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河南省漯河市郾城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份河南省漯河市郾城区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 a是二次根式，则a的值不可以是( )
A. 0 B. -2 C. 2 D. 4
2. 下列计算正确的是( )
A. (-4)×(-9)= -4× -9 B. 6÷ 3= 3
C. 3+2 3=5 3 D. 4 2- 2=3 2
3. 甲乙两名同学本学期参加了相同的5次数学考试，老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，老师需比较这两人5次数学成绩的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形是( )
A. 3， 4， 5 B. 1，2，3
C. 0.3，0.4，0.5 D. 13，14，15
5. 如图在▱ABCD中AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=55°，则∠B为( )
A. 45° B. 55° C. 65° D. 135°
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB//CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD B. AD//BC C. OA=OC D. AD=BC
7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A. 75°
B. 60°
C. 55°
D. 45°
8. 如图，菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OH=1，则菱形ABCD的面积为( )
A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 4
9. 已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)和(0,3).有下列结论：①将其图象沿y轴向下平移3个单位，可得到直线y=-32x；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；
③当x>2时，y<0；
④图象经过点(1,2)．
其中正确的是( )
A. ①②③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②④
10. 如图①，正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，动点P从A点出发，沿A→D→C的路径，以1cm/s的速度匀速运动到C点，在此过程中，△APE的面积y(cm2)随运动时间x(s)变化的函数关系图象如图②所示，则当x=5时，y的值为( )
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 式子 (1-3)2的值为______ ．
12. 已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=(2-m)x+3图象上两点，且(x1-x2)(y1-y2)<0，则m的取值范围为______ ．
13. 如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80km，当二人均在途中行驶过程中，x= ______ h他们相距15km．
14. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘，分别以四边形的四条边向外作正方形，若S1+S4=100，S3=36.则S2=______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB=4，BC=6，则GH的长度为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
计算：
(1)2 12-6 13+3 48；
(2)(2 3-1)(2 3+1)-(1-2 3)2．
17. (本小题9.0分)
某校八年级学生进行了一次体质健康测试，现随机抽取了40名学生的成绩(单位：分)，收集的数据如下，
75 85 74 98 72 57 81 96 73 95 59 95 63 88 93 67 92 83 94 54
90 56 89 92 79 87 70 71 91 83 83 73 80 93 81 79 91 78 83 77
整理数据：
成绩/分
人数
百分比/%
90≤x≤100
a
30
75≤x≤89
16
40
60≤x≤74
8
20
0≤x≤59
4
10
分析数据：
平均数
中位数
众数
80.5
b
c
根据以上信息，回答下列问题．
(1)请直接写出表格中a，b，c的值．
(2)该校八年级学生共有800人，请估计成绩在75≤x≤100的学生大约有多少人．
(3)八(3)班张亮的测试成绩为78分，请结合本次统计结果给他提出提升体质水平的合理建议．
18. (本小题9.0分)
在一条绳子下端系着一艘小船，其示意图如图所示，其中CD为靠水一侧的河岸，垂直于水面，小明在河岸上拽着绳子上端向后退，绳端从点C水平移动到点E，同时小船从A移动到B，AB平行于水面，延长AB交CD于点F，绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)AC ______ BC+CE(填“>”“<”或“=”)；
(2)若CF=5米，AF=12米，AB=8米，求小明向后移动的距离.(结果保留根号)
19. (本小题9.0分)
如图，在▱ABCD中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
(1)求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若∠B=60°，BC=8，求▱ABCD的面积．
20. (本小题9.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上的一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时．
①四边形BECD是______形；
②则当∠A等于______度时，四边形BECD是正方形．
21. (本小题9.0分)
为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．
(1)求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
(2)商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．
22. (本小题10.0分)
如图，直线y1=-13x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2=x交于点E，点E的横坐标为3．
(1)直接写出b值______ ；
(2)结合图象，直接写出：当x取何值时，y1
23. (本小题10.0分)
综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“矩形”为主题开展数学活动．
已知矩形ABCD(AD>AB)的一条对称轴分别交边AB，CD于点E，F，如图①，奋进小组进行了如下的操作：以点B为圆心，BA的长为半径作弧，交边BC于点Q，已知点A'在弧AQ上运动(含A，Q两点)，连接BA'，再分别以点A、A'为圆心，大于12AA'的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线BG交AD于点H．
提出问题：
(1)如图②，填空：若点A'运动到EF上时，则∠ABH的度数为______ ；
拓展应用：
(2)如图③，励志小组在图②的基础上进行如下操作：连接HA'并延长交BC于点P，请判断△HBP的形状，并说明理由；
解决问题：
(3)创新小组在图③的基础上进行如下操作：延长BA'交边AD于点M，AB=1，BC=a，当△MPC是直角三角形时，请直接写出a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵式子 a是二次根式，
∴a≥0，
即只有选项B符合，选项A、选项C、选项D都不符合，
故选：B．
根据二次根式的定义得出a≥0，再得出选项即可．
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 a(a≥0)的式子叫二次根式．
2.【答案】D
【解析】解：A． -4× -9无意义；选项错误，不符合题意；
B. 6÷ 3= 2；选项错误，不符合题意；
C.3与2 3无法合并；选项错误，不符合题意；
D.4 2- 2=3 2；选项正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是关键．
3.【答案】D
【解析】解：由于方差和极差都能反映数据的波动大小，
故需比较这两人5次数学成绩的方差．
故选：D．
方差、极差的意义：体现数据的稳定性，集中程度；方差、极差越小，数据越稳定．故需比较这两人5次数学成绩的方差或极差．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4.【答案】C
【解析】解：A、( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、(13)2≠(14)2+(15)2，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】B
【解析】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠AEC+∠AFC+∠C+∠EAF=360°，且∠EAF=55°，
∴∠C=360°-90°-90°-55°=125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=55°．
故选：B．
根据四边形内角和定理可求∠C=125°，根据平行四边形的性质可求∠B的度数．
本题考查了平行四边形的性质，四边形内角和定理，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、∵AB//CD、AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB//CD、AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵AB//CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．
在△ABO和△CDO中，∠BAO=∠DCO∠ABO=∠CDOOA=OC，
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB//CD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由AB//CD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO(AAS)，根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由AB//CD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解．
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE=150°，AB=AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE=∠AEB=15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=12(180°-150°)=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=1，
∴BD=2，
∴OB=1，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴OA= AB2-OB2= 22-12= 3，
∴AC=2OA=2 3，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×2 3×2=2 3．
故选：C．
由菱形的性质得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，再求出BD=2，则OB=1，然后求出AC的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：把(2,0)和(0,3)分别代入y=kx+b得2k+b=0b=3，
解得k=-32b=3，
∴一次函数解析式为y=-32x+3，
将直线y=-32x+3沿y轴向下平移3个单位，可得到直线y=-32x，所以①符合题意；
∵一次函数y=kx+b的图象经过(0,3)．
∴关于x的方程kx+b=3的解为x=0；所以②符合题意；
∴当x>2时，函数图象在x轴的下面，y<0；所以③符合题意；
当x=1时，y=-32×1+3=32，故图象不经过点(1,2).所以④不符合题意；
故选：A．
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①当点P在点D时，设正方形的边长为a，y=12AB×AD=12a×a=4.5，
解得a=3；
②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×3=3，
解得EP=2，
即EC=2，BE=1；
③当x=5时，如下图所示：
此时，PD=5-3=2，PC=3-PD=1，
当x=5时，y=S正方形ABCD-(S△ABE+S△ECP+S△APD)=3×3-12(3×1+2×1+3×2)=3.5．
故选：C．
当点P在点D时，设正方形的边长为a，y=12AB×AD=12a×a=8，解得a=4；②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×4=6，解得EP=3，即EC=3，BE=1；③当x=5时，y=S正方形ABCD-(S△ABE+S△ECP+S△ADP)即可求解．
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
11.【答案】2
【解析】解：原式=|1-3|
=|-2|
=2．
故答案为：2．
原式利用二次根式性质计算即可求出值．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
12.【答案】m>2
【解析】解：(x1-x2)(y1-y2)<0，
即：x1-x2>0y1-y2<0或x1-x2<0y1-y2>0，
也就是，y随x的增大而减小，
因此，2-m<0，解得，m>2，
故答案为：m>2．
根据(x1-x2)(y1-y2)<0，得出y随x的增大而减小，再根据2-m<0，求出其取值范围即可．
考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性以及适当的转化是解决问题的关键．
13.【答案】3.5或4.5
【解析】解：由图象可以得
自行车的速度为：80÷8=10(km/h)，
摩托车的速度为：80÷(5-3)=40(km/h)，
∴|10x-40(x-3)|=15，
解得x1=3.5，x2=4.5，
∴当x=3.5或4.5时，他们相距15km，
故答案为：3.5或4.5．
先求出自行车和摩托车的速度，再根据他们路程相差15km列出方程，解方程即可．
本题考查了一次函数的应用，解答时分析清楚函数图象的数据含义是关键．
14.【答案】64
【解析】解：由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，
在直角三角形ABD和BCD中，
BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，
即S1+S4=S3+S2=100，
因此S2=100-36=64．
故答案为：64．
利用勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方解答．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
15.【答案】 132
【解析】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD//BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB=4，BC=6，
∴AE=12AB=12×4=2，CF=12BC=12×6=3，
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
∠DPH=∠FCH∠DHP=∠PHCDH=FH，
∴△PDH≌△CFH(AAS)，
∴PD=CF=3，CH=PH，
∴AP=AD-PD=3，
∴PE= AP2+AE2= 32+22= 13，
∵点G是EC的中点，
∴GH=12EP= 132
故答案为： 132．
连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)2 12-6 13+3 48
=4 3-2 3+12 3
=14 3；
(2)(2 3-1)(2 3+1)-(1-2 3)2
=12-1-(1-4 3+12)
=12-1-1+4 3-12
=4 3-2．
【解析】(1)先化简，再算加减即可；
(2)利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：(1)将数据重新排列为：
54、56、57、59、63、67、70、71、72、73、
73、74、75、77、78、79、79、80、81、81，
83、83、83、83、85、87、88、89、90、91，
91、92、92、93、93、94、95、95、96、98，
a=40×30%=12，b=81+832=82，c=83；
(2)抽取的40名学生的成绩在75≤x≤100的有16+12=28(人)，
∴800×2840=560(人)，
即该校八年级学生共有800人，估计成绩在75≤x≤100的学生大约有560人；
(3)积极参加体质加强训练项目，提升体质水平，争取达到平均分80.5分．
【解析】(1)将这组数据重新排列，再用总人数乘以90≤x≤100对应百分比即可得出a的值，由中位数和众数的定义可得b、c的值；
(2)用总人数乘以成绩在75≤x≤100的学生人数所占比例即可；
(3)答案不唯一，合理均可．
本题考查了统计表、众数、中位数、平均数、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】=
【解析】解：(1)∵AC的长度是小明未拽之前的绳子长，(BC+CE)的长度是小明拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴AC=BC+CE，
故答案为：=；
(2)在Rt△CFA中，由勾股定理得：AC= AF2+CF2= 122+52=13(米)，
∵AF=12米，AB=8米，
∴BF=AF-AB=12-8=4(米)，
在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC= CF2+BF2= 52+42= 41(米)，
由(1)可知，AC=BC+CE，
∴CE=AC-BC=(13- 41)(米)，
答：小明向后移动的距离为(13- 41)米．
(1)由绳长始终保持不变即可求解；
(2)由勾股定理求出AC、BC的长，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM=BM，AM//CN，AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA=90°，
∴四边形AMCN是矩形．
(2)∵∠B=60°，BC=8，∠BMC=90°，
∴∠BCM=30°，
∴Rt△BCM中，BM=12BC=4，CM=4 3，
∵AC=BC，CM⊥AB，
∴AB=2BM=8，
∴▱ABCD的面积为AB×CM=8×4 3=32 3．
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AB//CD，AB=CD，由已知条件得出AM//CN，AM=CN，证出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠CMA=90°，即可得出四边形AMCN是矩形；
(2)根据∠B=60°，BC=8，即可得到CM和BM的长，再根据等腰三角形的性质即可得到AB的长，进而得出▱ABCD的面积．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出CM⊥AB是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
(2)①菱； ② 45
【解析】(1)见答案；
(2)解：①四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=12AB=BD，
∴四边形BECD是菱形；
故答案为：菱；
②当∠A=45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB=90°，
当∠A=45°时，△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴四边形BECD是正方形；
故答案为：45．
(1)证出AC//DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
(2)①先证出BD=CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB=BD，即可得出四边形BECD是菱形；
②当∠A=45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为(x+30)元，
120x=2×120x+30，
解得，x=30
经检验，x=30是原分式方程的解，
∴x+30=60，
答：甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；
(2)设该商场购进甲品牌T恤衫a件，则购进乙品牌T恤衫(100-a)件，利润为w元，
∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，
∴a≥4(100-a)
解得，a≥80
w=(50-30)a+(100-60)(100-a)=-20a+4000，
∵a≥80，
∴当a=80时，w取得最大值，此时w=2400元，100-a=20，
答：获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，最大利润是2400元．
【解析】(1)根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；
(2)根据题意，可以求得购买甲种品牌的T恤衫数量的取值范围，然后列出利润与甲种品牌的T恤衫数量的函数关系，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
22.【答案】4
【解析】解：(1)点E在直线y2=x上，点E的横坐标为3．
∴E(3,3)代入直线y1=-13x+b得，b=4，
故答案为：4．
(2)直线y1=-13x+4得与y2=x交于点E，点E的横坐标为3，
由图象可知：当y1≤y2时，x>3．
(3)当x=0时，y=4，
∴B(0,4)，即：OB=4，
∴CD=2OB=8，
∵点C在直线y1=-13x+4上，点D在直线y2=x上，
∴(-13m+4)-m=8或m-(-13m+4 )=8，
解得：m=-3或m=9，
答：m的值为-3或9．
(1)先求出E点坐标，再代入求出b的值，
(2)求出直线y1=-13x+b与x轴交于点A坐标，根据函数的图象可以直接得出当y1≤y2时x的取值范围；
(3)由点B的坐标，可求出OB的长，进而求出CD的长，由于点C、D分别在两条直线上，由题意得CD的长就是这两个点纵坐标的差，因此有两种情况，分类讨论，得出答案．
考查待定系数法求函数的关系式、一次函数与一元一次不等式组的关系等知识，数形结合是解决问题的关键和法宝．
23.【答案】30°
【解析】解：(1)连接AG，A'G，如图②，
由题意：BA=BA'，AG=A'G，
在△ABG和△A'BG中，
AB=A'BAG=A'GBG=BG，
∴△ABG≌△A'BG(SSS)．
∴∠ABG=∠A'BG．
∵EF为矩形ABCD的对称轴，
∴A'E⊥AB，BE=12AB，
∵AB=A'B，
∴BEA'B=12，
∴cos∠A'BE=12，
∴∠A'BE=60°．
∴∠ABH=12∠A'BE=30°，
故答案为：30°；
(2)△HBP是等边三角形，理由：
由(1)知：∠ABG=∠A'BG=30°，
在△ABH和△A'BH中，
AB=A'B∠ABG=∠A'BGBH=BH，
∴△ABH≌△A'BH(SAS)．
∴∠BAH=∠BA'H=90°，
∴∠BHA'=90°-∠A'BG=60°，
∵∠HBP=90°-∠ABG=60°，
∴∠HBP=∠BHP=∠HPB=60°，
∴△HBP是等边三角形；
(3)①当∠PCM=90°时，点M与点D重合，如图，
由(1)知：∠ABP=60°，
∴ADAB=tan60°= 3；
∵AD=BC，
∴BC= 3AB，
∵AB=1，BC=a，
∴a= 3；
②当∠PMC=90°时，如图，
过点M作MN⊥PC于点N，
由(3)①知：AM= 3AB，
由(2)知：△HBP是等边三角形，
∴BH=BP，
∵∠BA'H=90°，
∴BA'⊥HP，
∴HA'=PA'．
∵AD//BC，
∴∠HMA'=∠PBA'，
在△A'HM和△A'PB中，
∠HA'M=∠PA'B∠HMA'=∠PBA'HA'=PA'，
∴△A'HM≌△A'PB(AAS)．
∴MA'=BA'，
∴四边形BPMH为菱形．
∴∠MPH=∠BPH=60°，
∴∠MPC=60°．
∵∠PMC=90°，
∴∠MCP=30°，
∴∠MCD=60°．
∴MDCD=tan60°= 3．
∴MD= 3AB，
∴AD=AM+MD=2 3AB．
∴BC=2 3AB，
∵AB=1，BC=a，
∴a=2 3．
综上，当△MPC是直角三角形时，a的值为 3或2 3．
(1)连接AG，A'G，通过证明△ABG≌△A'BG，可得BG为交点平分线，利用对称性和直角三角形的边角关系即可求得∠ABA'=60°，则结论可求；
(2)利用(1)中的方法解答即可；
(3)利用分类讨论的方法分两种情况推论解答：①当∠PCM=90°时，点M与点D重合，利用(1)的结论和直角三角形的边角关系即可求解；②当∠PMC=90°时，过点M作MN⊥PC于点N，证明四边形BPMH为菱形，则可得∠MPC=60°，同①的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，本题是操作型题目，理解题干中的每一步骤产生的结论，同时注意结论的延续性是解题的关键．
2022-2023学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 a是二次根式，则a的值不可以是( )
A. 0 B. -2 C. 2 D. 4
2. 下列计算正确的是( )
A. (-4)×(-9)= -4× -9 B. 6÷ 3= 3
C. 3+2 3=5 3 D. 4 2- 2=3 2
3. 甲乙两名同学本学期参加了相同的5次数学考试，老师想判断这两位同学的数学成绩谁更稳定，老师需比较这两人5次数学成绩的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形是( )
A. 3， 4， 5 B. 1，2，3
C. 0.3，0.4，0.5 D. 13，14，15
5. 如图在▱ABCD中AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF=55°，则∠B为( )
A. 45° B. 55° C. 65° D. 135°
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB//CD，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. AB=CD B. AD//BC C. OA=OC D. AD=BC
7. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A. 75°
B. 60°
C. 55°
D. 45°
8. 如图，菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OH=1，则菱形ABCD的面积为( )
A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 4
9. 已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点(2,0)和(0,3).有下列结论：①将其图象沿y轴向下平移3个单位，可得到直线y=-32x；
②关于x的方程kx+b=3的解为x=0；
③当x>2时，y<0；
④图象经过点(1,2)．
其中正确的是( )
A. ①②③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②④
10. 如图①，正方形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，动点P从A点出发，沿A→D→C的路径，以1cm/s的速度匀速运动到C点，在此过程中，△APE的面积y(cm2)随运动时间x(s)变化的函数关系图象如图②所示，则当x=5时，y的值为( )
A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 式子 (1-3)2的值为______ ．
12. 已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=(2-m)x+3图象上两点，且(x1-x2)(y1-y2)<0，则m的取值范围为______ ．
13. 如图是一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是80km，当二人均在途中行驶过程中，x= ______ h他们相距15km．
14. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘，分别以四边形的四条边向外作正方形，若S1+S4=100，S3=36.则S2=______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB=4，BC=6，则GH的长度为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
计算：
(1)2 12-6 13+3 48；
(2)(2 3-1)(2 3+1)-(1-2 3)2．
17. (本小题9.0分)
某校八年级学生进行了一次体质健康测试，现随机抽取了40名学生的成绩(单位：分)，收集的数据如下，
75 85 74 98 72 57 81 96 73 95 59 95 63 88 93 67 92 83 94 54
90 56 89 92 79 87 70 71 91 83 83 73 80 93 81 79 91 78 83 77
整理数据：
成绩/分
人数
百分比/%
90≤x≤100
a
30
75≤x≤89
16
40
60≤x≤74
8
20
0≤x≤59
4
10
分析数据：
平均数
中位数
众数
80.5
b
c
根据以上信息，回答下列问题．
(1)请直接写出表格中a，b，c的值．
(2)该校八年级学生共有800人，请估计成绩在75≤x≤100的学生大约有多少人．
(3)八(3)班张亮的测试成绩为78分，请结合本次统计结果给他提出提升体质水平的合理建议．
18. (本小题9.0分)
在一条绳子下端系着一艘小船，其示意图如图所示，其中CD为靠水一侧的河岸，垂直于水面，小明在河岸上拽着绳子上端向后退，绳端从点C水平移动到点E，同时小船从A移动到B，AB平行于水面，延长AB交CD于点F，绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)AC ______ BC+CE(填“>”“<”或“=”)；
(2)若CF=5米，AF=12米，AB=8米，求小明向后移动的距离.(结果保留根号)
19. (本小题9.0分)
如图，在▱ABCD中，AC=BC，M、N分别是AB和CD的中点．
(1)求证：四边形AMCN是矩形；
(2)若∠B=60°，BC=8，求▱ABCD的面积．
20. (本小题9.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN//AB，D为AB边上的一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE=AD；
(2)当D在AB中点时．
①四边形BECD是______形；
②则当∠A等于______度时，四边形BECD是正方形．
21. (本小题9.0分)
为迎接“五一”国际劳动节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件，已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍．
(1)求甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
(2)商场决定甲品牌以每件50元出售，乙品牌以每件100元出售．为满足市场需求，购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，请你确定获利最大的进货方案，并求出最大利润．
22. (本小题10.0分)
如图，直线y1=-13x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y2=x交于点E，点E的横坐标为3．
(1)直接写出b值______ ；
(2)结合图象，直接写出：当x取何值时，y1
23. (本小题10.0分)
综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“矩形”为主题开展数学活动．
已知矩形ABCD(AD>AB)的一条对称轴分别交边AB，CD于点E，F，如图①，奋进小组进行了如下的操作：以点B为圆心，BA的长为半径作弧，交边BC于点Q，已知点A'在弧AQ上运动(含A，Q两点)，连接BA'，再分别以点A、A'为圆心，大于12AA'的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线BG交AD于点H．
提出问题：
(1)如图②，填空：若点A'运动到EF上时，则∠ABH的度数为______ ；
拓展应用：
(2)如图③，励志小组在图②的基础上进行如下操作：连接HA'并延长交BC于点P，请判断△HBP的形状，并说明理由；
解决问题：
(3)创新小组在图③的基础上进行如下操作：延长BA'交边AD于点M，AB=1，BC=a，当△MPC是直角三角形时，请直接写出a的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵式子 a是二次根式，
∴a≥0，
即只有选项B符合，选项A、选项C、选项D都不符合，
故选：B．
根据二次根式的定义得出a≥0，再得出选项即可．
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 a(a≥0)的式子叫二次根式．
2.【答案】D
【解析】解：A． -4× -9无意义；选项错误，不符合题意；
B. 6÷ 3= 2；选项错误，不符合题意；
C.3与2 3无法合并；选项错误，不符合题意；
D.4 2- 2=3 2；选项正确，符合题意；
故选：D．
根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是关键．
3.【答案】D
【解析】解：由于方差和极差都能反映数据的波动大小，
故需比较这两人5次数学成绩的方差．
故选：D．
方差、极差的意义：体现数据的稳定性，集中程度；方差、极差越小，数据越稳定．故需比较这两人5次数学成绩的方差或极差．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4.【答案】C
【解析】解：A、( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、0.32+0.42=0.52，能构成直角三角形，故符合题意；
D、(13)2≠(14)2+(15)2，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】B
【解析】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠AEC+∠AFC+∠C+∠EAF=360°，且∠EAF=55°，
∴∠C=360°-90°-90°-55°=125°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=55°．
故选：B．
根据四边形内角和定理可求∠C=125°，根据平行四边形的性质可求∠B的度数．
本题考查了平行四边形的性质，四边形内角和定理，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、∵AB//CD、AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵AB//CD、AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵AB//CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．
在△ABO和△CDO中，∠BAO=∠DCO∠ABO=∠CDOOA=OC，
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由AB//CD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．
A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由AB//CD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO(AAS)，根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由AB//CD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解．
本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE=150°，AB=AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE=∠AEB=15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=12(180°-150°)=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
故选：B．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=1，
∴BD=2，
∴OB=1，
∵菱形ABCD的边长为2，
∴OA= AB2-OB2= 22-12= 3，
∴AC=2OA=2 3，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×2 3×2=2 3．
故选：C．
由菱形的性质得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，再求出BD=2，则OB=1，然后求出AC的长，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：把(2,0)和(0,3)分别代入y=kx+b得2k+b=0b=3，
解得k=-32b=3，
∴一次函数解析式为y=-32x+3，
将直线y=-32x+3沿y轴向下平移3个单位，可得到直线y=-32x，所以①符合题意；
∵一次函数y=kx+b的图象经过(0,3)．
∴关于x的方程kx+b=3的解为x=0；所以②符合题意；
∴当x>2时，函数图象在x轴的下面，y<0；所以③符合题意；
当x=1时，y=-32×1+3=32，故图象不经过点(1,2).所以④不符合题意；
故选：A．
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①当点P在点D时，设正方形的边长为a，y=12AB×AD=12a×a=4.5，
解得a=3；
②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×3=3，
解得EP=2，
即EC=2，BE=1；
③当x=5时，如下图所示：
此时，PD=5-3=2，PC=3-PD=1，
当x=5时，y=S正方形ABCD-(S△ABE+S△ECP+S△APD)=3×3-12(3×1+2×1+3×2)=3.5．
故选：C．
当点P在点D时，设正方形的边长为a，y=12AB×AD=12a×a=8，解得a=4；②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×4=6，解得EP=3，即EC=3，BE=1；③当x=5时，y=S正方形ABCD-(S△ABE+S△ECP+S△ADP)即可求解．
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
11.【答案】2
【解析】解：原式=|1-3|
=|-2|
=2．
故答案为：2．
原式利用二次根式性质计算即可求出值．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
12.【答案】m>2
【解析】解：(x1-x2)(y1-y2)<0，
即：x1-x2>0y1-y2<0或x1-x2<0y1-y2>0，
也就是，y随x的增大而减小，
因此，2-m<0，解得，m>2，
故答案为：m>2．
根据(x1-x2)(y1-y2)<0，得出y随x的增大而减小，再根据2-m<0，求出其取值范围即可．
考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性以及适当的转化是解决问题的关键．
13.【答案】3.5或4.5
【解析】解：由图象可以得
自行车的速度为：80÷8=10(km/h)，
摩托车的速度为：80÷(5-3)=40(km/h)，
∴|10x-40(x-3)|=15，
解得x1=3.5，x2=4.5，
∴当x=3.5或4.5时，他们相距15km，
故答案为：3.5或4.5．
先求出自行车和摩托车的速度，再根据他们路程相差15km列出方程，解方程即可．
本题考查了一次函数的应用，解答时分析清楚函数图象的数据含义是关键．
14.【答案】64
【解析】解：由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，
在直角三角形ABD和BCD中，
BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，
即S1+S4=S3+S2=100，
因此S2=100-36=64．
故答案为：64．
利用勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方解答．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
15.【答案】 132
【解析】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD//BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB=4，BC=6，
∴AE=12AB=12×4=2，CF=12BC=12×6=3，
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
∠DPH=∠FCH∠DHP=∠PHCDH=FH，
∴△PDH≌△CFH(AAS)，
∴PD=CF=3，CH=PH，
∴AP=AD-PD=3，
∴PE= AP2+AE2= 32+22= 13，
∵点G是EC的中点，
∴GH=12EP= 132
故答案为： 132．
连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)2 12-6 13+3 48
=4 3-2 3+12 3
=14 3；
(2)(2 3-1)(2 3+1)-(1-2 3)2
=12-1-(1-4 3+12)
=12-1-1+4 3-12
=4 3-2．
【解析】(1)先化简，再算加减即可；
(2)利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17.【答案】解：(1)将数据重新排列为：
54、56、57、59、63、67、70、71、72、73、
73、74、75、77、78、79、79、80、81、81，
83、83、83、83、85、87、88、89、90、91，
91、92、92、93、93、94、95、95、96、98，
a=40×30%=12，b=81+832=82，c=83；
(2)抽取的40名学生的成绩在75≤x≤100的有16+12=28(人)，
∴800×2840=560(人)，
即该校八年级学生共有800人，估计成绩在75≤x≤100的学生大约有560人；
(3)积极参加体质加强训练项目，提升体质水平，争取达到平均分80.5分．
【解析】(1)将这组数据重新排列，再用总人数乘以90≤x≤100对应百分比即可得出a的值，由中位数和众数的定义可得b、c的值；
(2)用总人数乘以成绩在75≤x≤100的学生人数所占比例即可；
(3)答案不唯一，合理均可．
本题考查了统计表、众数、中位数、平均数、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】=
【解析】解：(1)∵AC的长度是小明未拽之前的绳子长，(BC+CE)的长度是小明拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
∴AC=BC+CE，
故答案为：=；
(2)在Rt△CFA中，由勾股定理得：AC= AF2+CF2= 122+52=13(米)，
∵AF=12米，AB=8米，
∴BF=AF-AB=12-8=4(米)，
在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC= CF2+BF2= 52+42= 41(米)，
由(1)可知，AC=BC+CE，
∴CE=AC-BC=(13- 41)(米)，
答：小明向后移动的距离为(13- 41)米．
(1)由绳长始终保持不变即可求解；
(2)由勾股定理求出AC、BC的长，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AC、BC的长是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM=BM，AM//CN，AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC=BC，AM=BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA=90°，
∴四边形AMCN是矩形．
(2)∵∠B=60°，BC=8，∠BMC=90°，
∴∠BCM=30°，
∴Rt△BCM中，BM=12BC=4，CM=4 3，
∵AC=BC，CM⊥AB，
∴AB=2BM=8，
∴▱ABCD的面积为AB×CM=8×4 3=32 3．
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AB//CD，AB=CD，由已知条件得出AM//CN，AM=CN，证出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠CMA=90°，即可得出四边形AMCN是矩形；
(2)根据∠B=60°，BC=8，即可得到CM和BM的长，再根据等腰三角形的性质即可得到AB的长，进而得出▱ABCD的面积．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出CM⊥AB是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC//DE，
∵MN//AB，即CE//AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
(2)①菱； ② 45
【解析】(1)见答案；
(2)解：①四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD//CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=12AB=BD，
∴四边形BECD是菱形；
故答案为：菱；
②当∠A=45°时，四边形BECD是正方形；理由如下：
∵∠ACB=90°，
当∠A=45°时，△ABC是等腰直角三角形，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴四边形BECD是正方形；
故答案为：45．
(1)证出AC//DE，得出四边形ADEC是平行四边形，即可得出结论；
(2)①先证出BD=CE，得出四边形BECD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB=BD，即可得出四边形BECD是菱形；
②当∠A=45°时，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出四边形BECD是正方形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)设甲品牌每件的进价为x元，则乙品牌每件的进价为(x+30)元，
120x=2×120x+30，
解得，x=30
经检验，x=30是原分式方程的解，
∴x+30=60，
答：甲品牌每件的进价为30元，则乙品牌每件的进价为60元；
(2)设该商场购进甲品牌T恤衫a件，则购进乙品牌T恤衫(100-a)件，利润为w元，
∵购进甲种品牌的数量不少于乙种品牌数量的4倍，
∴a≥4(100-a)
解得，a≥80
w=(50-30)a+(100-60)(100-a)=-20a+4000，
∵a≥80，
∴当a=80时，w取得最大值，此时w=2400元，100-a=20，
答：获利最大的进货方案是：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，最大利润是2400元．
【解析】(1)根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用120元购买甲品牌的件数恰好是购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；
(2)根据题意，可以求得购买甲种品牌的T恤衫数量的取值范围，然后列出利润与甲种品牌的T恤衫数量的函数关系，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验．
22.【答案】4
【解析】解：(1)点E在直线y2=x上，点E的横坐标为3．
∴E(3,3)代入直线y1=-13x+b得，b=4，
故答案为：4．
(2)直线y1=-13x+4得与y2=x交于点E，点E的横坐标为3，
由图象可知：当y1≤y2时，x>3．
(3)当x=0时，y=4，
∴B(0,4)，即：OB=4，
∴CD=2OB=8，
∵点C在直线y1=-13x+4上，点D在直线y2=x上，
∴(-13m+4)-m=8或m-(-13m+4 )=8，
解得：m=-3或m=9，
答：m的值为-3或9．
(1)先求出E点坐标，再代入求出b的值，
(2)求出直线y1=-13x+b与x轴交于点A坐标，根据函数的图象可以直接得出当y1≤y2时x的取值范围；
(3)由点B的坐标，可求出OB的长，进而求出CD的长，由于点C、D分别在两条直线上，由题意得CD的长就是这两个点纵坐标的差，因此有两种情况，分类讨论，得出答案．
考查待定系数法求函数的关系式、一次函数与一元一次不等式组的关系等知识，数形结合是解决问题的关键和法宝．
23.【答案】30°
【解析】解：(1)连接AG，A'G，如图②，
由题意：BA=BA'，AG=A'G，
在△ABG和△A'BG中，
AB=A'BAG=A'GBG=BG，
∴△ABG≌△A'BG(SSS)．
∴∠ABG=∠A'BG．
∵EF为矩形ABCD的对称轴，
∴A'E⊥AB，BE=12AB，
∵AB=A'B，
∴BEA'B=12，
∴cos∠A'BE=12，
∴∠A'BE=60°．
∴∠ABH=12∠A'BE=30°，
故答案为：30°；
(2)△HBP是等边三角形，理由：
由(1)知：∠ABG=∠A'BG=30°，
在△ABH和△A'BH中，
AB=A'B∠ABG=∠A'BGBH=BH，
∴△ABH≌△A'BH(SAS)．
∴∠BAH=∠BA'H=90°，
∴∠BHA'=90°-∠A'BG=60°，
∵∠HBP=90°-∠ABG=60°，
∴∠HBP=∠BHP=∠HPB=60°，
∴△HBP是等边三角形；
(3)①当∠PCM=90°时，点M与点D重合，如图，
由(1)知：∠ABP=60°，
∴ADAB=tan60°= 3；
∵AD=BC，
∴BC= 3AB，
∵AB=1，BC=a，
∴a= 3；
②当∠PMC=90°时，如图，
过点M作MN⊥PC于点N，
由(3)①知：AM= 3AB，
由(2)知：△HBP是等边三角形，
∴BH=BP，
∵∠BA'H=90°，
∴BA'⊥HP，
∴HA'=PA'．
∵AD//BC，
∴∠HMA'=∠PBA'，
在△A'HM和△A'PB中，
∠HA'M=∠PA'B∠HMA'=∠PBA'HA'=PA'，
∴△A'HM≌△A'PB(AAS)．
∴MA'=BA'，
∴四边形BPMH为菱形．
∴∠MPH=∠BPH=60°，
∴∠MPC=60°．
∵∠PMC=90°，
∴∠MCP=30°，
∴∠MCD=60°．
∴MDCD=tan60°= 3．
∴MD= 3AB，
∴AD=AM+MD=2 3AB．
∴BC=2 3AB，
∵AB=1，BC=a，
∴a=2 3．
综上，当△MPC是直角三角形时，a的值为 3或2 3．
(1)连接AG，A'G，通过证明△ABG≌△A'BG，可得BG为交点平分线，利用对称性和直角三角形的边角关系即可求得∠ABA'=60°，则结论可求；
(2)利用(1)中的方法解答即可；
(3)利用分类讨论的方法分两种情况推论解答：①当∠PCM=90°时，点M与点D重合，利用(1)的结论和直角三角形的边角关系即可求解；②当∠PMC=90°时，过点M作MN⊥PC于点N，证明四边形BPMH为菱形，则可得∠MPC=60°，同①的方法解答即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，轴对称的性质，特殊角的三角函数值，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，本题是操作型题目，理解题干中的每一步骤产生的结论，同时注意结论的延续性是解题的关键．
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