2022-2023学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. 笛卡尔心形线 B. 阿基米德螺旋线
C. 科克曲线 D. 赵爽弦图
2. 在数轴上表示不等式x−1<0的解集，正确的是(    )
A. B.
C. D.
3. 使分式2x+2有意义的x的取值范围是(    )
A. x≠−2 B. x≠2 C. x>−2 D. x<−2
4. 下列命题的逆命题，是真命题的为(    )
A. 四边形是多边形 B. 对顶角相等
C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若a=−2，则|a|=2
5. 下列分解因式正确的是(    )
A. a2−9=(a−3)2 B. 6a2+3a=a(6a+3)
C. a2+6a+9=(a+3)2 D. a2−2a+1=a(a−2)+1
6. 如图所示，线段AC的垂直平分线交AB于点D，∠A=43°，则∠BDC的度数为(    )
A. 90°
B. 60°
C. 86°
D. 43°
7. 如图，函数y=2x和y=ax+5的图象交于点A，则不等式2x
A. x<32 B. x<3 C. x>32 D. x>3
8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(    )


A. AB/​/CD，AD//BC B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB/​/CD D. AB=CD，AD=BC
9. 如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是(    )
A. AE、BF是△ABC的内角平分线
B. CG也是△ABC的一条内角平分线
C. AO=BO=CO
D. 点O到△ABC三边的距离相等
10. 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=12，AD=5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为(    )


A. 2 B. 2.3 C. 4 D. 7
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：xy2−4x=______．
12. 方程3x+2−1x=0的解为______ ．
13. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．
14. 小张购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，费用不超过100元钱，设小张买了x支钢笔，则x应满足的不等式是______．
15. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点DB′之间的距离为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解不等式组：2x≤x+2x−12 17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−2x+1)÷x2−12x+2，其中x=2．
18. (本小题8.0分)
在5×5的方格纸，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)将图1中的△ABC向下平移2格，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将图2中的△ABC绕着点B按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2．


19. (本小题9.0分)
如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接DE，BF．
(1)求证：AE=CF．
(2)连接BD交AC于点O，若BE=4，EF=6，说明四边形BEDF是平行四边形，并求出BD的长．

20. (本小题9.0分)
某商场准备购进A、B两种商品进行销售．有关信息如下表：

进价(元)
售价(元)
A产品
a
500
B产品
a−320
120
已知2000元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等
(1)求表中a的值；
(2)该商场准备购进A、B两种商品共50件，若要使这些产品售完后利润不低于3200元，A种产品至少要购进多少件？
21. (本小题9.0分)
阅读下列材料：
对于二次三项式x2+2ax+a2，可以直接用公式法因式分解为(x+a)2的形式，但对于二次三项式x2+2ax−3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．
例如：x2+2ax−3a2=x2+2ax+a2−a2−3a2=(x+a)2−(2a)2=(x+3a)(x−a)．
像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添(拆)项法．
(1)请用上述方法把x2−4x+3因式分解；
(2)多项式x2+2x+2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？
22. (本小题12.0分)
如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，点C，M，N在同一条直线上．
(1)求证：△BAM≌△CAN；
(2)求∠BMC的度数；
(3)若点M是CN的中点，求证：BM⊥AC．

23. (本小题12.0分)
已知，▱AOBC的一边OB在平面直角坐标系的x轴上，点B(8,0)．
(1)如图1，点A(2,2 3)，则OA的长为______；
(2)如图2，当OA在y轴上时，AB的中垂线EF分别交AC，AB，OB于点E，D，F．
①求证：四边形AFBE是平行四边形；
②若点A(0,4)，动点P，Q分别从点A，B以每秒1个单位长度和每秒0.8个单位长度的速度同时出发匀速运动，动点P自A→F→O→A停止，Q自B→C→E→B停止．请问是否存在▱APBQ，若存在，直接写出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．
求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．
【解答】
解：x−1<0，
∴x<1，
在数轴上表示不等式的解集为：，
故选：B．  
3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查的是分式有意义的条件，即分式有意义的条件是分母不等于零．
先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】
解：∵分式2x+2有意义，
∴x+2≠0，解得x≠−2．
故选：A．  
4.【答案】C 
【解析】解：四边形是多边形的逆命题是：多边形是四边形，逆命题是假命题，故A不符合题意；
对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，逆命题是假命题，故B不符合题意；
两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两条直线平行，逆命题是真命题，故C符合题意；
若a=−2，则|a|=2的逆命题是：若|a|=2，则a=−2，逆命题是假命题，故D不符合题意；
故选：C．
分别写出各命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可得答案．
本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题，并能判断逆命题的真假．

5.【答案】C 
【解析】解：A、原式=(a+3)(a−3)，不符合题意；
B、原式=3a(2a+1)，不符合题意；
C、原式=(a+3)2，符合题意；
D、原式=(a−1)2，不符合题意．
故选：C．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了因式分解提公因式法与公式法运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠A=43°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=86°，
故选：C．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA=∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

7.【答案】A 
【解析】解：由图象可得x<32时，直线y=ax+5在直线y=2x上方，
∴不等式2x 故选：A．
由图象中直线y=ax+5在直线y=2x上方时的x的取值部分求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解．

8.【答案】C 
【解析】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
C、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．

9.【答案】C 
【解析】解：A、由尺规作图的痕迹可知：AE、BF是△ABC的内角平分线，所以选项A正确；
B、根据三角形三条角平分线交于一点，且点O在CG上，所以CG也是△ABC的一条内角平分线，所以选项B正确；
C、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项C不正确；
D、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点O到△ABC三边的距离相等，所以选项D正确；
本题选择说法不正确的，故选：C．
根据三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可以作判断．
本题考查了基本作图−角的平分线、角平分线的性质，明确三角形的角平分线交于同一点，且交点到三边的距离相等．

10.【答案】C 
【解析】解：连接DN，
∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN=DB= AD2+BD2= 52+122=13，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A=90°，AD=5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为4；
故选：C．
根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．

11.【答案】x(y+2)(y−2) 
【解析】解：xy2−4x，
=x(y2−4)，
=x(y+2)(y−2)．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．

12.【答案】x=1 
【解析】解：3x+2−1x=0，
方程两边都乘x(x+2)，得3x−(x+2)=0，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x+2)≠0，
所以分式方程的解是x=1．
故答案为：x=1．
方程两边都乘x(x+2)得出3x−(x+2)=0，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．

13.【答案】八 
【解析】
【分析】
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°.n边形的内角和是(n−2)⋅180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】
解：设多边形的边数为n，根据题意，得
(n−2)⋅180=3×360，
解得n=8．
则这个多边形的边数是八．  
14.【答案】5x+2(30−x)≤100 
【解析】解：设小张买了x支钢笔，则买了(30−x)本笔记本，
根据题意得：5x+2(30−x)≤100．
故答案为：5x+2(30−x)≤100．
设小张买了x支钢笔，则买了(30−x)本笔记本，根据总价=单价×购买数量结合费用不超过100元钱，即可得出关于x的一元一次不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

15.【答案】(2 2−1)cm 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∵AB=AD=2cm，∠A=90°，
∴BD= 2AB=2 2(cm)，
由平移变换的性质可知BB′=1cm，
∴DB′=BD−BB′=(2 2−1)cm，
故答案为：(2 2−1)cm．
利用正方形的性质以及勾股定理求出BD，求出小正方形的对角线DB′的长即可．
本题考查利用平移设计图案，正方形的性质，勾股定理，平移变换等知识，解题关键是掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．

16.【答案】解：2x≤x+2①x−12 由①得：x≤2，
由②得：x>−3，
不等式组的解集为：−3 在数轴上表示为：
． 
【解析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：大小小大中间找确定解集，再在数轴上表示出来即可．

17.【答案】解：原式=x+1−2x+1·2(x+1)(x+1)(x−1)
=x−1x+1·2(x+1)(x+1)(x−1)
=2x+1，
当x=2时，原式=22+1=23． 
【解析】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出即可．

18.【答案】解：(1)如图1，△A1B1C1为所作；
(2)如图2，△A2B2C2为所作．
 
【解析】(1)利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE/​/DF，
∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
∠BAE=∠DCF∠AEB=∠CFDAB=CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF；
(2)解：由△ABE≌△CDF得：BE=DF，BE/​/DF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OB=OD，OE=OF=12EF=3，
∵BE⊥AC，
∴∠BEO=90°，
∴OB= BE2+OE2= 42+32=5，
∴BD=2OB=10． 
【解析】(1)利用AAS证明△ABE≌△CDF，可得AE=CF；
(2)结合(1)中条件证明四边形BEDF为平行四边形，由平行四边形的性质得OB=OD，OE=OF=12EF=3，再由勾股定理求出OB=5，即可求解．
此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△CDF是解题的关键．

20.【答案】解：(1)由题意得：2000a=400a−320，
解得：a=400，
经检验，a=400是原方程的解，且符合题意，
答：表中a的值为400；
(2)y由(1)可知，a−320=80，
设A种产品要购进x件，则B种产品要购进(50−x)件，
由题意得：(500−400)x+(120−80)(50−x)≥3200，
解得：x≥20，
答：A种产品至少要购进20件． 
【解析】(1)由题意：2000元购进A产品的数量与400元购进的B产品数量相等，列出分式方程，解方程即可；
(2)设A种产品要购进x件，则B种产品要购进(50−x)件，由题意：要使这些产品售完后利润不低于3200元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找出等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

21.【答案】解：(1)x2−4x+3
=x2−2×2x+22−22+3
=(x−2)2−12
=(x−1)(x−3)；

(2)有最小值，
x2+2x+2
=x2+2x+12−12+2
=(x+1)2+1，
故当它有最小值时x的值是−1． 
【解析】(1)要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式；
(2)把多项式x2+2x+2凑成完全平方式加常数项的形式，即可求出多项式x2+2x+2有最小值时x的值．
此题主要考查了因式分解的应用，完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0.所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．

22.【答案】(1)证明：∵△ABC和△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM和△CAN中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)；
(2)解：∵△AMN为等边三角形，
∴∠AMN=∠NAM=∠AMN=60°，
∵△BAM≌△CAN，
∴∠AMB=∠MNA=60°，
∴∠BMC=180°−∠AMN−∠AMB=60°；
(3)证明：∵点M是CN的中点，
∴MN=CM，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM=MN=CM，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB，
∴MB是AC的垂直平分线，
∴BM⊥AC． 
【解析】(1)由等边三角形的性质得出AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，再证出∠BAM=∠CAN，由SAS即可证明△ABM≌△ACN．
(2)由等边三角形的性质得出∠AMN=∠NAM=∠AMN=60°，由全等三角形的性质得出∠AMB=∠MNA=60°，再由平角定义即可得出结果；
(3)由等边三角形的性质证出MB是AC的垂直平分线，即可得出结论．
本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

23.【答案】4 
【解析】(1)解：∵点A(2,2 3)，
∴OA= (2−0)2+(2 3−0)2=4；
故答案为：4；
(2)①证明：∵四边形AOBC是平行四边形，
∴AC//BO，
∵EF是AB的中垂线，
∴AD=BD，
∵AC/​/OB，
∴∠AEF=∠EFB，∠EAB=∠FBA，
∴△ADE≌△BDF(AAS)，
∴AE=BF，
又∵BO//AC，
∴四边形AFBE是平行四边形；
②解：∵EF是AB的中垂线，
∴AE=BE，
∴平行四边形AFBE是菱形，
∴AF=BF=AE=BE，
∵点A(0,4)，点B(8,0)，
∴OA=4=CD，OB=8=AC，
∵AF2=AO2+OF2，
∴BF2=16+(8−BF)2，
∴BF=5，
∴AF=BF=AE=BE=5，
∴OF=CE=3，
当点P在OF上时，点Q在CE上时，四边形APBQ为平行四边形，
∴BP=AQ，
设运动时间为t秒，
∴5+t−5=8−(0.8t−4)，
∴t=203，
∴BP=AQ=203，
∴OP=43，
∴点P(43,0)，点Q(203,4)．
(1)由两点距离公式可求解；
(2)①由“AAS”可证△ADE≌△BDF，可得AE=BF，可得结论；
②先证平行四边形AFBE是菱形，可得AF=BF=AE=BE，由勾股定理可求AF=BE=5，OF=CE=3，由平行四边形的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．