2023年湖南省长沙市中考数学试卷【含答案】

这是一份2023年湖南省长沙市中考数学试卷【含答案】，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B．π C．﹣1 D．0
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x5 B．（x3）3＝x6
C．x（x+1）＝x2+1 D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1
4．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
6．（3分）如图，直线m∥直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作
AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）长沙市某一周内每日最高气温．情况如图所示，下列说法中，错误的是（　　）
A．这周最高气温是32℃
B．这组数据的中位数是30
C．这组数据的众数是24
D．周四与周五的最高气温相差8℃
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1
10．（3分）“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片（分别写有“福”字、春联、灯笼）的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品，现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（3分）分解因式：a2﹣100＝　 　．
12．（3分）睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到班上某位学生的5天睡眠时间（单位：小时）如下：10，9，10，8，8，则该学生这5天的平均睡眠时间是 　 　小时．
13．（3分）如图，已知∠ABC＝50°，点D在BA上，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，则∠BDE的度数是 　 　度．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k＝　 　．

15．（3分）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　 　．

16．（3分）毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 　 　万里．
三、解答题
17．（6分）计算：|﹣|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．
19．（6分）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
（1）求点A离地面的高度AO；
（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：≈1.73）

20．（8分）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级（D：60≤x＜70；C：70≤x＜80；B：80≤x＜90；A：90≤x≤100），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝　 　，m＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 　 　度；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
21．（8分）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．

22．（9分）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？
23．（9分）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．

24．（10分）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．
（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值；
（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

25．（10分）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．
①求函数y2的图象的对称轴；
②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

1．B．
2．D．
3．A．
4．C．
5．A．
6．C．
7．B．
8．A．
9．D．
10．C．
11．（a+10）（a﹣10）．
12．9．
1365．
14．．
15．1．
16．4．
17．原式＝+1﹣2×﹣2
＝+1﹣﹣2
＝﹣1．
18．（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）
＝4+2
＝6．
19．（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴AO＝AC＝（km），
（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴OC＝AC＝4（km），
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
∴OB＝OC＝4km，
∴AB＝OB﹣OA＝（4）km，
∴飞船从A处到B处的平均速度＝≈0.3（km/s）．
20．（1）n＝60÷40%＝150，
∵m%＝×100%＝36%，∴m＝36；故答案为：150，36；
（2）D等级学生有：150﹣54﹣60﹣24＝12（人），
补全的频数分布直方图，如图所示：

（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为360°×40%＝144°；故答案为：144；
（4）3000×16%＝480（人），答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．
21．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝6，在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，
∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
22．（1）设胜了x场，负了y场，
根据题意得：，解得，
答：该班级胜负场数分别是13场和2场；
（2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球，
根据题意得：3m+2（26﹣m）≥56，解得m≥4，
答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．
23．（1）证明：在▱ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠F＝∠ADF，
∴AD＝AF，
（2）解：∵AD＝AF＝6，AB＝3，
∴BF＝AF﹣AB＝3；
过D作DH⊥AF交FA的延长线于H，

∵∠BAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠ADH＝30°，
∴AH＝，
∴＝3，
∴△ADF的面积＝．
24．（1）BD是⊙O的切线．
证明：如图，在△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°．
又点A，B，C在⊙O上，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°．
又∠DBC＝∠CAB，
∴∠DBC+∠ABC＝90°．
∴∠ABD＝90°．
∴BD是⊙O的切线．
（2）由题意得，S1＝BC•CD，S2＝BC•AC，S＝AD•BC．
∵S1•S＝（S2）2，
∴BC•CD•AD•BC＝（BC•AC）2．
∴CD•AD＝AC2．
∴CD（CD+AC）＝AC2．
又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A，
∴∠D＝∠ABC．
∴tan∠D＝＝tan∠ABC＝．
∴CD＝．
又CD（CD+AC）＝AC2，
∴+BC2＝AC2．
∴BC4+AC2•BC2＝AC4．
∴1+（）2＝（）4．
由题意，设（tan∠D）2＝m，
∴（）2＝m．
∴1+m＝m2．
∴m＝．
∵m＞0，
∴m＝．
∴（tan∠D）2＝．
（3）设∠A＝α，
∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°，
∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α．
如图，连接OM．
∴在Rt△OFM中，OF＝＝．
∴BF＝BO+OF＝1+，AF＝OA﹣OF＝1﹣．
∴在Rt△AFE中，EF＝AF•tanα＝（1﹣）•tanα，
AE＝＝．
在Rt△ABC中，BC＝AB•sinα＝2sinα．（∵r＝1，∴AB＝2．）
AC＝AB•cosα＝2cosα．
在Rt△BFN中，BN＝＝，FN＝＝．
∴y＝FE•FN•
＝x2•
＝x2•
＝x2•
＝x2•
＝x．
即y＝x．
∵FM⊥AB，
∴FM最大值为F与O重合时，即为1．
∴0＜x≤1．
综上，y＝x，0＜x≤1．
25．（1）由题意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，
∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．
答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．
（2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，
∴对称轴为x＝，
∴s＝﹣3r，
∴，
∴对称轴为x＝．
答：函数y2的图象的对称轴为x＝﹣．
②，
令3x2+2x＝0，
解得，
∴过定点（0，1），（）．
答：函数y2的图象过定点（0，1），（）．
（3）由题意可知，，
∴，
∴CD＝，EF＝，
∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，
∴|a|＝|c|．
1°若a＝﹣c，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，
∴CD＝2|yA|，
∴，
∴，
∴b2+4a2＝4，
∴，
∵b2＝4﹣4a2＞0，
∴0＜a2＜1，
∴S正＞2，

2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2．