人教版数学小升初暑假衔接 专题08 绝对值（原卷版+解析版）

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专题08 绝对值

1.理解并掌握绝对值的代数意义和几何意义；
2.会求已知数的绝对值；能解含绝对值的方程；
3.能利用绝对值的意义求最值。

【思考2】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？


【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系?


1.绝对值
1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：
2.有理数的比较大小
1）两个负数，绝对值大的反而小．
2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ；
③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ；
⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ．

考点1、绝对值的概念与意义
【解题技巧】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a.
例1．（2023·江苏南通·统考二模）（    ）
A． B． C． D．2
例2．（2023·福建莆田·七年级统考期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（　　）
A．原点两旁 B．任何一点 C．原点右边 D．原点或其右边
例3．（2023·河北保定·校考模拟预测）下列说法错误的是（     ）
A．相反数是它本身的数是 B．绝对值是它本身的数是正数
C．的绝对值是它本身 D．有理数的相反数仍是有理数
变式1．（2023·四川遂宁·七年级校考阶段练习）的绝对值是( )；绝对值等于8的数是( )．
变式2．（2023·四川广安·统考二模）的绝对值的相反数是（    ）
A．2023 B． C． D．
变式3．（2022秋·甘肃庆阳·七年级统考期中）下列说法正确的是（    ）
A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小
C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
变式4．（2022·河南驻马店·七年级校考期末）如果，下列的取值不能使这个式子成立的是（    ）
A． B．0 C．1 D．取任何负数

考点2、绝对值方程
【解题技巧】根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。
例1．（2022秋·广东东莞·七年级校考阶段练习）已知，则_____．
例2．（2022秋·湖南岳阳·七年级校考阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得；
所以原方程的解是或．
(1)解方程：．
(2)当为何值时，关于的方程．①无解；②只有一个解；③有两个解．



变式1．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）若，则的值为_____．
变式2．（2022春·河北承德·七年级统考期中）数轴上，表示与2的点之间的距离是，表示与的点之间的距离是，即数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差，若不知道数轴上两数的大小，则表示数与的点之间的距离可以表示为，利用上述结论解决如下问题．
若，求的值．



考点3、绝对值的化简求值
【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.④化简.
注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。
例1．（2023秋·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且，则（   ）
A． B． C．4 D．-2
例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图：

(1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______；
(2)化简：．


变式1．（2023·河南焦作·七年级校考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且

(1)若，求a的值．(2)用“”把a，，b，c连按越来．



变式2．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知有理数，，，且．

(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；(2)化简：．



考点4、绝对值的非负性
【解题技巧】（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且b=0．（2）。
例1.（2023·绵阳市·九年级一模）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
例2．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）代数式的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023秋·甘肃酒泉·七年级统考期末）若，则 _______．

考点5、有理数大小比较
【解题技巧】有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
例1．（2023·山东聊城·统考二模）有理数，，0，中，绝对值最大的数是（    ）
A． B． C．0 D．
例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·重庆九龙坡·一模）在，，0，8，这四个数中，绝对值最大的数是（    ）
A． B． C．0 D．8
变式2．（2022秋·浙江·七年级统考开学考试）下列两数比较大小，正确的是（    ）
A． B． C． D．
变式3．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，其中A，B两点间的距离与B，C两点间的距离相等，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在（    ）

A．点A的左边 B．点B与C之间，靠近点B
C．点A与B之间，靠近点A D．点A与B之间，靠近点B

考点6、绝对值的实际应用
【解题技巧】常见三种应用：
1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；
2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关；
3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。
例1．（2023秋·河北廊坊·七年级校考期末）小杨同学检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（    ）
A． B． C． D．
例2．（2022·河南·商丘市七年级期末）创建文明城期间，一天上午，志愿者小明从柒悦城出发，乘坐3路公交车，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，3路车为神火大道上南北方向直线上的公交线路，小明坐车范围北起火车站，南至香君路口，途中共设12个上下车站点，如图所示：

下午，小明到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7；若相邻两站之间的平均距离为0.8千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？



变式1．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为0.13mm，第二个为mm，第三个为mm，第四个为0.15mm，则质量最好的零件为（    ）
A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个
变式2．（2022·浙江·七年级专题练习）一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?









考点7、绝对值的几何意义
【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离
（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
例1.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______．

例2.（2022·湖南邵阳·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时：

（1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则

（2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则

（3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则

回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________．
(2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________．
(3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离_________．如果，则x的值为________．
(4)若代数式有最小值，则最小值为_______________．

变式1.（2022·河南安阳·七年级期末）若x为任意有理数，表示在数轴上x表示的点到原点的距离，表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则的最小值为________．
变式2.（2023•广西七年级月考）同学们都知道，|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝　 　．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，这样的整数是　 　．

变式3．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为_________.


























A级（基础过关）
1．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）的相反数（　　）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）、、、四个点在数轴上的位置如图所示，则这四个点表示的四个数中绝对值最大的是（    ）

A． B． C． D．
4．（2022秋·四川眉山·七年级校考期中）下列说法正确的有（    ）
①0是绝对值最小的有理数；②相反数大于本身的数是负数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④两个数比较，绝对值大的反而小．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022·重庆初三模拟）下列命题正确的是（　　）
A．绝对值等于本身的数是正数 B．绝对值等于相反数的数是负数
C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值相等的两个数互为相反数
6．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，则将有理数，1，按从小到大的顺序用“＜”连接起来是_____．

7．（2022秋·新疆阿克苏·七年级统考期中）的最小值是______．
8．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知有理数、、，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是 ______ ．

9．（2022秋·广东揭阳·七年级统考期末）若，则______．
10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如果，那么_____．
11．（2023秋·广东云浮·七年级校考期末）比较大小：_________．（填“>”“