
（2）在两人共同行走的过程中，求运动时间为多少时，两人相距3km．
【答案】（1），
（2）在两人整个行走的过程中，求运动时间为3小时或5小时，两人相距
【解析】
【分析】（1）分段用待定系数法可得解析式；
（2）分两种情况：①甲在乙前面相距时，②乙在甲前面相距时，分别列方程求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：由图象可知经过点，
设，则
∴，
由图象可知经过点和
设，则
解得，
∴．
【小问2详解】
①甲在乙前面相距时，
列式为，
解得，
②乙在甲前面相距时，
列式为，
解得，
答：在两人整个行走的过程中，求运动时间为3小时或5小时，两人相距．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，根据待定系数法求出函数关系式是解题的关键．
24. 如图，在四边形中，和相交于点O，，．

（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是的中点，连接，和相交于点H，当和满足什么样的数量关系时，才能使四边形AEFG为菱形并说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由得到，再证明，由全等三角形的性质得到，由此即可证明四边形为平行四边形；
（2）逆向思考法：先证得为平行四边形，则H为的中点，连接，由中位线定理推得，假如四边形为菱形，则，故，又已知F为的中点，故，又，故．由此逆推得，当时，四边形为菱形，问题得到解决．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
证明：如图，当时，则四边形菱形．

∵E，F，G分别是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形为平行四边形
∴
由（1）问可知：
∴
连接
∴，即．
∵是的中位线
∴，
∴
∵四边形为平行四边形
∴四边形为菱形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形三线合一等知识，熟练掌握相关性质及定理是解决本题的关键．
25. 某绘画艺人第一天的收入为875元，第三天的收入为1260元（每天收入的增长率相同）．

（1）求绘画艺人每天平均收入的增长率是多少？
（2）绘画艺人想制作一幅长30分米，宽20分米的一幅画，其中有一横一竖宽度相同的彩条（阴影部分为彩条无费用），其余空白处进行作画，如图所示，作画区域的费用为每平方分米3元，经预算作画区域的总费用恰好是第四天的收入，求彩条的宽度是多少分米．
【答案】（1）绘画艺人每天平均收入的增长率是20%
（2）彩条的宽度是2分米
【解析】
【分析】（1）设绘画艺人每天平均收入的增长率是x，，则第三天每天平均收入为，根据他第三天的收入为1260元，列方程为，求解即可．
（2）设彩条的宽度是y分米，根据作画区域的总费用恰好是第四天的收入，列方程为，求解即可．
【小问1详解】
解：设绘画艺人每天平均收入的增长率是x，根据题意，得

解得：，（不符合题意，舍去）
∴，
答绘画艺人每天平均收入的增长率是20%．
【小问2详解】
解：设彩条的宽度是y分米，根据题意，得
，
解得：，（不符合题意，舍去）
∴，
答：彩条的宽度是2分米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
26. 图1是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……

（1）根据上面的内容，请直接写出10是三角点阵中前________行的点数和；
（2）请直接写出三角点阵中前8行的点数和________；
（3）三角点阵中前n行的点数和能是136吗？如果能，请求出n，如果不能，请说明理由；
（4）如果把图1的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数和能是650吗？如果能，请求出n，如果不能，请说明理由
【答案】（1）4 （2）36
（3），理由见解析；
（4）前行的点数和为，前n行的点数和能是650，当时前n行的点数和是650
【解析】
【分析】（1）由图可直接得出；
（2）前8行的点数和即为，计算即可；
（3）根据题意可前行的点数和为
，令，计算即可；
（4）根据题意可得前行的点数和为
，前n行的点数和是650，则，求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴10是三角点阵中前4行的点数和，
故答案为：4；
【小问2详解】
前8行的点数和为，
故答案为：36；
【小问3详解】
根据题意可得前行的点数和为

，
，或（舍去）
∴．
【小问4详解】
根据题意可得前行的点数和为
，
当前n行的点数和是650，则，
，或（舍去）
∴．
【点睛】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
27. 已知：在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于点B和点A，且．

（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，把沿翻折得到（点O和点C是对应点），点D在的延长线上，连接，过点O作，垂足为点E，交于点F，连接，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作的平行线，分别交和y轴于点T和点G，连接，的面积是，且，求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由直线解析式可求出，再结合，即可求出，进而即可求出k的值，即得出直线的解析式；
（2）由翻折可知，即得出四边形为正方形．过点A作，垂足为点M，过点A作，垂足为点N． 易证，从而可证，即得出，说明是的角平分线，即；
（3）过点C作，垂足为点Q，连接和，在上取一点P，使，连接．结合题意证明，得出 ，，从而证明，得出，进而证明，得出．设，则，由可求出a的值为或1，再根据，可确定a的值为，即，，得出，．由待定系数法可求出．又易证，得出，即，由待定系数法可求出，最后联立和，解出x和y的值，即为点E的横坐标与纵坐标．
【小问1详解】
解：对于，令，则，
解得：，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵沿翻折得到，
∴．
∵，
∴四边形为正方形．
过点A作，垂足为点M，过点A作，垂足为点N，如图，

∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，即；
【小问3详解】
解：如图，过点C作，垂足为点Q，连接和，在上取一点P，使，连接．

∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得：，．
∵，
∴，，
∴，．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴．
∵直线和直线的交点为E，
∴可列方程组，解得：，
∴．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，坐标与图形，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，翻折的性质，平行线的性质等知识，综合性强，为压轴题．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．