山东省德州市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含解析)

这是一份山东省德州市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含解析)，共43页。试卷主要包含了•；，计算等内容，欢迎下载使用。
山东省德州市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2022•德州）（1）化简：（m+2﹣）•；
（2）解方程组：．
2．（2021•德州）（1）计算：；
（2）化简：．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•德州）先化简：（），然后选择一个合适的x值代入求值．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．

四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2020•德州）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．
（1）超市B型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
6．（2021•德州）已知点A为函数y＝（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．

（1）如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．
六．反比例函数的应用（共1小题）
7．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）请求出这个反比例函数的解析式；
（2）蓄电池的电压是多少？
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？

七．二次函数的应用（共1小题）
8．（2021•德州）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．
（1）当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
（2）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A，B两城运费的和最小？
八．二次函数综合题（共3小题）
9．（2020•德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为　 　，其理由为：　 　．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标
…
（﹣2，0）
（0，0）
（2，0）
（4，0）
…
P的坐标
…
　 　
（0，﹣1）
（2，﹣2）
　 　
…
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是　 　．
验证：
（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．

10．（2022•德州）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3．
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），．
求该二次函数的解析式．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：　 　；
（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围：　 　；
（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+3（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+3（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：　 　；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．

九．正方形的性质（共1小题）
12．（2021•德州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．
（1）求证：FG＝EH；
（2）若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的长度．

一十．四边形综合题（共2小题）
13．（2022•德州）教材呈现
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
概念理解
（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：　 　；
（2）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，△FAC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中的“筝形”：　 　；（写出一个即可）
应用拓展

（3）如图2，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB，AC于点M，H，连接BH．
①求证：∠BAC＝∠FEG；
②求证：∠AHB＝90°．


14．（2020•德州）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　 　；
（2）AD的取值范围是　 　；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．

一十一．切线的判定与性质（共1小题）
15．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．
（1）求证：直线DH是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．

一十二．圆的综合题（共2小题）
16．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 　 　；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）


17．（2021•德州）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．
（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．

一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
18．（2020•德州）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．

一十四．条形统计图（共2小题）
19．（2022•德州）某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　 　名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？

20．（2021•德州）国家航天局消息北京时间2021年5月15日，我国首次火星着陆任务宣告成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的人数为 　 　人；
（2）补全图1条形统计图；
（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为 　 　；
（4）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
一十五．列表法与树状图法（共1小题）
21．（2020•德州）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有　 　人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　 　；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．

山东省德州市2020-2022三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的混合运算（共2小题）
1．（2022•德州）（1）化简：（m+2﹣）•；
（2）解方程组：．
【答案】（1）m+3；
（2）．
【解答】解：（1）（m+2﹣）•
＝
＝
＝m+3；
（2），
②×2得：4x﹣10y＝﹣6③，
①﹣③得：9y＝9，
解得y＝1，
把y＝1代入①得：4x﹣1＝3，
解得x＝1，
故原方程组的解是：．
2．（2021•德州）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣a﹣b．
【解答】解：（1）原式＝1﹣4×+（﹣3）+3
＝1﹣2﹣3+3
＝﹣1；
（2）原式＝
＝•
＝﹣a﹣b．
二．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•德州）先化简：（），然后选择一个合适的x值代入求值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵x不能取0，2，4
把x＝1代入＝＝﹣1．
三．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2022•德州）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；
（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．

【答案】（1）新的矩形绿地的长为40m，宽为20m；
（2）新的矩形绿地面积为1500m2．
【解答】解：（1）设将绿地的长、宽增加xm，则新的矩形绿地的长为（35+x）m，宽为（15+x）m，
根据题意得：（35+x）（15+x）＝800，
整理得：x2+50x﹣275＝0
解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合题意，舍去），
∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．
答：新的矩形绿地的长为40m，宽为20m．
（2）设将绿地的长、宽增加ym，则新的矩形绿地的长为（35+y）m，宽为（15+y）m，
根据题意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，
即3（35+y）＝5（15+y），
解得：y＝15，
∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．
答：新的矩形绿地面积为1500m2．
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2020•德州）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．
（1）超市B型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a﹣2）元．
根据题意得，＝，
解得a＝5．
经检验，a＝5是原方程的解．
答：超市B型画笔单价为5元；

（2）由题意知，
当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y＝0.9×5x＝4.5x，
当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y＝0.9×5×20+0.8×5（x﹣20）＝4x+10．
所以，y关于x的函数关系式为y＝（其中x是正整数）；

（3）当4.5x＝270时，解得x＝60，
∵60＞20，
∴x＝60不合题意，舍去；
当4x+10＝270时，解得x＝65，符合题意．
答：若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买65支B型画笔．
五．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
6．（2021•德州）已知点A为函数y＝（x＞0）图象上任意一点，连接OA并延长至点B，使AB＝OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，连接OC．

（1）如图1，若点A的坐标为（4，n），求点C的坐标；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，求四边形OCDA的面积．
【答案】（1）点C的坐标为（2，2）；
（2）四边形OCDA的面积为4．
【解答】解：（1）将点A坐标代入到反比例函数y＝中得，
4n＝4，
∴n＝1，
∴点A的坐标为（4，1），
∵AB＝OA，O（0，0），
∴点B的坐标为（8，2），
∵BC∥x轴，
∴点C的纵坐标为2，
令y＝2，则＝2，
∴x＝2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）设A（m，），
∵AB＝OA，
∴点B的坐标为（2m，），
∵BC∥x轴，
∴BC⊥y轴，
又AD⊥BC，
∴AD∥y轴，
∴点D的坐标为（），
∵BC∥x轴，且点C在函数图象上，
∴C（，），
∵S△OBC＝•BC•＝（2m﹣）•＝＝6，
S△ADB＝BD•AD＝•m•＝2，
∴四边形OCDA的面积为：S△OBC﹣S△ADB＝6﹣2＝4．
六．反比例函数的应用（共1小题）
7．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）请求出这个反比例函数的解析式；
（2）蓄电池的电压是多少？
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？

【答案】（1）I＝；
（2）48；
（3）用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，
∵图象经过（8，6），
∴6＝，
解得k＝6×8＝48，
∴I＝；

（2）蓄电池的电压是6×8＝48；

（3）∵I≤10，I＝，
∴≤10，
∴R≥4.8，
即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
七．二次函数的应用（共1小题）
8．（2021•德州）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝x2+20x+100，B城生产产品的每件成本为60万元．
（1）当A城生产多少件产品时，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？
（2）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A，B两城运费的和最小？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），
则W＝x2+20x+100+60（100﹣x）
＝x2﹣40x+6100
＝（x﹣20）2+5700，
∴当x＝20时，W取得最小值，最小值为5700万元，
∴A城生产20件，A，B两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；
（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为（20﹣n）件；
从B城把该产品运往C地的产品数量为（90﹣n）件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，运费的和为P（万元），
由题意得：，
解得10≤n≤20，
P＝n+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n）
＝n+60﹣3n+90﹣n+2n﹣20
＝n﹣2n+130
＝﹣n+130，
根据一次函数的性质可得：
P随n的增大而减小，
∴当n＝20时，P取得最小值，最小值为110，
∴从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；
从B城把该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，可使A，B两城运费的和最小．
八．二次函数综合题（共3小题）
9．（2020•德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为　PA＝PM　，其理由为：　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等　．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标
…
（﹣2，0）
（0，0）
（2，0）
（4，0）
…
P的坐标
…
　（﹣2，﹣2）　
（0，﹣1）
（2，﹣2）
　（4，﹣5）　
…
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是　抛物线　．
验证：
（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，
∴GH是AM的垂直平分线，
∵点P是GH上一点，
∴PA＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），
故答案为：PA＝PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a），（a＜0）
∵PA＝PM，
∴﹣a＝，
∴a＝﹣2，
∴点P（﹣2，﹣2），
当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b＜0）
∵PA＝PM，
∴﹣b＝，
∴b＝﹣5，
∴点P（4，﹣5），
故答案为：（﹣2，﹣2），（4，﹣5）；
（3）依照题意，画出图象，

猜想曲线L的形状为抛物线，
故答案为：抛物线；
（4）∵PA＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），
∴﹣y＝，
∴y＝﹣x2﹣1；
（5）∵点B（﹣1，），C（1，），
∴BC＝2，OB＝＝2，OC＝＝2，
∴BC＝OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L于点E，连接BE，CE，

∴∠BEC＝30°，
设点E（m，n），
∵点E在抛物线上，
∴n＝﹣m2﹣1，
∵OE＝OB＝2，
∴＝2，
∴n1＝2﹣2，n2＝2+2（舍去），
如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，
∴点D的纵坐标yD的取值范围为yD＜2﹣2．
10．（2022•德州）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3．
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），．
求该二次函数的解析式．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：　C（2，﹣1）（答案不唯一）　；
（2）当函数值y＜6时，自变量x的取值范围：　2﹣＜x＜2+　；
（3）如图1，将函数y＝x2﹣4x+3（x＜0）的图象向右平移4个单位长度，与y＝x2﹣4x+3（x≥4）的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点P（3，m）在L上，求m的值；
（4）如图2，在（3）的条件下，点A的坐标为（2，0），在L上是否存在点Q，使得S△OAQ＝9．若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）C（2，﹣1）（答案不唯一）；
（2）2﹣＜x＜2+；
（3）8；
（4）存在，（6﹣，9）或（+2，9）．
【解答】解：（1）C（2，﹣1），
故答案为：C（2，﹣1）（答案不唯一）；
（2）∵y＝x2﹣4x+3，
∴当x2﹣4x+3＝6时，解得x＝2+或x＝2﹣，
∴当y＜6时，2﹣＜x＜2+，
故答案为：2﹣＜x＜2+；
（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y＝（x﹣6）2﹣1，
当x＝3时，点P在抛物线y＝（x﹣6）2﹣1的部分上，
∴m＝8；
（4）存在点Q，使得S△OAQ＝9，理由如下：
当Q点在抛物线y＝（x﹣6）2﹣1的部分上时，设Q（t，t2﹣12t+35），
∴S△OAQ＝2×（t2﹣12t+35）＝9，
解得t＝6+或t＝6﹣，
∴t＜4，
∴t＝6﹣，
∴Q（6﹣，9）；
当Q点在抛物线y＝x2﹣4x+1的部分上时，设Q（m，m2﹣4m+3），
∴S△OAQ＝2×（m2﹣4m+3）＝9，
解得m＝+2或m＝2﹣，
∵m≥4，
∴m＝+2，
∴Q（+2，9）；
综上所述：Q点坐标为（6﹣，9）或（+2，9）．

11．（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：　抛物线的顶点坐标为（2，7）　；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：AB∥DQ．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵表中的数据关于（2，7）对称，
∴该抛物线的顶点为（2，7）．
故答案为：抛物线的顶点坐标为（2，7）（答案不唯一）；
（2）由题意抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得：
，
解得：．
∴抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3．
（3）①由（1）知：抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4x+3，
∴将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2的顶点为（﹣2，4）．
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x．
由题意得：或，
∴﹣x2+4x+3＝x+b或﹣x2﹣4x＝x+b．
即2x2﹣7x+2b﹣6＝0或x2+x+b＝0．
∵当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，
∴72﹣4×2×（2b﹣6）＝0或（）2﹣4×1×b＝0．
解得：b＝或b＝．
∵直线y＝x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，
∴＜b＜．
②由题意画出图形如下：过点A作AE⊥x轴于点E，

∵抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣4x，
∴令y＝0，则﹣x2﹣4x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣4．
∵抛物线C2与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），
∴B（﹣4，0），C（0，0）．
∴OB＝4．
由①知：抛物线C2的顶点为A（﹣2，4）．
∴AE＝4，OE＝2，
∴BE＝OB﹣OE＝2．
在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝2．
∵点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，
∴设点P（m，﹣m2﹣4m），则m＜0，﹣m2﹣4m＞0．
∵PD⊥x轴，
∴OD＝﹣m．
设直线AP的解析式为y＝kx+n，则：
，
解得：．
∴直线AP的解析式为y＝﹣（m+2）x﹣2m．
令x＝0，则y＝﹣2m．
∴Q（0，﹣2m）．
∴OQ＝﹣2m．
在Rt△ODQ中，tan∠QDO＝＝＝2．
∴tan∠ABE＝tan∠QDO．
∴∠ABE＝∠QDO．
∴AB∥DQ．
九．正方形的性质（共1小题）
12．（2021•德州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．
（1）求证：FG＝EH；
（2）若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的长度．

【答案】（1）证明见解答过程；（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，
∴∠AGF+∠AFG＝90°，
∵FG⊥EH，
∴∠AGF+∠GEP＝90°，
∴∠AFG＝∠GEP＝∠BEH，
∵AE＝DF，
∴AD﹣DF＝AB﹣AE，
即AF＝BE，
在△AFG和△BEH中，
，
∴△AFG≌△BEH（ASA），
∴FG＝EH；
（2）解：∵AD＝5，AE＝DF＝2，
∴AF＝5﹣2＝3，
在Rt△AFG中，tan∠AGF＝，
即＝，
∴AG＝4，
∴EG＝2，
在Rt△AFG中，FG＝＝＝5，
∵∠A＝∠EPG＝90°，∠AGF＝∠PGE，
∴△AFG∽△PEG，
∴＝，
即＝，
∴PG＝，
∴PF＝FG﹣PG＝5﹣＝．
一十．四边形综合题（共2小题）
13．（2022•德州）教材呈现
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
概念理解
（1）根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：　BD垂直平分线段AC　；
（2）如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，△FAC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中的“筝形”：　四边形ADCF　；（写出一个即可）
应用拓展

（3）如图2，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB，AC于点M，H，连接BH．
①求证：∠BAC＝∠FEG；
②求证：∠AHB＝90°．


【答案】（1）BD垂直平分线段AC．
（2）四边形ADCF（答案不唯一）；
（3）①②证明见解析部分．
【解答】（1）解：∵DA＝DC，BA＝BC，
∴BD垂直平分线段AC．
故答案为：BD垂直平分线段AC．

（2）解：由翻折变换的性质可知AD＝AF，∠ADC＝∠AFC＝90°，
∵AC＝AC，
∴Rt△ACD≌Rt△ACF（HL），
∴CD＝CF，
∴四边形ADCF是“筝形”，
故答案为：四边形ADCF（答案不唯一）；

（3）①证明：如图2中，
由翻折变换的性质可知∠CAD＝∠CAF，∠BAD＝∠BAE，∠ADB＝∠AEB＝90°，AD＝AF＝AE，
∴∠EAF＝2∠BAC，∠AEF＝∠AFE，
∴∠EAF+2∠AEF＝180°，
∴2∠BAC+2∠AEF＝180°，
∴∠BAC+∠AEF＝90°，
∵∠FEG+∠AEF＝90°，
∴∠BAC＝∠FEG；

②证明：如图2中，

∵∠AMH＝∠EMB，∠MAH＝∠MEB，
∴△EMB∽△AMH，
∴＝，∠AHM＝∠ABE，
∴＝，
∵∠AME＝∠HMB，
∴△AME∽△HMB，
∴∠EAM＝∠MHB，
∵∠AEB＝90°，
∴∠MAE+∠MBE＝90°，
∴∠MHB+∠AHM＝90°，
∴∠AHB＝90°．
14．（2020•德州）问题探究：
小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：　SAS　；
（2）AD的取值范围是　1＜AD＜5　；
方法运用：
（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．
（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AD是中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，
∴△BED≌△CAD（SAS），
故答案为：SAS；
（2）∵△BED≌△CAD，
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，
∴AC＝BF；
（4）方法一、如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，

∵点G是DF的中点，
∴DG＝GF，
又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，
∴△NGF≌△CGD（SAS），
∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，
∵＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴∠EBC＝2∠DBC，
∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，
∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，
又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，
∴∠EFN＝2∠DBC，
∴∠EBC＝∠EFN，
∵＝，且CD＝NF，
∴
∴△BEC∽△FEN，
∴∠BEC＝∠FEN，
∴∠BEF＝∠NEC＝90°，
又∵CG＝NG，
∴EG＝NC，
∴EG＝GC．
方法二、过点F作FM⊥BC于M，过点GN⊥BC于N，

∵＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴BF平分∠EBC，
∵EF⊥BE，FM⊥BC，
∴EF＝FM，
∴E，M关于BD对称，
∴EG＝MG，
∵FM⊥BC，GN⊥BC，DC⊥BC，
∴FM∥GN∥CD，
∴＝1，
∴MN＝NC，
又∵GN⊥BC，
∴GC＝GM，
∴EG＝GC．
一十一．切线的判定与性质（共1小题）
15．（2020•德州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．
（1）求证：直线DH是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．

【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，
∴∠AOD＝AOB＝90°，
∵DH∥AB，
∴∠ODH＝90°，
∴OD⊥DH，
∴直线DH是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵点D是半圆AB的中点，
∴＝，
∴AD＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，
∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD＝180°，
∵∠DBH+∠CBD＝180°，
∴∠CAD＝∠DBH，
由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∵DH∥AB，
∴∠BDH＝∠OBD＝45°，
∴∠ACD＝∠BDH，
∴△ACD∽△BDH，
∴，
∴＝，
解得：BH＝．

一十二．圆的综合题（共2小题）
16．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 　相切　；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）


【答案】（1）相切；（2）证明见解析；（3）9.8．
【解答】（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，
∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AB为⊙O的切线，
∴AB与⊙O的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，

∵AB＝AC，O为底边BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∵OD为⊙O的半径，
∴OE为⊙O的半径，
这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，

∵AB＝AC，∠A＝96°，
∴∠B＝∠C＝＝42°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．
∵OF⊥DM，
∴DF＝MF＝DM＝2，
∵OD＝OM，OF⊥DM，
∴OF为∠DOM的平分线，
∴∠DOF＝∠BOD＝24°．
在Rt△ODF中，
∵sin∠DOF＝，
∴sin24°＝，
∴OD＝≈≈4.9，
∴⊙O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．
17．（2021•德州）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．
（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．

【答案】（1）①证明见解析；②；（2）QC2＝2QD2+QA2；证明见解析．
【解答】证明：（1）①∵AD＝CD，BD＝AD，
∴DB＝DC．
∴DC＝AB．
∴△ABC为直角三角形；
解：②连接OA，OD，如图，

∵AD＝CD，
∴，
∴OD⊥AC且AH＝CH．
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OD＝4．
设DH＝x，则OH＝4﹣x，
∵AH2＝OA2﹣OH2，
AH2＝AD2﹣DH2，
∴52﹣x2＝42﹣（4﹣x）2．
解得：x＝．
∴DH＝．
由①知：BC⊥AC，
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．
∵AH＝CH，
∴BC＝2DH＝．
（2）QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2＝2QD2+QA2．理由：
延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，如图，

∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°．
∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．
∴∠QFC＝∠AFD+∠DFC＝90°．
∴QC2＝QF2+CF2．
∵△ADQ与△ADE关于AD对称，
∴∠DQA＝∠E＝45°，
∴∠DQA＝∠DFA＝45°，
∴DQ＝DF．
∴∠QDF＝180°﹣∠DQA﹣∠QFD＝90°．
∴DQ2+DF2＝QF2．
即QF2＝2DQ2．
∵∠QDF＝∠ADC＝90°，
∴∠QDA＝∠CDF．
在△QDA和△FDC中，
，
∴△QDA≌△FDC（AAS）．
∴QA＝FC．
∴QC2＝2QD2+QA2．
一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
18．（2020•德州）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：过B作BE⊥CD交CD于E，
由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°＝＝，
∴AD＝＝20（米），
∵∠BED＝∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴四边形ADEB是矩形，
∴BE＝AD＝20米，
在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°＝＝，
∴CE＝20＝20（米），
∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40（米），
∴AB＝ED＝40（米），
答：楼房的高度为40米．

一十四．条形统计图（共2小题）
19．（2022•德州）某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 　100　名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？

【答案】（1）100；
（2）见解答；
（3）108°；
（4）600名．
【解答】解：（1）本次共调查的学生有20÷20%＝100（名）；
故答案为：100；
（2）C对应人数为100﹣（20+10+30）＝40（名），
补全条形图如下：

（3）360°××100%＝108°，
∴D类活动对应扇形的圆心角为108度；
（4）1500×＝600（名），
答：估计该校最喜欢C类活动的学生有600名．
20．（2021•德州）国家航天局消息北京时间2021年5月15日，我国首次火星着陆任务宣告成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
（1）此次调查中接受调查的人数为 　50　人；
（2）补全图1条形统计图；
（3）扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为 　43.2°　；
（4）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）不关注、关注、比较关注的共有4+6+24＝34（人），占调查人数的1﹣32%＝68%，
∴此次调查中接受调查的人数为34÷68%＝50（人），
故答案为：50；
（2）50×32%＝16（人），
补全统计图如图所示：

（3）360°×＝43.2°，
故答案为：43.2°；
（4）900×＝828（人），
答：估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有828人．
一十五．列表法与树状图法（共1小题）
21．（2020•德州）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有　50　人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　36%　；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），
“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为×100%＝10%，
∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；
故答案为：50，36%；
（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），
∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），
∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%＝18（人），
∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；
补全图2频数分布直方图：

（3）能获奖．理由如下：
∵本次比赛参赛选手50人，
∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），
又∵88＞84.5，
∴能获奖；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率＝＝．