第十七章 勾股定理 单元复习题 2022-2023学年人教版八年级数学下册

这是一份第十七章 勾股定理 单元复习题 2022-2023学年人教版八年级数学下册，共16页。

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理 单元复习题
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（）
A．3 B．4 C．5 D．7
2．如图，作一个正方形，使其边长为单位长度，以表示数1的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）

A． B． C． D．
3．下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是 （　　）
A．3，4，6 B．6，8，10 C．7，24，25 D．9，12，15
4．如图，有一个水池，水面是边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）

A．7.5尺 B．8尺 C．8.5尺 D．9尺
5．一个直角三角形的两条边分别为a=，b=，那么这个直角三角形的面积是 （　　）
A． B．2 C．或 D．2或2
6．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（　　）

A．9 B．8 C．7 D．6
7．如图，点A，B，C在边长为1的正方形网格格点上，则边上的高为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，长方体的底面边长分别为厘米和厘米，高为厘米.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（　　）厘米

A．8 B．10 C．12 D．13
二、填空题
9．一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长为　 　.
10．一艘船以20海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船以15海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距　 　海里．
11．如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则　 　．

12．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为　 　．

三、解答题
13．如图，在四边形中，，，，．求的度数．

14．如图，在中，，，E是边的中点，且．求证：是直角三角形．

15．要把宣传牌，装订在教室的黑板上面（如图所示）．一架梯子（米）靠在宣传牌，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌的B处，而底端E向外移到了1米到C处（米）．测量得米．求宣传牌的高度（结果用根号表示）．

四、综合题
16．如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

（1）求证：；
（2）若，时，求的面积．
17．如图，永定路一侧有A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，和为供奶路线，现已测得，，，．

（1）连接，求两个送奶站之间的距离．
（2）有一人从点C处出发，沿永定路路边向右行走，速度为，多长时间后这个人距B送奶站最近？
18．图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

（1）网格中的形状是　 　；
（2）在图1中确定一点D，连接，使与全等但不成轴对称；
（3）在图2中确定一点D，连接，使与成轴对称；
（4）在图3中边上找一个点D，使得它与点与点构成的三角形为等腰三角形．
19．如图，点O是等边ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，BO，AD．

（1）求证：BCO≌ACD．
（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度数．

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解： 点到原点的距离为 =5，
故答案为：C.
【分析】直接利用勾股定理计算即可.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：正方形对角线的长为，
则点A表示的数为，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线的长，即可得到点A表示的数为。
3．【答案】A
【解析】【解答】解： A、∵32+42≠62，∴ 由勾股定理的逆定理可知这三条线段不能作为直角三角形的三边边长 ，故此选项符合题意；
B、∵62+82=102，∴由勾股定理的逆定理可知 这三条线段能作为直角三角形的三边边长 ，故此选项不符合题意；
C、∵72+242=252，∴由勾股定理的逆定理可知 这三条线段能作为直角三角形的三边边长 ，故此选项不符合题意；
D、∵92+122=152，∴由勾股定理的逆定理可知 这三条线段能作为直角三角形的三边边长 ，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别计算各选项中各数的平方，观察是否满足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知：若满足，则可构成直角三角形，反之，不能构成直角三角形，结合各选项即可判断求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB为（x-1）尺，
根据勾股定理得： ，
解得： ，
∴芦苇的长度为8.5尺.
故答案为：C.
【分析】设芦苇的长度为x尺，则AB为（x-1）尺，利用勾股定理建立方程，求解即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：分两种情况：
当为斜边时，另一条直角边为：，
则S∆=；
当为直角边时，
则S∆=；
即这个直角三角形的面积是：或.
故答案为：C.
【分析】由题意可分两种情况：当为斜边时，用勾股定理求出另一条直角边，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半可求解；当为直角边时，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半可求解.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC = 2AE =8，DA= DC，
∴∠DAC= ∠C，
∵BD = CD，
∴BD = AD，
∴∠B = ∠BAD，
∵∠B+∠BAD+ZC+∠DAC =180°，
∴2∠BAD+2∠DAC = 180°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAC =90°，
∵BC =BD+CD =2AD =10，
∴，
故答案为：D.
【分析】根据垂直平分线求出AC = 2AE =8，DA= DC，再求出∠B = ∠BAD，最后利用勾股定理计算求解即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】∵由勾股定理可知AB=
∴AB与AB边上高的积=BC与2之积
所以AB边上的高=
故答案为A
【分析】先利用勾股定理求AB ，在由积相等求出答案。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，将长方体展开，

，QA=5，
.
故答案为：D.
【分析】先做出长方体的侧面展开图，根据展开图，得到PA、PQ的长，最后根据勾股定理得到PQ的长.
9．【答案】或
【解析】【解答】分两种情况讨论：
①第三边为直角边：由勾股定理可知第三边==；
②第三边为斜边：由勾股定理可知第三边==；
故答案为：或.
【分析】直接根据勾股定理解答，注意分类讨论即可.
10．【答案】25
【解析】【解答】解：如图，

∵由图可知AC=20×1=20（海里），
AB=15×1=15（海里），
在Rt△ABC中，（海里）．
故它们相距25海里．
故答案为：25．
【分析】先求出AC和AB的长，再利用勾股定理求出BC的长即可。
11．【答案】5
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AB于点E，

∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE.
∵CD=DE，BD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BC=BE=6.
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴AE=AB-BE=10-6=4.
设CD=DE=x，则AD=8-x，
∵AD2=DE2+AE2，
∴(8-x)2=x2+42，
解得x=3，
∴AD=AC-CD=8-3=5.
故答案为：5.
【分析】过D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC=BE=6，由勾股定理可得AB=10，则AE=AB-BE=4，设CD=DE=x，则AD=8-x，然后在Rt△ADE中，由勾股定理可得x的值，进而可得AD的值.
12．【答案】96
【解析】【解答】解：∵两直角边长分别为a，b，斜边长为c，
∴a2+b2=c2=400，
∵b-a=4，
∴b2-2ab+a2=16，
∴400-2ab=16，
解之：ab=192，
∴每一个直角三角形的面积为ab=×192=96.
故答案为：96
【分析】利用勾股定理可得到a2+b2的值，由b-a=4，两边平方，可求出ab的值，然后求出ab的值即可.
13．【答案】解：如图，连接 ，

∵ ， ，
∴ ， ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】根据题意先求出 ， ，再求出∠ABD=90°，最后计算求解即可。
14．【答案】证明：如图所示，延长 至D，使得 ，

∵ ，
又E是边 的中点，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
【解析】【分析】延长 至D，使得 ，先根据三角形全等的判定得到 ，进而根据三角形全等的性质即可得到 ， ，再结合题意根据勾股定理逆定理即可得到 是直角三角形，且 ，再由平行线的性质得到 ，进而即可求解。
15．【答案】解：由题意可得：米，米，米，
在中，（米），
则（米），
在中，（米），
故米，
答：宣传牌的高度为米．
【解析】【分析】利用勾股定理求出MC、AM，进而求解即可。
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，∠B=∠C∠BAE=∠CEDBE=CD，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，

由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，进而更加三角形全等的判定与性质证明，进而等腰三角形的性质结合题意即可求解；
（2）过点E作于F，先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据勾股定理结合三角形的面积即可求解。
17．【答案】（1）解： ∵AC=8km，BC=15km，AC⊥BC，
∴AB==17km，
∴ 两个送奶站之间的距离为17km.
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，
如图，过点B作公路的垂线交公路于点D，

，
，
在中，，
，
，
∴3h后这人距离B送奶站最近．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；
（2）由（1）知∠ACB=90°，过点B作BD⊥CD， 由平角的定义求出∠BCD=60°，利用三角形内角和求出∠CBD=30°，根据直角三角形的性质可得CD=BC=7.5km，根据时间=路程÷速度即得结论.
18．【答案】（1）直角三角形
（2）解：如图，将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D，连接 BD、CD ，

根据勾股定理得 ， ，
， ，
∴AC=BD，AB=DC，又BC=CB，
∴ ，且△ABC与△DCB不是轴对称图形，
∴点D是所求点的位置；
（3）解：如图，作点A关于BC的对称点D，连接BD、CD ，

根据勾股定理得 ， ，
， ，
∴AC=BD，AB=DC，又BC=CB，
∴ ，且△ABC与△DCB是关于BC成轴对称的图形，
∴点D是所求点的位置；
（4）解：如图所示，将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D'，连接 BD'、CD'、AD' ，交BC于点D ，则D即为所求．

根据勾股定理得 ， ， ，
∴AC=BD'，D'A=CB，又AB=BA，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
根据勾股定理得 ，
∴AB=CD'，D'A=CB，又AC=CA，
同理： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴点D是所求点的位置．
【解析】【解答】解：（1）根据勾股定理：AC2=12+22=5，AB2=22+42=20，BC2=52=25，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°；
故答案为：直角三角形；
【分析】（1）先根据方格纸的特点及勾股定理分别表示出AC2、AB2、BC2，进而根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，且∠A=90°；
（2）将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D，连接 BD、CD ，根据勾股定理分别算出AC、AB、BD、DC的长，可得AC=BD，AB=DC，又BC=CB，从而用SSS可判断出△ABC≌△DCB，进而根据轴对称图形的定义可得△ABC与△DCB不是轴对称图形，故点D就是满足条件的点；
（3）如图，作点A关于BC的对称点D，连接BD、CD ，根据勾股定理分别算出AC、AB、BD、DC的长，可得AC=BD，AB=DC，又BC=CB，从而用SSS可判断出△ABC≌△DCB，进而根据轴对称图形的定义可得△ABC与△DCB是轴对称图形，故点D就是满足条件的点；
（4）将点B向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位程度后的对应点就是点D'，连接 BD'、CD'、AD' ，交BC于点D ，根据勾股定理分别算出AC、BD'、D'A的长，可得AC=BD'，D'A=CB，又AB=BA，从而用SSS可判断出△ABC≌△BAD'，得∠ABC=∠BAD'，由等角对等边得DB=DA；由勾股定理算出CD'，可得AB=CD'，D'A=CB，又AC=CA，从而用SSS可判断出△ABC≌△CD'A，得∠ACB=∠CAD'，由等角对等边得DC=DA，从而可得△ABD与△ADC都是等腰三角形，即点D是所求点的位置．
19．【答案】（1）证明：∵CO绕点C顺时针旋转60°得到CD
∴CO＝CD，∠OCD＝60°
∵△ABC是等边三角形
∴CA＝CB，∠BCA＝60°
∴∠BCA＝∠OCD
∴∠BCO＝∠ACD
在△BCO和△ACD中

∴△BCO≌△ACD（SAS）．
（2）解：∵CO＝CD，∠OCD＝60°
∴△OCD是等边三角形
∴OD＝OC＝6．∠ODC＝60°
∵△BCO≌△ACD
∴AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC
∵OA＝10
∴OA2＝AD2+OD2
∴∠ADO＝90°
∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝150°
∴∠BOC＝∠ADC＝150°．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证出△BCO≌△ACD即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证出∠ADO＝90°，再利用角的运算求出∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝150°，即可得到∠BOC＝∠ADC＝150°。