2022-2023学年安徽省安庆市九一六学校高一（下）第三次调研数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省安庆市九一六学校高一（下）第三次调研数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省安庆市九一六学校高一（下）第三次调研数学试卷
一、选择题（本题共12小题，共60分）
1. 已知z=(2+3i)(4i-7)(i为虚数单位)，则z的虚部为(    )
A. -13 B. 13 C. -26 D. 26
2. 欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数e3i在复平面内对应的点所在的象限为(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 设a∈R,z=2+aii，则“a>1”是“|z|> 5”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若向量a=(x,2)，b=(2,3)，c=(2,-4)，且a//c，则a在b上的投影向量为(    )
A. (813,1213) B. (-813,1213) C. (8,12) D. 4 1313
5. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在线段BD上，且EB=3DE，若AE=λAD+μAC(λ,μ∈R)，则(    )

A. λ=12μ B. λ=2μ C. λ=3μ D. λ=13μ
6. 在△ABC中，若sin2B+sin2C=sin2A，则△ABC的形状为(    )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是(    )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2
C. 若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解
D. 若三角形ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是边AB上一点，CD平分∠ACB，且CD= 3，若acosB+bcosA=2ccosC，则2a+b的最小值是(    )
A. 4+2 2 B. 6 C. 3+2 2 D. 4
9. 已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(    )
A. i+i2+i3+i4=0 B. 复数-2-i的虚部为-i
C. 若复数z为纯虚数，则|z|2=z2 D. |z1⋅z2|=|z1||z2|
10. 设i为虚数单位，若(1+i)n=(1-i)n，则n可以是(    )
A. 2020 B. 2022 C. 2024 D. 2026
11. 已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m)，若∠ABC为锐角，则实数m可能的取值是(    )
A. -1 B. 0 C. 12 D. 1
12. 在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是(    )
A. AB+AC-AD=0
B. DA+EB+FC=0
C. 若AB|AB|+AC|AC|= 3AD|AD|，则BD是AB在BC的投影向量
D. 若点P是线段AD上的动点(不与A、D重合)，且BP=λBA+μBC，则λμ的最大值为18
二、填空题（本题共4小题，共20分）
13. 已知m为实数，并且1+mi2-i+12的实部与虚部相等，则m= ______ ．
14. 已知复数z1=a+2i，z2-=3+4i，且z1z2为纯虚数，则实数a= ______ ．
15. 已知空间向量a，b满足|a|=2，|b|=3，且a，b的夹角为π3，若(2a-b)⊥(λa+2b)，则实数λ等于______ ．
16. 如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，则OP=xOA+yOB，若AP=3PB，|OA|=4，|OB|=2，且OA与OB的夹角为60°，则OP⋅AB的值为______ ．




三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 求实数m的值，使复数(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i分别是：
(Ⅰ)实数；
(Ⅱ)纯虚数．
18. 已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为2π3．
(1)求|a+b|；
(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)？
19. 一艘海轮从A出发，沿北偏东70°的方向航行( 3-1)nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东10°的方向航行2nmile到达海岛C．
(1)求AC的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行？

20. 已知向量m=(sinx,1),n=( 3cosx,12cos2x)，函数f(x)=m⋅n．
(1)求函数f(x)的最大值及相应自变量的取值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=12,a=2，求b+c的取值范围．
21. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(cosB+cosC)+(b+c)cos(B+C)=0．
(1)求A；
(2)若D为线段BC延长线上的一点，且BA⊥AD，BD=3CD，求sin∠ACD．
22. 已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,c=a(cosB+12sinB)．
(1)求sinA；
(2)若△ABC的面积为1，且_____(在下面两个条件中任选一个)，求△ABC的周长．
①a=2；②a=2c．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：z=(2+3i)(4i-7)=8i-14-12-21i=-26-13i，
则z的虚部为-13．
故选：A．
将复数z化简，再结合虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．

2.【答案】B 
【解析】解：由题意可得：e3i=cos3+i⋅sin3对应的点为(cos3,sin3)，
∵3∈(π2,π)，则cos3<0，sin3>0，
故(cos3,sin3)位于第二象限．
故选：B．
根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：因为z=2i-ai2=a-2i，所以|z|= a2+4．
令|z|> 5，解得a>1或a<-1，
故“a>1”是“|z|> 5”的充分不必要条件．
故选：A．
化简z，求出|z|，由|z|> 5求得a的取值范围，由充分必要条件的定义即可得解．
本题主要考查充分必要条件的判断，复数的运算，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题．

4.【答案】A 
【解析】解：因为a//c，
所以x2=2-4，解得x=-1，
所以a=(-1,2)，
又b=(2,3)，
所以b|b|=1 13(2,3)，
cos=a⋅b|a||b|=-2+6 5× 13=4 65，
所以a在b上的投影向量为|a|cos⋅b|b|= 5×4 65×1 13(2,3)=413(2,3)=(813,1213).
故选：A．
根据投影向量的定义进行计算．
本题考查了向量的运算，投影向量，属于基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：在平行四边形ABCD中，EB=3DE，
则DE=12DO=12(AO-AD)，
∵AO=12AC，
∴AE=AD+DE=AD+12(12AC-AD)=14AC+12AD，
AE=λAD+μAC(λ,μ∈R)，
则λ=12，μ=14，
故λ=2μ．
故选：B．
根据已知条件，结合平面向量的基本定理，即可求解．
本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：由二倍角公式可得2sinBcosB+2sinCcosC=2sinAcosA，
由正弦定理可得bcosB+ccosC=acosA，
由余弦定理边角互化可得：ba2+c2-b22ac+cb2+a2-c22ab=ab2+c2-a22bc，
化简得b4+c4-2b2c2=a4⇒(b2-c2)2=a4⇒b2-c2=±a2，
因此b2=c2+a2或c2=b2+a2，故△ABC为直角三角形，
故选：B．
根据二倍角公式以及正余弦定理边角互化即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，正弦定理及余弦定理在三角形形状判断中的应用，属于基础题．

7.【答案】ACD 
【解析】解：对于A：在△ABC中，若A>B，则a>b，
由正弦定理可得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，故A正确；
对于B：若△ABC为钝角三角形，假设C为钝角，
由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab<0，即a2+b2 对于C：bsinA=4sin30°=2，则bsinA
∴△ABC有两解，故C正确；
对于D：∵tan(B+C)=tanB+tanC1-tanBtanC，
∴tanB+tanC=tan(B+C)(1-tanBtanC)
在△ABC中，tan(B+C)=tan(π-A)=-tanA，
∴tanB+tanC=tanAtanBtanC-tanA，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故D正确，
故选：ACD．
利用正弦定理、余弦定理，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

8.【答案】C 
【解析】解：由acosB+bcosA=2ccosC，
则sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sin(A+B)=sinC=2sinCcosC，
又sinC>0，
则cosC=12，
又0 则C=π3，
又CD平分∠ACB，且CD= 3，
则∠ACD=∠BCD=π6，
又S△ABC=S△ACD+S△BCD，
则12absinπ3=12× 3×asinπ6+12× 3bsinπ6，
即ab=a+b，
则1a+1b=1，
则2a+b=(1a+1b)(2a+b)=3+2ab+ba≥3+2 2ab×ba=3+2 2，当且仅当2ab=ba时取等号，
即2a+b的最小值是3+2 2，
故选：C．
由正弦定理，结合三角形的面积公式及基本不等式求解即可．
本题考查了正弦定理，重点考查了三角形的面积公式及基本不等式，属基础题．

9.【答案】AD 
【解析】解：因为i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0，A正确；
复数-2-i的虚部为-1，B不正确；
若z=i，则z2=-1，|z|2=1，C不正确；
设z1=a+bi，z2=c+di，所以z1z2=ac-bd+(ad+bc)i，
|z1z2|= (ac-bd)2+(ad+bc)2= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= a2+b2⋅ c2+d2=|z1||z2|，D正确．
故选：AD．
根据复数的运算可得A，C，D的正误，根据复数虚部的概念可知B的正误．
本题主要考查了复数的概念及性质，属于基础题．

10.【答案】AC 
【解析】解：∵(1+i)2=1+2i-1=2i，(1-i)2=1-2i-1=-2i，
又(1+i)n=(1-i)n，
∴(1+i)n=[(1+i)2]n2=(2i)n2，(1-i)n=[(1-i)2]n2=(-2i)n2，
∴(2i)n2=(-2i)n2，
∴当n2为偶数时，(1+i)n=(1-i)n．
故选：AC．
利用(1+i)2=1+2i-1=2i，(1-i)2=1-2i-1=-2i，将(1+i)n=(1-i)n变形得到(2i)n2=(-2i)n2，从而得到n满足的条件．
本题考查了复数的运算，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．

11.【答案】BD 
【解析】解：因为OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m)，
所以BA=OA-OB=(-3,-1),BC=OC-OB=(-1-m,-m)．
因为∠ABC为锐角，
所以BA⋅BC=(-3,-1)⋅(-1-m,-m)=3+3m+m>0，解得m>-34．
当BA//BC时，(-3)×(-m)-(-1-m)×(-1)=0，解得m=12．
当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是(-34,12)∪(12,+∞)．
所以实数m可能的取值是0，1．
故选：BD．
利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标表示，结合向量共线的条件即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．

12.【答案】BCD 
【解析】解：如图所示：

对于A，∵D是BC的中点，∴AB+AC=2AD，
∴AB+AC-AD=2AD-AD=AD≠0，故A选项错误；
对于B，∵E，F分别是边BC，AC，AB中点，
∴BE=12(BA+BC)，CF=12(CA+CB)，
∴DA+EB+FC=-12(AB+AC)-12(BA+BC)-12(CA+CB)
=-12AB-12AC+12AB-12BC+12AC+12BC=0，故B选项正确；
对于C，AB|AB|，AC|AC|，AD|AD|分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，
∴AB|AB|+AC|AC|表示∠BAC的平分线的向量．
∵AB|AB|+AC|AC|= 3AD|AD|，∴AD为∠BAC的平分线，
又∵AD为BC的中线，∴AD⊥BC，如图所示：

BA在BC的投影为|BA|cosB=|BA|×|BD||BA|=|BD|，
∴BD是BA在BC的投影向量，故C选项正确；
对于D，如图所示：

∵P在AD上，设BP=tBA+(1-t)BD，0 又∵BD=12BC，∴BP=tBA+(1-t)2BC，
∵BP=λBA+μBC，则λ=t，μ=1-t2，
令y=λμ=t×1-t2=-12(t-12)2+18，0≤t≤1，
当t=12时，λμ取得最大值为18，故D选项正确．
故选：BCD．
对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确．对选项C，首先根据已知得到AD为∠BAC的平分线，即AD⊥BC，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确．对选项D，首先根据A，P，D三点共线，设BP=tBA+(1-t)BD，0 本题主要考查投影向量，向量的线性运算，平面向量的基本定理，考查运算求解能力，属于中档题．

13.【答案】76 
【解析】解：1+mi2-i+12=(1+mi)(2+i)(2-i)(2+i)+12=2-m+(2m+1)i5+12=9-2m10+2m+15i，
∵1+mi2-i+12的实部与虚部相等，
∴9-2m10=2m+15，解得m=76．
故答案为：76．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，属于基础题．

14.【答案】83 
【解析】解：由z2-=3+4i可得z2=3-4i，
∵z1=a+2i，
∴z1z2=a+2i3-4i=(a+2i)(3+4i)(3-4i)(3+4i)=3a-8+(6+4a)i25=3a-825+6+4a25i，
∵z1z2为纯虚数，
∴3a-825=06+4a25≠0，即a=83．
故答案为：83．
利用共轭复数的定义先得到z2=3-4i，化简z1z2，然后利用纯虚数的定义即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．

15.【答案】65 
【解析】解：(2a-b)⊥(λa+2b)，
则(2a-b)⋅(λa+2b)=0，即2λa2+4a⋅b-λa⋅b-2b2=0，
∵空间向量a，b满足|a|=2，|b|=3，
∴a2=4,b2=9,a⋅b=|a|⋅|b|cosπ3=3，
∴8λ+(4-λ)×3-2×9=0，λ=65．
故答案为：65．
运用平面向量数量积乘法分配律计算．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．

16.【答案】-3 
【解析】解：因为AP=3PB，所以AP=34AB=34(OB-OA)，
所以OP⋅AB=(OA+AP)⋅(OB-OA)=(14OA+34OB)⋅(OB-OA)
=-14OA2+34OB2-12OA⋅OB=-14×16+34×4-12×4×2×cos60°=-3，
即OP⋅AB=-3，
故答案为：-3．
利用向量线性运算及平面向量基本定理，用OB,OA表示OP与AB，然后利用数量积的运算律求解即可．
本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．

17.【答案】解：由m2-2m-3=0，得m=-1或m=3；
由m2-3m-4=0，解得m=-1或m=4．
(I)若复数(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为实数，则m2-3m-4=0，即m=-1或m=4；
(Ⅱ)若复数(m2-2m-3)+(m2-3m-4)i为纯虚数，则m2-2m-3=0且m2-3m-4≠0，即m=3； 
【解析】分别由实部和虚部为0求得m值，然后逐一结合复数为实数、纯虚数可得具体m值．
本题考查复数的基本概念，是基础的计算题．

18.【答案】解：(1)∵a⋅b=|a|⋅|b|cos=32cos2π3=-16，
∴|a+b|2=|a|2+2a⋅b+|b|2=16-32+64=48，
∴|a+b|=4 3．
(2)(a+2b)⊥(ka-b)，
则(a+2b)⋅(ka-b)=k|a|2+(2k-1)a⋅b-2|b|2=16k-16(2k-1)-128=0，解得k=-7． 
【解析】(1)根据向量数量积定义和运算律可求得|a+b|2，进而得到|a+b|；
(2)由向量垂直可得(a+2b)⋅(ka-b)=0，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果．
本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于中档题．

19.【答案】解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC=180°-70°+10°=120°，AB= 3-1，BC=2，
根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=( 3-1)2+22+( 3-1)×2=6，
所以AC= 6．
(2)根据正弦定理BCsin∠CAB=ACsin∠ABC得，sin∠BAC=BC⋅sin∠ABCAC=2× 32 6= 22，
所以∠CAB=45°，可得航行直接从A出发到达C，应沿北偏东70°-45°=25°的方向航行． 
【解析】(1)由题意，结合图形知，在△ABC中，∠ABC=120°，AB= 3-1，BC=2，可由余弦定理求出边AC的长度．
(2)在△ABC中由正弦定理计算可求sin∠BAC的值，进而可求∠CAB=45°，即可得解．
本题是解三角形在实际问题中的应用，考查了正弦定理、余弦定理，方位角等知识，解题的关键是将实际问题中的距离、角等条件转化到一个三角形中，正弦定理与余弦定理求角与边，解三角形在实际测量问题-遥测中有着较为广泛的应用，此类问题求解的重点是将已知的条件转化到一个三角形中方便利用解三角形的相关公式与定理，本题考查了转化的思想，方程的思想．

20.【答案】解：(1)由题知，f(x)=m⋅n= 3sinxcosx+12cos2x= 32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，
所以当2x+π6=π2+2kπ,k∈Z，
即x=π6+kπ,k∈Z时，f(x)最大，且f(x)最大值为1；
(2)由(1)知，f(x)=sin(2x+π6)，
则f(A)=sin(2A+π6)=12，
解得A=kπ，k∈Z或π3+kπ,k∈Z，
所以△ABC中，A=π3，又a=2，
则cosA=b2+c2-a22bc=12，
整理得bc=(b+c)2-43，
则bc=(b+c)2-43≤(b+c2)2，
当且仅当b=c时，等号成立，
整理可得(b+c)2≤16，
又在△ABC中，所以2 即b+c的取值范围为(2,4]． 
【解析】(1)利用向量坐标运算，二倍角公式和辅助角公式表示出f(x)，即可求出其最大值以及相应自变量的取值；
(2)结合(1)中的f(x)，求出A=π3，再利用余弦定理和基本不等式变形即可求出结果．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题．

21.【答案】解：(1)由已知得a(cosB+cosC)=(b+c)cosA，
由正弦定理，得sinA(cosB+cosC)=(sinB+sinC)cosA，
则sinAcosB-cosAsinB=sinCcosA-cosCsinA，
即sin(A-B)=sin(C-A)，
所以C-B=π(舍去)或B+C=2A，
故π-A=2A，
所以A=π3．
(2)设∠ACB=θ，
在△ACD中，
由正弦定理，得CDsinπ6=ACsin(θ-π6)①，
在△ABC中，
由正弦定理，得BCsinπ3=ACsin(θ+π3)②，
所以sin(θ+π3)sin(θ-π6)= 32，
所以12sinθ+ 32cosθ 32sinθ-12cosθ=12tanθ+ 32 32tanθ-12= 32，解得tanθ=sinθcosθ=3 3，
又sin2θ+cos2θ=1，
所以sinθ=3 2114，即sin∠ACD=3 2114． 
【解析】(1)由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得sin(A-B)=sin(C-A)，可得B+C=2A，利用三角形内角和定理即可求解A的值．
(2)设∠ACB=θ，在△ACD，△ABC中，由正弦定理，得sin(θ+π3)sin(θ-π6)= 32，利用三角函数恒等变换的应用可求sinθ的值，进而可求sin∠ACD的值．
本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

22.【答案】解：(1)由c=a(cosB+12sinB)及正弦定理得sinC=sin(A+B)=sinA(cosB+12sinB)，
整理得cosAsinB=12sinAsinB，
因为0 所以cosA=12sinA，
∴1-sin2A=14sin2A,sin2A=45，
因为在锐角△ABC中，00，
所以sinA=2 55；
(2)若选①：由△ABC的面积为1，得12bcsinA=12bc⋅2 55=1，所以bc= 5，
在锐角△ABC中，由sinA=2 55，得cosA= 1-sin2A= 55，
由余弦定理得a2=4=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=(b+c)2-2 5-2 5× 55=(b+c)2-2 5-2，
所以(b+c)2=6+2 5,b+c=1+ 5，
所以a+b+c=3+ 5，即△ABC的周长为3+ 5．
若选②：由△ABC的面积为1，得12bcsinA=12bc⋅2 55=1，所以bc= 5，
在锐角△ABC中，由sinA=2 55，得cosA= 1-sin2A= 55，
由余弦定理得a2=4c2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2，即b2=3c2+2，
由bc= 5b2=2+3c2，解得b= 5,c=1，
所以a=2c=2,a+b+c=3+ 5，
所以△ABC的周长为3+ 5． 
【解析】(1)利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简c=a(cosB+12sinB)，可得cosA=12sinA，结合同角的三角函数关系，即可求得答案．
(2)若选①，根据三角形面积求得bc= 5，求出cosA，由余弦定理结合完全平方公式求得b+c，即得答案；
选②，根据三角形面积求得bc= 5，求出cosA，由余弦定理求得b2=3c2+2，解方程组求出b，c，即得答案．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档题．