还剩18页未读，
继续阅读
2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数z=1−2i1+i(i是虚数单位)，则z−对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知平面向量a与b为单位向量，它们的夹角为π3，则|2a+b|=( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
3. 已知函数f(x)=1x,x>0x+2,x≤0，则方程f(x)−3|x|=0的解的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 函数y=sin(x+π3)sin(x+π2)的最小正周期是( )
A. π4 B. π2 C. π D. 2π
5. 下列不等式恒成立的是( )
A. ba+ab≥2 B. ab≥(a+b2)2 C. a+b≥2 |ab| D. a2+b2≥−2ab
6. 已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若a//α，β//α，则a//β B. 若α⊥β，a⊥β，则a//α
C. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β D. 若a//α，b⊥α，则a⊥b
7. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是( )
A. r+hcosβ=rcos(α+β) B. hcosβ=rcos(α+β)
C. r+hsinβ=rsin(α+β) D. hsinβ=rsin(α+β)
8. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP//平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区城面积是( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19(单位℃).则( )
A. 该组数据的平均数为1157 B. 该组数据的中位数为13
C. 该组数据的第70百分位数为16 D. 该组数据的极差为15
10. 把函数f(x)=sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A. 最小正周期为π B. 在区间[−π3,π6]上的最大值为 32
C. 图象的一个对称中心为(−π3,0) D. 图象的一条对称轴为直线x=π12
11. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=b(b+c)，则下列结论正确的有( )
A. A=2B
B. B的取值范围为(0,π4)
C. ab的取值范围为( 2, 3)
D. 1tanB−1tanA+2sinA的取值范围为(5 33,6)
12. 如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是( )
A. BF与AE异面
B. BF//平面ACD
C. 平面CDF⊥平面ABD
D. DE与平面ABD所成的角的正弦值是23
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n= ______ ．
14. 在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=2 3，∠C=90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______ ．
15. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为______．
16. 如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点.若OA=2，则该八边形的面积为______ ，OP⋅AB的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=sin(−2x)+cos(−2x)，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在[0,π2]上的最小值及相应自变量的值．
18. (本小题12.0分)
5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数(BodyMassIndex，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．
19. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcosC=2a−c．
(1)求角B；
(2)如图，若△ABC外接圆半径为2 63，D为AC的中点，且BD=2，求△ABC的周长．
20. (本小题12.0分)
近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v(单位：m/s).其中v0(单位m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：ln230≈5.4，1.648
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
21. (本小题12.0分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为梯形，AB//CD，PA=PD=PB，BC=CD=1，AB=2，∠BCD=π3，直线PA与底面ABCD所成角为π4．
(1)若E为PD上一点且PE=2ED，证明：PB//平面ACE；
(2)求二面角P−AD−B的余弦值．
22. (本小题12.0分)
设a为正数，函数f(x)=ax2+bx+c满足f(0)=1且f(x)=f(2a−x)．
(1)若f(1)=1，求f(x)；
(2)设g(x)=log2(x−2 x+2)，若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t−1,t+1]，使得f(x1)−f(x2)≥g(x3)−g(x4)对所有x3，x4∈[14,4]都成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为z=1−2i1+i=(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−3i2=−12−32i，则z−=−12+32i，
因此，z−对应的点(−12,32)在第二象限．
故选：B．
利用复数的除法化简复数z，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵a⋅b=|a|⋅|b|cos=cosπ3=12，
∴|2a+b|= |2a+b|2= 4|a|2+4a⋅b+|b|2= 4+2+1= 7．
故选：D．
由向量数量积定义可得a⋅b，根据向量数量积的运算律可由|2a+b|= |2a+b|2求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积的运算，向量的模的计算等知识，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：令f(x)−3|x|=0，得f(x)=3|x|，
则方程f(x)−3|x|=0的解的个数即函数y=f(x)与函数y=3|x|的图象的交点的个数．
作出函数y=f(x)与函数y=3|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程的解的个数为2个．
故选：C．
令y=3|x|，则方程f(x)−3|x|=0的解的个数即函数y=f(x)与函数y=3|x|的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数．
本题考查了方程的解的个数，也考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的关键，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵函数y=sin(x+π3)sin(x+π2)=(12sinx+ 32cosx)⋅cosx=12sinxcosx+ 32cos2x
=14sin2x+ 32⋅1+cos2x2=12sin(2x+π3)+ 34，
∴函数的最小正周期是2π2=π，
故选：C．
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：对于A：a，b异号是显然不成立，∴A不正确；
对于B：a，b异号是显然不成立，∴B不正确；
对于C：a，b均小于0时，显然不成立，∴C不正确；
对于D：∵(a+b)2≥0(a,b∈R)，∴a2+b2≥−2ab (a,b∈R)，∴D正确；
故选：D．
利用a，b异号可判断A，B不成立，a，b均小于0可判断C，利用(a+b)2≥0可判断D．
本题主要考查了基本不等式的成立条件的检验，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：对于A：若a//α，β//α，则a//β或a⊂β，故A错误；
对于B：若α⊥β，a⊥β，则a//α或a⊂α，故B错误；
对于C：若α⊥γ，β⊥γ，则α//β或α与β相交；故C错误；
对于D：若a//α，则过a作平面δ，δ∩α=m，则a//m，由b⊥α，则b⊥m，则a⊥b，故D正确．
故选：D．
对于A：由已知可得a//β或a⊂β，可判断A；对于B：由已知可得a//α或a⊂α，可判断B；由已知可得α//β或α与β相交，可判断B；过a作平面δ，δ∩α=m，可得a⊥b.可判断D．
本题考查线面的位置关系，属基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查求正弦定理，诱导公式，属于中档题．
由题意画出图形，再利用正弦定理求解，结合诱导公式化简即可．
【解答】
解：如图所示，∠B=π2−α−β，
由正弦定理可得OAsinB=OBsin∠OAB，
即rsin(π2−α−β)=r+hsin(π2+β)，
化简得rcos(α+β)=r+hcosβ，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，E，F，G，H，N分别为B1C1，C1D1，DD1，DA，AB的中点，
则EF//B1D1//NH，MN//B1A//FG，
∴平面MEFGHN//平面AB1D1，
∴动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部．
∵正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，
∴EF=FG=GH=HN=NM=ME= 2，
即六边形EFGHNM是边长为 2的正六边形，
则其面积S=6×12× 2× 2× 32=3 3．
故选：C．
分别取B1C1、C1D1、DD1、DA、AB的中点E、F、G、H、N，根据题意可得点P的轨迹为正六边形MEFGHN，由此求得该正六边形MEFGHN的面积即可．
本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，
对于A，该组数据的中位数为23+25+13+10+13+12+197=1157，故A正确；
对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；
对于C，由7×70%=4.9，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；
对于D，该组数据的极差为25−10=15，故D 正确．
故选：ABD．
根据平均数、中位数、百分位数和极差的定义判断即可．
本题主要考查了平均数、中位数、百分位数和极差的计算，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：f(x)=sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=sin(2x+π3)的图象；
所以函数的最小正周期为π，
当x=π12时，函数取得最大值1．
故选：AD．
首先利用平移变换和伸缩变换的应用求出函数g(x)的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为a2=b(b+c)，又由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，
即b(b+c)=b2+c2−2bccosA，
所以bc=c2−2bccosA，所以b=c−2bcosA，即c−b=2bcosA，
由正弦定理可得sinC−sinB=2sinBcosA，
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB+cosAsinB−sinB=2sinBcosA，即sinAcosB−sinB=sinBcosA，
∴sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=sinB，
∵A，B，C为锐角，
∴A−B=B，即A=2B，故选项A正确；
∵0<2B<π20<π−3B<π2，∴π6
∵1tanB−1tanA+2sinA=sin(A−B)sinBsinA+2sinA=sin(2B−B)sinBsinA+2sinA=1sinA+2sinA，
又π3
又f( 32)=1 32+2× 32=5 33,f(1)=11+2×1=3，
∴1tanB−1tanA+2sinA=1sinA+2sinA∈(5 33,3)，故选项D错误．
故选：AC．
由余弦定理可得c−b=2bcosA，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得A=2B，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D．
本题考查了三角函数中的几何计算，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由展开图还原正方体如下图所示，其中B，D分别为NP，AM中点，
对于A，∵AE⋂平面EFPN=E，BF⊂平面EFPN，E∉BF，
∴AE与BF为异面直线，A正确；
对于B，连接BD，DG，
∵B，D分别为AM，NP中点，∴BD//AP，BD=AP，
又AP//FG，AP=FG，∴BD//FG，BD=FG，∴四边形BDGF为平行四边形，
∴BF//DG，又BF⊄平面ACD，DG⊂平面ACD，∴BF//平面ACD，B正确；
对于C，假设平面CDF⊥平面ABD成立，
∵AG⊥平面ABD，AG⊄平面ABD，∴AG//平面CDF，
∵AG⊂平面AGCM，平面AGCM⋂平面CDF=CD，∴AG//CD，显然不成立，
∴假设错误，平面CDF与平面ABD不垂直，C错误；
对于D，连接DN，
直线DE与平面ABD所成角即为直线DE与平面AMNP所成角，
∵EN⊥平面AMNP，∴∠EDN即为直线DE与平面AMNP所成角，
设正方体棱长为2，
∵DE= EN2+DN2= EN2+MN2+(12AM)2= 4+4+1=3，
∴sin∠EDN=NEDE=23，即直线DE与平面ABD所成角的正弦值为23，D正确．
故选：ABD．
由展开图还原得到正方体，根据异面直线定义可知A正确；利用平行四边形证得BF//DG，由线面平行判定可知B正确；假设两平面垂直，可知AG//平面CDF，由线面平行性质得AG//CD，可知假设错误，即C错误；由线面角定义可知所求角为∠EDN，由长度关系可求得D正确．
本题主要考查异面直线的判定，线面平行的证明，面面垂直的证明，线面角的计算等知识，属于中等题．
13.【答案】1000
【解析】解：树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，
并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，
已知参赛学生中男生比女生多10人，
按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，
则参赛学生中男生人数为550×110=55人，
参赛学生中女生人数为55−10=45人，
∴n=(55+45)×10=1000．
故答案为：1000．
参赛学生中男生人数为550×110=55人，从而参赛学生中女生人数为55−10=45人，由此能求出n．
本题考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】8
【解析】解：如图，圆锥任意两条母线为AB，AD，则截面为等腰△ABD，
∴截面面积为S△ABD=12× AB×AD×sin∠BAD，
由图可知当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴∠BAD∈(0°,120°)，∴sin∠BAD最大值为1，
∵AB=AD= AC2+BC2= 4+12=4为定值，
∴当sin∠BAD最大时截面面积最大，
∴截面面积最大为12×42×1=8．
故答案为：8．
设两条母线为AB，AD，则截面面积为12× AB×AD×sin∠BAD，由AB=AD为定值可知当sin∠BAD最大时，截面面积最大，结合图形求出∠BAD的范围即可求解．
本题考查圆锥的结构特征、母线、截面面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】 2
【解析】解：设上下底面互相平行的两对角线分别为DC，AB，则由球O的表面积为8π，可得球O的半径R= 2，
又正四棱台的上下底面边长分别是1和2，故DC= 2，AB=2 2，
所以球O的球心正好在AB中点，故OA=OB=OC=OD= 2，所以△ODC是正三角形，故∠ODC=∠DOC=60°，所以△ODA是正三角形，
故此正四棱台的侧棱长AD=OA= 2．
故答案为： 2．
根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可．
本题考查棱台的结构特征和棱台的外接球，属于基础题．
16.【答案】8 2 −2 2
【解析】解：在正八边形ABCDEFGH中，
OB=OA=2,∠AOB=π4
所以正八边形ABCDEFGH的面积为8S△AOB=8×12×2×2sinπ4=8 2；
因为AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcosπ4=8−4 2，
所以AB= 8−4 2，又cos3π4=2cos23π8−1=− 22，所以cos3π8= 2− 22，
所以OA⋅AB=2× 8−4 2×cos(π−3π8)=2 2−4，因为OP⋅AB=(OA+AP)⋅AB=OA⋅AB+AP⋅AB，
因为OP⋅AB=(OA+AP)⋅AB=OOA⋅AB+AP⋅AB，又OA⋅AB为定值，所以OP⋅AB取最小值时，即AP⋅AB取最小值，
又设〈AP,AB〉=θ，
所以AP⋅AB=|AB|⋅|AP|cosθ，所以AP⋅AB取最小值时，即|AP|cosθ取最小值，
又|AP|cosθ表示向量AP在向量AB上的投影，故|AP|cosθ取最小值时，
点P不可能在路径BCDE上(在此路径上θ为锐角)，所以点P在路径EFGHAB上，
延长BA与GH，延长线交于M点，
则AMH为等腰直角三角形，且MA=MH= 2 2−2，
所以BM= 2 2−2+ 8−4 2，
所以当点P在GH上时，向量AP1在向量AB上的投影最小，即|AP|cosθ最小，
即|AP|cosθ=−|AM|=− 2 2−2，
所以(AP⋅AB)min= 8−4 2×(− 2 2−2)=4−4 2，
所以(OP⋅AB)min=2 2−4+4−4 2=−2 2．
故答案为：8 2；−2 2．
根据正八边形ABCDEFGH的面积为8S△AOB，根据三角形的面积公式求出△AOB的面积即可；根据OP⋅AB=(OA+AP)⋅AB=OA⋅AB+AP⋅AB，求出OA⋅AB，则要求PP⋅AB的最小值，只要求出OP⋅AB的最小值即可．
本题考查向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=cos2x−sin2x= 2cos(2x+π4)，
由题意得：T=2π|ω|−2π2=π，即最小正周期为π；
由2kπ⩽2x+π4⩽π+2kπ,k∈Z，
解得：−π8+kπ⩽x⩽3π8+kπ,k∈Z，
故函数f(x)的单调递减区间为[−π8+kπ,3π8+kπ](k∈Z)；
(2)由x∈[0,π2]得2x+π4∈[π4,5π4]，
∴cos(2x+π4)∈[−1, 22]，
∴f(x)在区间[0,π2]上的最小值为− 2，
当cos(2x+π4)=−1，即2x+π4=π，所以x=3π8时f(x)min=− 2．
【解析】(1)首先利用辅助角公式将函数化简，再根据余弦函数的周期公式T=2π|ω|，可求函数f(x)的最小正周期，根据余弦函数的减区间求得函数f(x)的单调递减区间；
(2)根据余弦函数的定义域和值域，求得函数f(x)的最值．
本题考查了三角函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，2×(0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03)=1，
解得a=0.10，
因为2×(0.08+0.13+0.10)=0.62<0.7，2×(0.08+0.13+0.10+0.06)=0.74>0.7，
故70%分位数在[22,24)之间，
设为x，则0.62+0.06×(x−22)=0.7，
解得x=703．
故估计样本中女员工BMI值的中位数为703；
(2)由题意，样本中女员工BMI值的平均数为：
2×(17×0.08+19×0.13+21×0.10+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03)=21.64，
故估计该公司员工BMI值的平均数x=1100×(22×60+21.64×40)=21.856．
【解析】(1)根据频率直方图的矩形面积之和为1求解a的值，再根据百分位数的定义，求解70%分位数即可；
(2)先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员工BMI值的平均数即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为2bcosC=2a−c，由余弦定理可得2b⋅a2+b2−c22ab=2a−c，
整理可得：a2+c2−b2=ac，再由余弦定理可得a2+c2−b2=2accosB，
可得cosB=12，B∈(0,π)，
可得B=π3；
(2)设△ABC外接圆半径为2 63，设外接圆的半径为r，由正弦定理可得：bsinB=2r，
由(1)可得AC=b=2×2 63× 32=2 2，
D为AC的中点，可得AD=CD=12AC= 2，
在△ABC中，由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac=12，
可得a2+c2−b2=ac，可得(a+c)2=b2+3ac=8+3ac，①
而BD=2，
在△ADC中，由余弦定理可得cos∠ADC=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=2+4−AB22× 2×2=6−AB24 2，
在△BCD中，由余弦定理可得cos∠BDC=DC2+BD2−BC22DC⋅BD=2+4−BC22× 2×2=6−BC24 2，
又因为∠ADC，∠BDC互为补角，所以cos∠ADC+cos∠BDC=0，
所以6−AB2+6−BC2=0，
即a2+c2=12，所以(a+c)2=12+2ac②，
由①②可得a+c=2 5，
所以△ABC的周长为a+b+c=2 5+2 2．
【解析】(1)由题意及余弦定理可得B的余弦值，再由B的范围，可得B角的大小；
(2)由(1)和三角形的外接圆的半径可得b边的值，由余弦定理可得a，c的关系，再在△ADC，△BCD中，由余弦定理求出∠ADC，∠BDC的余弦表达式，再由这两个角互为补角，可得a，c的关系，进而求出a+c的值，进而求出三角形的周长．
本题考查三角形的正余弦定理的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)v=v0lnMm=2000×ln230≈2000×5.4=10800m/s；
(2)v1=v0lnMm=2000lnMm．v2=32v0lnM3m=3000lnM3m，
要使火箭的最大速度增加500m/s，
则v2−v1=3000lnM3m−2000lnMm=500，
即：6lnM3m−4lnMm=1，
∴ln(M3m)6−ln(Mm)4=2lnM27m=1，
即M27m=e12，∴Mm=27e12，
∵1.648
【解析】(1)代入公式v=v0⋅lnMm中直接计算即可，
(2)由题意得v1=v0lnMm=1000lnMm,v2=32v0lnM3m=1500lnM3m，则v2−v1=1500lnM3m−1000lnMm≥500，求出Mm的范围即可．
本题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：连接AC，BD，设AC∩BD=M，
因为AB//CD，CD=1，AB=2，
所以DMBM=12，
又因为PE=2ED，
所以DEPE=12，
所以EM//PB，
又因为EM⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB//平面ACE；
(2)过P作PF⊥AB于点F，则PF⊥底面ABCD，过F作FO⊥AD于点O，连接PO，
因为PA=PD，所以DF=AF，
又因为OF⊥AD，
所以O是AD中点，
∵BC=CD=1，∠BCD=π3，
∴△BCD是等边三角形．
∴∠ABD=60°，
又AB=2，BD=1，
∴AD= AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos60°= 3，
∴AD2+BD2=AB2，
∴AD⊥BD，
∴OF//BD，
∵O是AD中点，
∴F是AB的中点，
∴PO⊥AD，OF⊥AD，
∴∠FOP为二面角P−AD−B的平面角，
在△POF中，PO= ( 2)2−( 32)2= 52，OF=12BD=12，
PF= PA2−(AB2)2= 2−1=1，
所以cos∠FOP=( 52)2+(12)2−122× 52×12= 55．
所以二面角P−AD−B的余弦值为 55．
【解析】(1)连接AC，BD，设AC∩BD=M，连接EM，利用DMBM=DEPE=12，可得EM//PB，从而可证PB//平面ACE；
(2)过P作PF⊥AB于点F，则PF⊥底面ABCD，过F作FO⊥AD于点O，连接PO，可证F是AB的中点，利用二面角平面角的定义可知∠FOP为二面角P−AD−B的平面角，在△POF中，求出三条边长，利用余弦定理求cos∠FOP即可．
本题主要考查了线面平行的判断，以及二面角的求解，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=ax2+bx+c满足f(0)=1且f(x)=f(2a−x)，
可得c=1且−b2a=1a，即b=−2，
又f(1)=1，可得a+b+c=1，解得a=2，
则f(x)=2x2−2x+1；
(2)g(x)=log2(x−2 x+2)=log2[( x−1)2+1]，
当x∈[14,4]可得g(x)的最小值为g(1)=0，最大值为g(4)=1，
g(x3)−g(x4)的最大值为1−0=1，
所以对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1,t+1]，使得f(x1)−f(x2)≥1．
设f(x)=ax2−2x+1在[t−1,t+1]上最大值为M(t)，最小值为m(t)，
f(x)的对称轴为直线x=1a，
令h(t)=M(t)−m(t)，则对任意的实数t，h(t)≥1．
①当1a≤t−1时，f(x)在[t−1,t+1]上递增，可得M(t)=f(t+1)，m(t)=f(t−1)，
则h(t)=M(t)−m(t)=4at−4，此时h(t)≥4a(1a+1)−4=4a≥1，∴a≥14；
②当t−1<1a≤t时，M(t)=f(t+1)，m(t)=f(1a)=1−1a，
h(t)=M(t)−m(t)≥f(1a+1)−(1−1a)=a(1a+1)2−2(1+1a)+1−(1−1a)=a≥1，
∴a≥1．
③当t<1a
④当1a≥t+1时，f(x)在[t−1,t+1]递减，可得M(t)=f(t−1)，m(t)=f(t+1)，
则h(t)=M(t)−m(t)=−4at+4，
此时h(t)≥−4a(1a−1)+4=4a≥1，∴a≥14，
综上，a的取值范围是[1,+∞)．
【解析】(1)由题意可得c=1且−b2a=1a，a+b+c=1，解方程可得a，b，c，进而得到f(x)的解析式；
(2)求得g(x)在[14,4]的最值，可得g(x3)−g(x4)的最大值为1，由题意可得对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1,t+1]，使得f(x1)−f(x2)≥1.讨论f(x)的对称轴和区间[t−1,t+1]的关系，可得f(x)的最值，解不等式可得所求范围．
本题考查二次函数的解析式的求法，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力，属于难题．
2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数z=1−2i1+i(i是虚数单位)，则z−对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知平面向量a与b为单位向量，它们的夹角为π3，则|2a+b|=( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
3. 已知函数f(x)=1x,x>0x+2,x≤0，则方程f(x)−3|x|=0的解的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4. 函数y=sin(x+π3)sin(x+π2)的最小正周期是( )
A. π4 B. π2 C. π D. 2π
5. 下列不等式恒成立的是( )
A. ba+ab≥2 B. ab≥(a+b2)2 C. a+b≥2 |ab| D. a2+b2≥−2ab
6. 已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若a//α，β//α，则a//β B. 若α⊥β，a⊥β，则a//α
C. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//β D. 若a//α，b⊥α，则a⊥b
7. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是( )
A. r+hcosβ=rcos(α+β) B. hcosβ=rcos(α+β)
C. r+hsinβ=rsin(α+β) D. hsinβ=rsin(α+β)
8. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP//平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区城面积是( )
A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19(单位℃).则( )
A. 该组数据的平均数为1157 B. 该组数据的中位数为13
C. 该组数据的第70百分位数为16 D. 该组数据的极差为15
10. 把函数f(x)=sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A. 最小正周期为π B. 在区间[−π3,π6]上的最大值为 32
C. 图象的一个对称中心为(−π3,0) D. 图象的一条对称轴为直线x=π12
11. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=b(b+c)，则下列结论正确的有( )
A. A=2B
B. B的取值范围为(0,π4)
C. ab的取值范围为( 2, 3)
D. 1tanB−1tanA+2sinA的取值范围为(5 33,6)
12. 如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是( )
A. BF与AE异面
B. BF//平面ACD
C. 平面CDF⊥平面ABD
D. DE与平面ABD所成的角的正弦值是23
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n= ______ ．
14. 在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=2 3，∠C=90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______ ．
15. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为______．
16. 如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点.若OA=2，则该八边形的面积为______ ，OP⋅AB的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知函数f(x)=sin(−2x)+cos(−2x)，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在[0,π2]上的最小值及相应自变量的值．
18. (本小题12.0分)
5月11日是世界防治肥胖日.我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题.目前，国际上常用身体质量指数(BodyMassIndex，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.我国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<24为正常；24≤BMI<28为偏胖；BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；
(2)已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．
19. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcosC=2a−c．
(1)求角B；
(2)如图，若△ABC外接圆半径为2 63，D为AC的中点，且BD=2，求△ABC的周长．
20. (本小题12.0分)
近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v(单位：m/s).其中v0(单位m/s)是喷流相对速度，m(单位：kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(单位：kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：ln230≈5.4，1.648
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
21. (本小题12.0分)
如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD为梯形，AB//CD，PA=PD=PB，BC=CD=1，AB=2，∠BCD=π3，直线PA与底面ABCD所成角为π4．
(1)若E为PD上一点且PE=2ED，证明：PB//平面ACE；
(2)求二面角P−AD−B的余弦值．
22. (本小题12.0分)
设a为正数，函数f(x)=ax2+bx+c满足f(0)=1且f(x)=f(2a−x)．
(1)若f(1)=1，求f(x)；
(2)设g(x)=log2(x−2 x+2)，若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t−1,t+1]，使得f(x1)−f(x2)≥g(x3)−g(x4)对所有x3，x4∈[14,4]都成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为z=1−2i1+i=(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1−3i2=−12−32i，则z−=−12+32i，
因此，z−对应的点(−12,32)在第二象限．
故选：B．
利用复数的除法化简复数z，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵a⋅b=|a|⋅|b|cos
∴|2a+b|= |2a+b|2= 4|a|2+4a⋅b+|b|2= 4+2+1= 7．
故选：D．
由向量数量积定义可得a⋅b，根据向量数量积的运算律可由|2a+b|= |2a+b|2求得结果．
本题主要考查平面向量的数量积的运算，向量的模的计算等知识，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：令f(x)−3|x|=0，得f(x)=3|x|，
则方程f(x)−3|x|=0的解的个数即函数y=f(x)与函数y=3|x|的图象的交点的个数．
作出函数y=f(x)与函数y=3|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程的解的个数为2个．
故选：C．
令y=3|x|，则方程f(x)−3|x|=0的解的个数即函数y=f(x)与函数y=3|x|的图象的交点的个数．作出函数与函数的图象，即可得到两个函数图象的交点的个数．
本题考查了方程的解的个数，也考查了转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的关键，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵函数y=sin(x+π3)sin(x+π2)=(12sinx+ 32cosx)⋅cosx=12sinxcosx+ 32cos2x
=14sin2x+ 32⋅1+cos2x2=12sin(2x+π3)+ 34，
∴函数的最小正周期是2π2=π，
故选：C．
由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：对于A：a，b异号是显然不成立，∴A不正确；
对于B：a，b异号是显然不成立，∴B不正确；
对于C：a，b均小于0时，显然不成立，∴C不正确；
对于D：∵(a+b)2≥0(a,b∈R)，∴a2+b2≥−2ab (a,b∈R)，∴D正确；
故选：D．
利用a，b异号可判断A，B不成立，a，b均小于0可判断C，利用(a+b)2≥0可判断D．
本题主要考查了基本不等式的成立条件的检验，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：对于A：若a//α，β//α，则a//β或a⊂β，故A错误；
对于B：若α⊥β，a⊥β，则a//α或a⊂α，故B错误；
对于C：若α⊥γ，β⊥γ，则α//β或α与β相交；故C错误；
对于D：若a//α，则过a作平面δ，δ∩α=m，则a//m，由b⊥α，则b⊥m，则a⊥b，故D正确．
故选：D．
对于A：由已知可得a//β或a⊂β，可判断A；对于B：由已知可得a//α或a⊂α，可判断B；由已知可得α//β或α与β相交，可判断B；过a作平面δ，δ∩α=m，可得a⊥b.可判断D．
本题考查线面的位置关系，属基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查求正弦定理，诱导公式，属于中档题．
由题意画出图形，再利用正弦定理求解，结合诱导公式化简即可．
【解答】
解：如图所示，∠B=π2−α−β，
由正弦定理可得OAsinB=OBsin∠OAB，
即rsin(π2−α−β)=r+hsin(π2+β)，
化简得rcos(α+β)=r+hcosβ，
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，E，F，G，H，N分别为B1C1，C1D1，DD1，DA，AB的中点，
则EF//B1D1//NH，MN//B1A//FG，
∴平面MEFGHN//平面AB1D1，
∴动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部．
∵正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，
∴EF=FG=GH=HN=NM=ME= 2，
即六边形EFGHNM是边长为 2的正六边形，
则其面积S=6×12× 2× 2× 32=3 3．
故选：C．
分别取B1C1、C1D1、DD1、DA、AB的中点E、F、G、H、N，根据题意可得点P的轨迹为正六边形MEFGHN，由此求得该正六边形MEFGHN的面积即可．
本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，
对于A，该组数据的中位数为23+25+13+10+13+12+197=1157，故A正确；
对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；
对于C，由7×70%=4.9，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；
对于D，该组数据的极差为25−10=15，故D 正确．
故选：ABD．
根据平均数、中位数、百分位数和极差的定义判断即可．
本题主要考查了平均数、中位数、百分位数和极差的计算，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：f(x)=sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=sin(2x+π3)的图象；
所以函数的最小正周期为π，
当x=π12时，函数取得最大值1．
故选：AD．
首先利用平移变换和伸缩变换的应用求出函数g(x)的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为a2=b(b+c)，又由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，
即b(b+c)=b2+c2−2bccosA，
所以bc=c2−2bccosA，所以b=c−2bcosA，即c−b=2bcosA，
由正弦定理可得sinC−sinB=2sinBcosA，
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinAcosB+cosAsinB−sinB=2sinBcosA，即sinAcosB−sinB=sinBcosA，
∴sinAcosB−cosAsinB=sin(A−B)=sinB，
∵A，B，C为锐角，
∴A−B=B，即A=2B，故选项A正确；
∵0<2B<π20<π−3B<π2，∴π6
∵1tanB−1tanA+2sinA=sin(A−B)sinBsinA+2sinA=sin(2B−B)sinBsinA+2sinA=1sinA+2sinA，
又π3
又f( 32)=1 32+2× 32=5 33,f(1)=11+2×1=3，
∴1tanB−1tanA+2sinA=1sinA+2sinA∈(5 33,3)，故选项D错误．
故选：AC．
由余弦定理可得c−b=2bcosA，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得A=2B，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D．
本题考查了三角函数中的几何计算，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由展开图还原正方体如下图所示，其中B，D分别为NP，AM中点，
对于A，∵AE⋂平面EFPN=E，BF⊂平面EFPN，E∉BF，
∴AE与BF为异面直线，A正确；
对于B，连接BD，DG，
∵B，D分别为AM，NP中点，∴BD//AP，BD=AP，
又AP//FG，AP=FG，∴BD//FG，BD=FG，∴四边形BDGF为平行四边形，
∴BF//DG，又BF⊄平面ACD，DG⊂平面ACD，∴BF//平面ACD，B正确；
对于C，假设平面CDF⊥平面ABD成立，
∵AG⊥平面ABD，AG⊄平面ABD，∴AG//平面CDF，
∵AG⊂平面AGCM，平面AGCM⋂平面CDF=CD，∴AG//CD，显然不成立，
∴假设错误，平面CDF与平面ABD不垂直，C错误；
对于D，连接DN，
直线DE与平面ABD所成角即为直线DE与平面AMNP所成角，
∵EN⊥平面AMNP，∴∠EDN即为直线DE与平面AMNP所成角，
设正方体棱长为2，
∵DE= EN2+DN2= EN2+MN2+(12AM)2= 4+4+1=3，
∴sin∠EDN=NEDE=23，即直线DE与平面ABD所成角的正弦值为23，D正确．
故选：ABD．
由展开图还原得到正方体，根据异面直线定义可知A正确；利用平行四边形证得BF//DG，由线面平行判定可知B正确；假设两平面垂直，可知AG//平面CDF，由线面平行性质得AG//CD，可知假设错误，即C错误；由线面角定义可知所求角为∠EDN，由长度关系可求得D正确．
本题主要考查异面直线的判定，线面平行的证明，面面垂直的证明，线面角的计算等知识，属于中等题．
13.【答案】1000
【解析】解：树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，
并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，
已知参赛学生中男生比女生多10人，
按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，
则参赛学生中男生人数为550×110=55人，
参赛学生中女生人数为55−10=45人，
∴n=(55+45)×10=1000．
故答案为：1000．
参赛学生中男生人数为550×110=55人，从而参赛学生中女生人数为55−10=45人，由此能求出n．
本题考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】8
【解析】解：如图，圆锥任意两条母线为AB，AD，则截面为等腰△ABD，
∴截面面积为S△ABD=12× AB×AD×sin∠BAD，
由图可知当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，
∴∠BAD∈(0°,120°)，∴sin∠BAD最大值为1，
∵AB=AD= AC2+BC2= 4+12=4为定值，
∴当sin∠BAD最大时截面面积最大，
∴截面面积最大为12×42×1=8．
故答案为：8．
设两条母线为AB，AD，则截面面积为12× AB×AD×sin∠BAD，由AB=AD为定值可知当sin∠BAD最大时，截面面积最大，结合图形求出∠BAD的范围即可求解．
本题考查圆锥的结构特征、母线、截面面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】 2
【解析】解：设上下底面互相平行的两对角线分别为DC，AB，则由球O的表面积为8π，可得球O的半径R= 2，
又正四棱台的上下底面边长分别是1和2，故DC= 2，AB=2 2，
所以球O的球心正好在AB中点，故OA=OB=OC=OD= 2，所以△ODC是正三角形，故∠ODC=∠DOC=60°，所以△ODA是正三角形，
故此正四棱台的侧棱长AD=OA= 2．
故答案为： 2．
根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可．
本题考查棱台的结构特征和棱台的外接球，属于基础题．
16.【答案】8 2 −2 2
【解析】解：在正八边形ABCDEFGH中，
OB=OA=2,∠AOB=π4
所以正八边形ABCDEFGH的面积为8S△AOB=8×12×2×2sinπ4=8 2；
因为AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcosπ4=8−4 2，
所以AB= 8−4 2，又cos3π4=2cos23π8−1=− 22，所以cos3π8= 2− 22，
所以OA⋅AB=2× 8−4 2×cos(π−3π8)=2 2−4，因为OP⋅AB=(OA+AP)⋅AB=OA⋅AB+AP⋅AB，
因为OP⋅AB=(OA+AP)⋅AB=OOA⋅AB+AP⋅AB，又OA⋅AB为定值，所以OP⋅AB取最小值时，即AP⋅AB取最小值，
又设〈AP,AB〉=θ，
所以AP⋅AB=|AB|⋅|AP|cosθ，所以AP⋅AB取最小值时，即|AP|cosθ取最小值，
又|AP|cosθ表示向量AP在向量AB上的投影，故|AP|cosθ取最小值时，
点P不可能在路径BCDE上(在此路径上θ为锐角)，所以点P在路径EFGHAB上，
延长BA与GH，延长线交于M点，
则AMH为等腰直角三角形，且MA=MH= 2 2−2，
所以BM= 2 2−2+ 8−4 2，
所以当点P在GH上时，向量AP1在向量AB上的投影最小，即|AP|cosθ最小，
即|AP|cosθ=−|AM|=− 2 2−2，
所以(AP⋅AB)min= 8−4 2×(− 2 2−2)=4−4 2，
所以(OP⋅AB)min=2 2−4+4−4 2=−2 2．
故答案为：8 2；−2 2．
根据正八边形ABCDEFGH的面积为8S△AOB，根据三角形的面积公式求出△AOB的面积即可；根据OP⋅AB=(OA+AP)⋅AB=OA⋅AB+AP⋅AB，求出OA⋅AB，则要求PP⋅AB的最小值，只要求出OP⋅AB的最小值即可．
本题考查向量的数量积运算，考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=cos2x−sin2x= 2cos(2x+π4)，
由题意得：T=2π|ω|−2π2=π，即最小正周期为π；
由2kπ⩽2x+π4⩽π+2kπ,k∈Z，
解得：−π8+kπ⩽x⩽3π8+kπ,k∈Z，
故函数f(x)的单调递减区间为[−π8+kπ,3π8+kπ](k∈Z)；
(2)由x∈[0,π2]得2x+π4∈[π4,5π4]，
∴cos(2x+π4)∈[−1, 22]，
∴f(x)在区间[0,π2]上的最小值为− 2，
当cos(2x+π4)=−1，即2x+π4=π，所以x=3π8时f(x)min=− 2．
【解析】(1)首先利用辅助角公式将函数化简，再根据余弦函数的周期公式T=2π|ω|，可求函数f(x)的最小正周期，根据余弦函数的减区间求得函数f(x)的单调递减区间；
(2)根据余弦函数的定义域和值域，求得函数f(x)的最值．
本题考查了三角函数的性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，2×(0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03)=1，
解得a=0.10，
因为2×(0.08+0.13+0.10)=0.62<0.7，2×(0.08+0.13+0.10+0.06)=0.74>0.7，
故70%分位数在[22,24)之间，
设为x，则0.62+0.06×(x−22)=0.7，
解得x=703．
故估计样本中女员工BMI值的中位数为703；
(2)由题意，样本中女员工BMI值的平均数为：
2×(17×0.08+19×0.13+21×0.10+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03)=21.64，
故估计该公司员工BMI值的平均数x=1100×(22×60+21.64×40)=21.856．
【解析】(1)根据频率直方图的矩形面积之和为1求解a的值，再根据百分位数的定义，求解70%分位数即可；
(2)先根据频率分布直方图计算女员工的平均BMI值，再求解该公司员工BMI值的平均数即可．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为2bcosC=2a−c，由余弦定理可得2b⋅a2+b2−c22ab=2a−c，
整理可得：a2+c2−b2=ac，再由余弦定理可得a2+c2−b2=2accosB，
可得cosB=12，B∈(0,π)，
可得B=π3；
(2)设△ABC外接圆半径为2 63，设外接圆的半径为r，由正弦定理可得：bsinB=2r，
由(1)可得AC=b=2×2 63× 32=2 2，
D为AC的中点，可得AD=CD=12AC= 2，
在△ABC中，由余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac=12，
可得a2+c2−b2=ac，可得(a+c)2=b2+3ac=8+3ac，①
而BD=2，
在△ADC中，由余弦定理可得cos∠ADC=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=2+4−AB22× 2×2=6−AB24 2，
在△BCD中，由余弦定理可得cos∠BDC=DC2+BD2−BC22DC⋅BD=2+4−BC22× 2×2=6−BC24 2，
又因为∠ADC，∠BDC互为补角，所以cos∠ADC+cos∠BDC=0，
所以6−AB2+6−BC2=0，
即a2+c2=12，所以(a+c)2=12+2ac②，
由①②可得a+c=2 5，
所以△ABC的周长为a+b+c=2 5+2 2．
【解析】(1)由题意及余弦定理可得B的余弦值，再由B的范围，可得B角的大小；
(2)由(1)和三角形的外接圆的半径可得b边的值，由余弦定理可得a，c的关系，再在△ADC，△BCD中，由余弦定理求出∠ADC，∠BDC的余弦表达式，再由这两个角互为补角，可得a，c的关系，进而求出a+c的值，进而求出三角形的周长．
本题考查三角形的正余弦定理的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)v=v0lnMm=2000×ln230≈2000×5.4=10800m/s；
(2)v1=v0lnMm=2000lnMm．v2=32v0lnM3m=3000lnM3m，
要使火箭的最大速度增加500m/s，
则v2−v1=3000lnM3m−2000lnMm=500，
即：6lnM3m−4lnMm=1，
∴ln(M3m)6−ln(Mm)4=2lnM27m=1，
即M27m=e12，∴Mm=27e12，
∵1.648
【解析】(1)代入公式v=v0⋅lnMm中直接计算即可，
(2)由题意得v1=v0lnMm=1000lnMm,v2=32v0lnM3m=1500lnM3m，则v2−v1=1500lnM3m−1000lnMm≥500，求出Mm的范围即可．
本题考查了函数的实际运用，考查运算求解能力，解题的关键是正确理解题意，列出不等式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：连接AC，BD，设AC∩BD=M，
因为AB//CD，CD=1，AB=2，
所以DMBM=12，
又因为PE=2ED，
所以DEPE=12，
所以EM//PB，
又因为EM⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，
所以PB//平面ACE；
(2)过P作PF⊥AB于点F，则PF⊥底面ABCD，过F作FO⊥AD于点O，连接PO，
因为PA=PD，所以DF=AF，
又因为OF⊥AD，
所以O是AD中点，
∵BC=CD=1，∠BCD=π3，
∴△BCD是等边三角形．
∴∠ABD=60°，
又AB=2，BD=1，
∴AD= AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos60°= 3，
∴AD2+BD2=AB2，
∴AD⊥BD，
∴OF//BD，
∵O是AD中点，
∴F是AB的中点，
∴PO⊥AD，OF⊥AD，
∴∠FOP为二面角P−AD−B的平面角，
在△POF中，PO= ( 2)2−( 32)2= 52，OF=12BD=12，
PF= PA2−(AB2)2= 2−1=1，
所以cos∠FOP=( 52)2+(12)2−122× 52×12= 55．
所以二面角P−AD−B的余弦值为 55．
【解析】(1)连接AC，BD，设AC∩BD=M，连接EM，利用DMBM=DEPE=12，可得EM//PB，从而可证PB//平面ACE；
(2)过P作PF⊥AB于点F，则PF⊥底面ABCD，过F作FO⊥AD于点O，连接PO，可证F是AB的中点，利用二面角平面角的定义可知∠FOP为二面角P−AD−B的平面角，在△POF中，求出三条边长，利用余弦定理求cos∠FOP即可．
本题主要考查了线面平行的判断，以及二面角的求解，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数f(x)=ax2+bx+c满足f(0)=1且f(x)=f(2a−x)，
可得c=1且−b2a=1a，即b=−2，
又f(1)=1，可得a+b+c=1，解得a=2，
则f(x)=2x2−2x+1；
(2)g(x)=log2(x−2 x+2)=log2[( x−1)2+1]，
当x∈[14,4]可得g(x)的最小值为g(1)=0，最大值为g(4)=1，
g(x3)−g(x4)的最大值为1−0=1，
所以对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1,t+1]，使得f(x1)−f(x2)≥1．
设f(x)=ax2−2x+1在[t−1,t+1]上最大值为M(t)，最小值为m(t)，
f(x)的对称轴为直线x=1a，
令h(t)=M(t)−m(t)，则对任意的实数t，h(t)≥1．
①当1a≤t−1时，f(x)在[t−1,t+1]上递增，可得M(t)=f(t+1)，m(t)=f(t−1)，
则h(t)=M(t)−m(t)=4at−4，此时h(t)≥4a(1a+1)−4=4a≥1，∴a≥14；
②当t−1<1a≤t时，M(t)=f(t+1)，m(t)=f(1a)=1−1a，
h(t)=M(t)−m(t)≥f(1a+1)−(1−1a)=a(1a+1)2−2(1+1a)+1−(1−1a)=a≥1，
∴a≥1．
③当t<1a
④当1a≥t+1时，f(x)在[t−1,t+1]递减，可得M(t)=f(t−1)，m(t)=f(t+1)，
则h(t)=M(t)−m(t)=−4at+4，
此时h(t)≥−4a(1a−1)+4=4a≥1，∴a≥14，
综上，a的取值范围是[1,+∞)．
【解析】(1)由题意可得c=1且−b2a=1a，a+b+c=1，解方程可得a，b，c，进而得到f(x)的解析式；
(2)求得g(x)在[14,4]的最值，可得g(x3)−g(x4)的最大值为1，由题意可得对任意的实数t，总存在x1，x2∈[t−1,t+1]，使得f(x1)−f(x2)≥1.讨论f(x)的对称轴和区间[t−1,t+1]的关系，可得f(x)的最值，解不等式可得所求范围．
本题考查二次函数的解析式的求法，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力，属于难题．
相关试卷
广州六中、二中、广雅、省实、执信五校2022-2023学年高一下学学期期末联考数学试题及解析： 这是一份广州六中、二中、广雅、省实、执信五校2022-2023学年高一下学学期期末联考数学试题及解析，共23页。
广东省实执信广雅二中等五校联考2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷： 这是一份广东省实执信广雅二中等五校联考2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷，共4页。
广东省广州市省实，执信，广雅，二中，六中五校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题： 这是一份广东省广州市省实，执信，广雅，二中，六中五校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题，文件包含精品解析广东省广州市省实执信广雅二中六中五校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题解析版docx、精品解析广东省广州市省实执信广雅二中六中五校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
