资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩22页未读，
继续阅读
所属成套资源：人教版数学小升初暑假衔接（原卷版+解析版）
成套系列资料，整套一键下载
人教版数学小升初暑假衔接 专题19 绝对值的化简与最值问题 专项讲练（原卷版+解析版）
展开
这是一份人教版数学小升初暑假衔接 专题19 绝对值的化简与最值问题 专项讲练（原卷版+解析版），文件包含人教版数学小升初暑假衔接专题19绝对值的化简与最值问题专项讲练解析版docx、人教版数学小升初暑假衔接专题19绝对值的化简与最值问题专项讲练原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
专题19 绝对值的化简与最值问题 专项讲练
1.最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
2.绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重难点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型。
1.目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
无法确定
当时
的值为定值，即为
当
无法确定
结论：式子在时，取得最小值为。
2.目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
的值为定值，即为—
当时
当
的值为定值，即为
结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
3.最小值规律：
①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；
③当有（奇数）个绝对值相加：
且，则取中间数，即时，取得最小值；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，
则取中间段，即当时，取得最小值为：。
4.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。
5.已知范围的绝对值化简步骤：
①判断绝对值符号里式子的正负；
两数相减：
大的数－小的数＞0，转化到数轴上：右－左＞0；小的数－大的数＜0，转化到数轴上：左－右＜0.
两数相加：
正数＋正数＞0，化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；负数＋负数＜，化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；
正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.
②将绝对值符号改为小括号：
若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.
③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.
④化简（合并同类项）.
考点1、两个绝对值的和的最值
例1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6
【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；
（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；
（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．
【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和，
当点在线段上，，
当点在点的左侧或点的右侧时，，
的最小值是5；
（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，
当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则范围为或；
（3）解：当为或时，代数式为或，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，
因此当为或时，原式的最小值是．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________．
【答案】 6
【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可；
【详解】当时，，∵，∴；
当时，；
当时，，∵，∴；
综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．
故答案是：6；．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键．
变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：
①如图2，点A、B都在原点的右边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
【答案】(1)3，3，4(2)，1或-3(3)
【分析】（1）根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离， 紧紧抓住在数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣解题即可．（2）根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值．（3）把原题看成点x到点-1和点2的距离之和，即可得到答案．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为；故答案为：3，3，4；
（2）解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，
根据题意得，即，所以x=1或-3，故答案为，1或-3；
（3）解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及绝对值，重点是读懂题干的两点间的距离以及绝对值的意义是解题的关键．
考点2、两个绝对值的差的最值
例1．（2022秋·重庆·七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若，则_______，若，则_______；
（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若，则x能取到的最大值是_______；（4）关于x的式子的取值范围是_______．
【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为，|x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等，
因此到3和-1距离相等的点表示的数为=1，故答案为：0，1；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3，
因此x的最大值为3，最小值为-1；故答案为：-1，3；
（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得，x≤-1，即x的最大值为-1，故答案为：-1；
（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|+|x+1|最小值为3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案为：大于或等于3．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
【答案】 3 -9
【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．
【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴，
当时，，
当x＞1时，
∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
变式2．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．
提出问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？
探究问题：探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．
当b＝2时，，如图1所示；当b＝－3时，，如图2所示；
由此可以推断当b＝n时，______．
探究二：如果A，B两点都不在原点，即，．
（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：；
（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；
（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．
解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）
实际应用：（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；
（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．
拓展延伸：结合数轴回答下列问题：（1）的最小值是_____；（2）的最大值是______．
【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9
【分析】探究一：根据绝对值的概念可得；
探究二（2）根据绝对值的概念计算即可；（3）根据绝对值的概念计算即可；
解决问题：根据绝对值的概念计算即可；
实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念列方程解答即可；
拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念计算即可．
【详解】探究一：当b＝n时，，故答案为：n；
探究二：（2），故答案为：；
（3），故答案为：；
解决问题：，故答案为：；
实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是，故答案为：5；
（2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，
∴，∴或，得或，故答案为：7或；
拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4，
∴的最小值是4，故答案为：4；
（2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9，
∴的最大值是9，故答案为：9．
【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法．
考点3、多个绝对值的和的最值
例1．（2022秋·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是 ．
（二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是 ．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有 个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是 ．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是 ．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是 ．
【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15．
【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得；
（二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得；
（2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可；
（4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可．
【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11．
（二）（1）解：，，或，故答案为8或．
（2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
，是整数，共6个；故答案为：6．
（3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，
当时，有最小值，
最小值为：=2025；故答案为：2025．
（4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，
当时，取最小值，
即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031．
（5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，
当时有最小值，
即最小值==15，故答案为：15．
【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键．
变式1．（2022秋·全国·七年级专题练习）【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；(4)的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3(2)2；2(3)6(4)1021110(5)
【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值；
（5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围．
【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3
故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3
（2）当a取中间数2时，绝对值最小的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2
（3）当a取最中间数时，绝对值最小的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
的最小值为：
故答案为：1021110
（5）a使它到－1，2的距离之和小于4
①当时，则有解得：；
②当时，则有
③当时，则有解得：
综上，a的取值范围为：故答案为：
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．
变式2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．
(4)若，则式子的最小值为 _______．
【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54
【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案；
（3）由题意得到，，则，即可得到答案；
（4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和，
∵，∴，故答案为：7；
（3）∵，，
∴，故答案为：4
（4）∵，
∴
，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，
只能取，
当时，有最小值，
此时原式＝＝54，故答案为：54．
【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
考点4、绝对值的最值的其他应用
例1．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．
【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，共有12种不同的结果，故②错误；
③∵，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
∴当，，都取最小值时，
，
此时，的最小值为，故③正确；故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
变式1．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______．
【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【详解】（1）解：，故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，∴，解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，有最小值1，故答案为：1；
②由题意可知：，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
∴的最小值：．故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
变式2．（2022·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9
【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）根据题意可得由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，然后分别求出每个数列的价值，即可求解；
（3）根据题意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根据这些数列的价值的最小值为1，即可求解．
【详解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴数列﹣2，7，1的价值为2；
（2）解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：
数列﹣2，7，1；数列﹣2，1，7；数列7，﹣2，1；数列7，1，﹣2；数列1，7，﹣2；数列1，﹣2，7；
由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；
∵|﹣2|＝2，，，∴数列﹣2，1，7的价值是 ；
同理可求：数列7，﹣2，1的价值是2；数列7，1，﹣2的价值是2；数列1，7，﹣2的价值是1；
数列1，﹣2，7的价值是；综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2；
（3）解：若这些数列的价值的最小值为1，
则或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8，
当a＝5时，，∴a＝5不符合，舍去；
当a＝8时，则，∴a＝8，不符合，舍去；综上，a的值为2或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
考点5、绝对值的化简
例1．（2022秋·山东潍坊·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则的值为___________．
【答案】/
【分析】根据数轴得到，，，，根据绝对值的性质去掉绝对值，化简即可得到答案．
【详解】解：，，，
原式故答案为：
【点睛】此题考查了实数与数轴、绝对值，掌握正数的绝对值等于正数，负数的绝对值等于它的相反数是解题关键．
例2．（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则____________．
【答案】3
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可
【详解】，，，，，
，，三个数中有两负一正，
当，为负，为正数时，
当，为负，为正数时，
当，为负，为正数时，
共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，
，，，故答案为：3
【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键
变式1.（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．
【详解】根据数轴上点的位置得：，且，
则，，，则．故选A．
【点睛】本题考查数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．
变式2．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【答案】(1)，1，(2)或3(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；
（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；
（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．
【详解】（1）解：，，，故答案为：，1，．
（2），
，，，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时：原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式，原式或3．
（3）∵有个正数，负数的个数为，
．故答案为：．
【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．
考点6、绝对值的方程
例1.（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子（表示，例如：5和的距离可用或表示．
(1)【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为或所以，方程的解为___（直接写答案，不离过程）．
(2)【知识拓展】我们在解方，可以设A表示数5，B表示数，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得，因为，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是．类似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；
(3)【拓展应用】解方程
【答案】(1)或(2)不唯一；(3)或
【分析】（1）将方程的解看作在数轴上找一点P与的距离为2，进而可得方程的解；
（2）类比题干中的求解方法，进行求解即可；
（3）由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：①若P点在A，B之间，表示出的值，然后列方程求解；②若P点在A点的左边，表示出的值，然后列方程求解；③若点P在B点的右边，表示出的值，然后列方程求解．
(1)解：方程的解，可以看作在数轴上找一点P与的距离为2
∴或 故答案为：或．
(2)解：由题意知，设A表示数，B表示数6，P表示数x，
∴该方程可以看作在数轴上找一点P使得，
∵，∴P在线段AB上都可，∴该方程有无数解，x的取值范围是
故答案为：不唯一；．
(3)解：由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：
①若P点在A，B之间则（不合题意，舍去）
②若P点在A点的左边则∴
③若点P在B点的右边 ∴
综上所述：原方程的解为或．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上点的距离．解题的关键在于明确绝对值的意义．
例2．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足的x的值是（ ）．
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先将范围分类，再去绝对值进行运算，最后核对选项即可．
【详解】时，，，舍去；
时，
得，∴或，得，满足，可取；
时，，舍去；
综上所述，故选C．
【点睛】本题考查复杂的含有绝对值的一次方程，遇到绝对值须先判断绝对值内式子正负，在不确定范围的情况下，按照绝对值为0进行未知数范围的分类讨论是常见的办法．对未知数进行范围分类而去除绝对值是解题的关键．
变式1．（2022·河南安阳市·七年级期末）阅读下面材料：
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离．
回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_______；
数轴上表示数和的两点之间的距离表示为_______；
数轴上表示数_______和_______的两点之间的距离表示为；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在与之间移动时，的值总是一个固定的值为：_______．②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数_______．
【答案】（1）3；|x−3|；x，-2；（2）5；−3或4．
【分析】（1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可；
（2）①先化简绝对值，然后合并同类项即可；②分为x＞3和x＜−2两种情况讨论．
【详解】解：（1）数轴上表示−2和−5的两点之间的距离为：|−2−（−5）|=3；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离为：|x−3|；
数轴上表示数x和−2的两点之间的距离表示为：|x＋2|；故答案为：3，|x−3|，x，-2；
（2）①当x在-2和3之间移动时，|x＋2|＋|x−3|=x＋2＋3−x=5；
②当x＞3时，x−3＋x＋2=7，解得：x=4，
当x＜−2时，3−x−x−2＝7．解得x=−3，∴x=−3或x=4．故答案为：5；−3或4．
【点睛】本题考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键．
变式2．（2022秋·成都市七年级期中）问题背景
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．
问题探究(1)若，则 ．(2)若，则 ．(3)若，则 ．
问题解决(4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 ．
【答案】(1)或 (2)(3)或 (4)5或4
【分析】（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可；
（2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可；
（3）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可：
（4）先分类讨论求出m为3或，再根据绝对值的意义求出，最后求出的值即可．
【详解】（1）解：∵，∴或，
解得：或．故答案为：或．
（2）解：分三种情况讨论：
①时，化简为：，此方程无解；
②时，化简为：，解得；
③时，化简为：，此方程无解．故答案为：．
（3）解：分三种情况讨论：
①时，，化简得：，解得；
②时，，化简得：，此方程无解；
③时，，化简得：，解得．
故答案为：或．
（4）分三种情况讨论：
①时，，化简，解得；
②时，，化简，此方程无解；
③时，，化简，解得．∴m为3或，
∵表示数轴上的点到，，这三个点的距离之和，
∴当时，的值最小，
∴或． 故答案为：5或4．
【点睛】本题考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分类讨论．
A级（基础过关）
1.（2022·河南周口·七年级期末）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是( )
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】先根据数轴求出－1
2．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】以和3为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【详解】解：如图，
当时，，，
；
当时，，，；
当时，，，；
综上所述，当时，取得最小值，
所以当取得最小值时，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和3为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
3．（2023秋·四川达州·七年级统考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ___________．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，再利用绝对值的代数意义化简、去括号、合并同类项即可解答．
【详解】解：由数轴上点的位置得：，且，
，，，
则原式．故答案为：．
【点睛】本题考查数轴、绝对值、去括号、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)________；(2)表示与________之间的距离；表示与________之间的距离；
(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）
(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．
【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；
（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（3）利用绝对值及数轴求解即可；
（4）根据数轴及绝对值，即可解答．
【详解】（1）解：表示数轴上表示3的点到表示的点的距离，即为5．故答案为5．
（2）解：表示与2之间的距离；表示与之间的距离．故答案为：2，．
（3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到2和所对应的点的距离之和为5，
∴当x在与2之间的线段上（即），∴可取整数．故答案为：2（答案不唯一）．
（4）解：∵理解为：在数轴上表示x到和6的距离之和，
∴当x在与6之间的线段上（即）时，即的值有最小值，最小值为．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值等知识点，掌握整式加减、去绝对值符号以及数轴的特点是解答本题的关键．
6．（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时：
（1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则
（2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则
（3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则
回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________．
(2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________．
(3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离__________．如果，则x的值为___________．
(4)若代数式有最小值，则最小值为_______________．
【答案】(1)(2)8(3)，(4)7
【分析】（1）根据数轴上A，B两点的位置即可得出答案；（2）按照数轴上的位置进行计算即可；
（3）根据数轴进行计算，列方程解绝对值方程即可；（4）根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】（1）解：综上所述，数轴上两点A和B之间的距离；故答案为：；
（2）解：数轴上表示3和的两点A和B之间的距离；故答案为：8；
（3）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离
如果，∴，∴或，
解得或，则的值为-2或-8；故答案为；-2或-8；
（4）解若代数式有最小值，的值即为-5与2两点间的距离，此时最小，最小值为|2−（−5）|＝7，则最小值为7．故答案为7．
【点睛】本题考查了实数与数轴，以及绝对值，绝对值方程，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
7．（2022秋·浙江·七年级专题练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）计算_____________；（2）使得这样的整数有____________（写出所有符合条件的整数）；（3）由以上探索猜想对于任何有理数，式子是否有最小值？如果有，请写出其最小值，如果没有，请说明理由．
【答案】（1）7；（2），，，，，0，1；（3）有，最小值为5.5．
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．
【详解】解：（1）原式=|5+2|=7故答案为：7；
（2）令x+5=0或x-1=0时，则x=-5或x=1
当x＜-5时，∴-（x-1）-（x+5）=6，-x+1-x-5=6，x=-5（范围内不成立）
当-5≤x≤1时，∴-（x-1）+（x+5）=6，x+5-x+1=6，6=6，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1
当x＞1时，∴（x-1）+（x+5）=6，x-1+x+5=6，2x=2，x=1，x=1（范围内不成立）
∴综上所述，符合条件的整数x有：-5，-4，-3，-2，-1，0，1；
（3）令x-2=0或x+3.5=0时，则x=2或x=-3.5
当时，
当时，
当时，
∴对于任何有理数x，式子|也有最小值，为5.5
【点睛】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
8．（2022·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）同学们知道，是数轴上表示数的点与原点的距离，，那么就是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．
（1），则的值为 ；（2）若为整数，且，则的值为 ；
（3）若，求的值．
【答案】（1）或；（2），，，；（3）或
【分析】（1）的意义是到表示的点的距离是5的点的坐标；
（2）的意义是表示到表示和表示的点的距离之和是3的点的坐标；
（3）的意义是表示到表示和表示的点的距离之和是4的点的坐标．
【详解】解：（1），解得：或；
（2），
当时，，，
当时，，解得：（舍去），
当时，，解得：（舍去），
综上：，，，；
（3）若数轴上表示数的点在表示的点左侧，
则，解得；
若数轴上表示数的点在表示的点与表示的点之间（包括和），则．
若数轴上表示数a的点在表示3的点右侧，则，解得．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了绝对值、数轴，解题的关键是理解并应用绝对值．
9．（2022秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____；
(2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；
(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)3，5，1或(2)6(3)当时，式子的值最小，最小值是9，理由见解析
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）先确定a+4、a-2的正负，然后再化简绝对值，最后再合并同类项即可；
（3）根据表示一点到-5，1，4三点的距离的和．即可求解．
【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；
表示-3和2两点之间的距离是2-（-3）=5；
依题意有|a-（-2）|=3，∴a-（-2）=3或a-（-2）=-3解得a=1或-5．故答案为：3，5，1或-5．
（2）解：∵数a的点位于-4与2之间，∴a+4＞0，a-2＜0∴|a+4|+|a-2|=a+4-a+2=6．
（3）解：∵表示一点到-5，1，4三点的距离的和．
∴当a=1时，式子的值最小，∴的最小值是9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
10．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x，
如图①，当时，；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当时，_______；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，
∴，，∴在时有最小值为_______．
（2）直接应用：求的最小值．
（3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______．
【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）．
【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案；
（2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案；
（3）根据（1）可得到当时最小值，即可得到答案．
【详解】（1）I．解：由题意可得，
当 时，，
当时，故答案为，；
II．由题意可得，在时有最小值为5，故答案为5；
（2）解：由（1）可得，当x在 ，4两点之间时最短，
即当时，的最小值，最小值为，
故的最小值为9；
（3）由（1）可得，表示到1，6， 三点的距离之和，
∴可得到当时最小值，
最小值为：，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大亮点之间．
11．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值．
(2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值．
【答案】(1)(2)a的最大值为7
【分析】（1）直接化简绝对值即可得到答案；
（2）分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，∴；
（2）解：当时，；
当时，
当时，；
当时，；
∴要使得无论p取何值都成立，a的最大值为7．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，熟知化简绝对值的方法是解题的关键．
B级（能力提升）
1．（2022·广东广州·七年级校考期中）如图，、、、是数轴上的四个整数所对应的点，且，而数在与之间，数在与之间，若，且、、、中有一个是原点，则此原点可能是（ ）
A．点或点 B．点或点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】先根据图形和已知条件找出各线段长度，然后由推测原点位置．
【详解】解：由“B-A=C-B=D-C=1且数m在A与B之间，数n在C与D之间”可以得出：
①当原点是B点或C点时， 与已知相矛盾，故原点不可能是B点或C点；
②当原点在A点或D点且时， ，
综上可知：数轴原点可能是A点或D点． 故选A．
【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，解决本题的关键在于理解绝对值的几何意义．
2．（2022秋·山东七年级课时练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6 B．2 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【详解】，或，或，
当时，等价于，即，
或，或；
当时，等价于，即，
或，或，故或或或，
所有满足条件的数的和为：．故答案为：D
【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏．
3.（2022·浙江·温州七年级期中试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【答案】C
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a＝3，b＝﹣3．故选：C．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
4．（2022秋·广西·七年级期末）对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则______．（用含的式子表示）
【答案】9﹣3|x﹣1|
【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结果．
【详解】解：依题意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，① |x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，②
|x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③ |x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④
由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立，
由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立，
同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤
x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥ x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦
3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6，
∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|． 故答案为：9﹣3|x﹣1|．
【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果是否正确．
5．（2022·湖南·长沙市怡海中学七年级阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
（1）求数轴上点B所对应的数b；
（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；
（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 ，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 ．
【答案】（1）；（2）或；（3），
【分析】（1）根据的距离求得单位为多少cm，再根据长度求得的距离即可求解；
（2）设点表示的数为，求得P到A的距离和P到B的距离，列方程求解即可；
（3）对点Q在数轴上表示的数x，分情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得的距离为，的长度为，的长度为
由此可知一个单位长度为则的距离为
在的右边，∴数轴上点B所对应的数为；
（2）设点表示的数为，则P到A的距离为，P到B的距离为
由题意可得：，即或解得或故答案为或
（3）当时，，
∴
当时，，
∴
当时，，
∴
综上所述的最小值为，的最大值为故答案为，
【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质．
6．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由．
【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7．
【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得；
（2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得；
（3）由（2）的方法去绝对值，即可得．
【详解】（1）解：，故答案为：7；
（2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在；
当时，，
此时，使得的整数是、、、、、0、1、2；
当时，，解得（舍去），故此种情况不存在；
故答案为：、、、、、0、1、2；
（3）解：有最小值，最小值是7，
由（2）的探索可得，当时，，
故有最小值，最小值是7．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
7．（2022·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么．
(1)若，则x的值为 ．
(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立．
(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：
当时，点P叫点A的1倍伴随点，
当时，点P叫点A的2倍伴随点，……
当时，点P叫点A的n倍伴随点．
试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5或1 (2)-2、-1、0、1
(3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1
【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解；（3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得
，然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)解：∵，∴在数轴上到3和x的点的距离为2，∴x=5或x=1，故答案为：5或1；
(2)解：∵，∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，
∵，∴，∵ x是整数，∴x取-2、-1、0、1；故答案为：-2、-1、0、1；
(3)解：存在，理由如下：设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，
∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，
∴，∴，
当时，，∴，即AB=1；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=1；
综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料：
点在数轴上分别表示两个数，两点间的距离记为，O表示原点．当两点中有一点在原点时，不妨设点A为原点，如图1，则；当两点都不在原点时，
①如图2，若点都在原点的右边时，；
②如图3，若点都在原点的左边时，；
③如图4，若点在原点的两边时，．
回答下列问题：
(1)综上所述，数轴上A、B两点间的距离为 ．
(2)若数轴上的点A表示的数为2，点B表示的数为，则A、B两点间的距离为 ；
(3)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为，则 ，若，则x的值为 ；
(4)代数式的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围是 ．
(5)满足的x的取值范围是 ．
【答案】(1)(2)(3)；2或(4)；(5)或
【分析】（1）观察阅读材料可得答案；（2）根据（1）的公式可得答案；
（3）由数轴上两点之间的距离公式可得答案；（4）求出的范围，即可得出最小值；
（5）根据题意可知到和到的距离之和大于，而之间的距离为，所以只能在的左边或的右边，据此解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，故答案为：；
（2）A、B两点间的距离为，故答案为：；
（3），∵，∴，∴，解得或；
故答案为：；2或
（4）∵表示数轴上某点到表示的点与2表示的点的距离之和，
∴当这个点在表示的点与2表示的点之间时，最小，等于，
即取得最小值时x的取值范围，故答案为：；；
（5）∵表示数轴上某点到表示的点与表示的点的距离之和，
当在表示的点与表示的点之间时，的值最小为，
∴在的左边或的右边时，，即或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．
9．（2022秋·重庆·七年级期末）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝ ．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 ．
③当x＝ 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为
【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；
（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；
（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值．
【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，故答案为：﹣2，6；
（2）解：∵折叠后点B和点C重合，∴BC的中点为折痕点，∴折痕点对应的数是2，
∴点A与数字9重合，故答案为：9；
（3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，
∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，故答案为：3；
②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和，
∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，
∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴，∴满足条件的所有整数x的和是4，故答案为：4；
③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和，
∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4，
∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案为：4；
④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，
表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和，
∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，
∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键．
10．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
【答案】(1)4；1(2)或4；4(3)存在；或2
【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
（2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3，∴，，
∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1；故答案为：4；1．
（2）解：当时，，解得：；
当时，，
∴当时，不存在x的值使；
当时，，解得：；
∴时，或；
当时，，
当时，，
当时，，
∴的最小值为4；故答案为：或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
解，∴，解得：，∴点S表示的数为6，
当时，由得：，解得：；
当时，由得：，解得：；
当时，由得：或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
11．（2022秋·山西朔州·七年级校考阶段练习）问题提出
(1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为．
代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________．
(2)问题探究：如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________．
(3)问题解决：同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？
【答案】(1)3；(2)3，2，7；
(3)当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米．
【分析】（1）根据数轴的意义即可得解；（2）分四种情况分析点到三个点距离的和，通过比较确定最小值，从而求出所表示的数及运动的时间即可；（3）根据两点间的距离即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数的点到表示数的点与表示数的点的距离之和，∴的最小值为，故答案为：；
（2）解：根据题意，设点表示的数为，当时，点到，，三点的距离和是：；
当时，点到，，三点的距离和是：，且；
当时，点到，，三点的距离和是：，且；
当时，点到，，三点的距离和是：，且；
∴当时，点到，，三点的距离和最小值在范围内，
当即时，点到，，三点的距离和最小值是7，点所处位置对应的数字为2，
当时，点出发时间是：（秒）；
故答案为：3，2，7；
（3）解：，
当点在或之间时，最小，为800米，
当点在或之间时，最小，为600米，
当点在或之间时，最小，为400米，
当点在或之间时，最小，为200米，
当点在位置时，最小，为0米，∴最小距离和为：（米），
∴当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米．
【点睛】本题考查数轴，绝对值的几何意义以及两点间距离，解题的关键是熟练运用数形结合的思想．
C级（培优拓展）
1．（2022·浙江·九年级自主招生）若关于x的方程有四个实数解，则化简的结果是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而对题中的绝对值进行化简．
【详解】由有四个实数解，可知a、b均不为0，且，故，∴，
化简得可知，
∴，
∴故选：C．
【点睛】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义是难点，会判断绝对值符号中的每个代数式的正负是化简的关键．
2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．
【答案】8.5．
【分析】先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可．
【详解】∵﹣1≤x≤3，
当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值为5，最小值为4.5；
当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值为5，最小值为3.5，
∴最大值与最小值之和为8.5；
故答案为：8.5．
【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键．
3．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）我们对多边形的每条边都赋给一个特征值，将顶点的特征值确定为相邻两边特征值差的绝对值，称第1次“运算”；再将边的特征值确定为相邻两端点特征值差的绝对值，称第2次“运算”；如图1是三角形经过两次“运算”的示意图，如图2，已知某长方形的四边的特征值分别为m，1，6，3，若这个长方形经过三次“运算”后，各顶点的特征值都为0，则满足条件的正整数m的值为___________．
【答案】8或4
【分析】根据题意得出三次变换后的结果，即可得出结论
【详解】解：有题意的：
第一次变换：
第二次变换:
∵第三次变换后特征值都为0，
∴， 解得：或，故答案为：8或4．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用以及新定义，解题的关键是要读懂题意．
4．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）实数a，b满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】利用绝对值的定义：“绝对值代表与原点的距离”可知答案．
【详解】解：∵，∴，
表示a到，2的距离与b到的距离之和为8，
∵时， 时，，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键．
5．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下面的材料，然后回答问题．
在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等到的距离．
如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D的这一段，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择．
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置．
(1)有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？
(2)有n台机床时，P应设在何处？
(3)根据（2）的结论，求 的最小值．
【答案】(1)有台机床时，P应设在第台处，有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方(2)当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置，当n为奇数时，P应设在第台的位置
(3)．
【分析】（1）根据阅读材料即可求解；（2）根据（1）中所得结论，可以分两种情况寻找到规律即可求解；
（3）根据连续整数的和的计算公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，直线上有3台机床，供应站P应设在最中间一台机床处，
直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方，
有5台机床，P应设在第3台位置…，所以有 台机床时，P应设在第台处，
有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方；
（2）解：当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置，
当n为奇数时，P应设在第台的位置；
（3）解：∵，
∴当 时，代数式取到最小值，
∵，∴最小值是．
【点睛】本题考查了图形的变化规律、数轴、绝对值，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
6．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)和6关于2的“相对关系值”为_____；(2)若和3关于1的“相对关系值”为7，求的值；
(3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，，和关于101的“相对关系值”为1．
①的最大值为_____；②直接写出所有的值．（用含的式子表示）
【答案】(1)；(2)或；(3)①3；②或或
【分析】（1）根据“相对关系值”的定义，求解即可；
（2）根据“相对关系值”的定义，列方程，求解即可；
（3）①根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②分五种情况计算即可．
【详解】（1）解：根据“相对关系值”的定义，可得故答案为：；
（2）由题意可得：，即，解得或；
（3）①根据题意得，，分四种情况：
当时，，则；
当时，，则，得到；
当时，，则，得到；
当时，，则，由此可知的最大值为3；
②分五种情况，当时，，解得，
由可得，，……可得，
；
当时，，，此种情形不存在；
当时，，，……，
∴，，……，，∴，即，
，即，同理可得：，……，，
∴，，，……，，
；
当时，由可得，即，此种情形不存在；
当时，可得，，……，，
∴，，，，
；
综上，的值为或或．
【点睛】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“相对关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质．
7．（2022秋·河南信阳·七年级校考期中）对于数轴上的两点给由如下定义：两点到原点O的距离之差的绝对值称为两点的“绝对距离”，记为．例如，两点表示的数如图（1）所示， 则．
(1)两点表示的数如图（2）所示．①求两点的“绝对距离”；
②若点为数轴上一点（不与点O重合），且，求点表示的数；(2)点为数轴上的两点．（点在点左侧）且，， 请直接写出点表示的为___________．
【答案】(1)①2；②2或；(2)或
【分析】（1）①根据绝对距离的定义即可解题；②由题意可求出，再根据绝对距离的定义即可解题；（2）由题意可知，即得出或．再分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时和③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，结合，即可求解；
【详解】（1）①；
②∵，，∴，∴，
∴或，解得：或2，
∵C点不与O点重合，∴点C表示的数为2或；
（2）由题可知，∴或．
∵点M在点N左侧，故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，∴．
∵，∴，∴此情况不存在；
②当M，N都在原点的右侧时，∵，∴，∴此情况不存在；
③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，∵，∴．
∵或，∴或，
∴点M表示的数为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查绝对值实际应用，数轴上两点之间的距离．读懂题意，理解绝对距离的概念是解题关键．
8．（2022秋·全国·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点与点之间的“直角距离”为．已知点，点．
(1)A与两点之间的“直角距离”______；
(2)点为轴上的一个动点，当的取值范围是______时，的值最小；
(3)若动点位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域（用阴影表示）．
【答案】(1)6(2)(3)见解析
【分析】(1)根据定义即可求得；(2)根据定义可得，再分段讨论即可求得
(3) ，则，根据定义，计算出即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，故答案为：6；
（2）解：根据题意得：
当时，，，，故此时不存在最小值，
当时，，，，故此时的最小值为6，
当时，，，，故此时不存在最小值，
综上，当时，的值最小；故答案为：；
（3）设点P(x，y)∵点P在第二象限，∴x<0，y>0
；
=
①当0
若-3
当0
②当1
若-3
当1
③当y>2时=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）-1=-6（不符合题意）若-3
【点睛】本题考查了新定义运算，理解题目中新定义运算的概念是解题的关键，在去掉绝对值符号时，注意分清楚绝对值符号里面的正负，若不知道正负，则应该分类讨论．
9．（2022秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 ．(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．
【答案】(1)， （答案不唯一）(2)(3)0
【分析】（1）根据材料1列出算式，再根据绝对值的意义可求解，答案不唯一．（2）根据材料1列出算式，再分类讨论，再根据绝对值的意义可求解．（3）因为x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，所以>| |，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解．
【详解】（1）解：V（A4）=| |+||+||=4，∴| |+||+||=4，
当， ，V（A4）=| |+||+||=4
（2）解：| |+||+||=3，即| |+||+||=3
①2≤a<3时，| |+||+||=3，所以 ，解得以a=1，但不符合题意，舍去．
②a≤2时，| |+||+||=3所以 ，解得以 ，符合题意．
③a>3时，| |+||+||=3所以，，解得以 ，符合题意．
综上所述，或．
（3）解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数
∴>| |，>||，>||，>||，>0，
∴0≤| |+||+||+||≤
∴0≤V（A5）≤a ∴V（A5）的最小值为0．
【点睛】本题是一道综合题，正确理解题意、熟练掌握去绝对值的方法是解决本题的关键．
10．（2022秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）定义表示数轴上两数对应点间的跑离．①分别求，的值；②若，求的值；
③若数轴上不同的三点所表示的数满足，试说明的大小关系．
【答案】①8，3；②3或﹣1；③ m
②根据D (a, b) =|a-b|表示数轴上a，b两数对应点间的距离代入求出即可;③根据①中所求，得出由D(m,n)=D(m,z)+D(z, n)得出: |m-n|= |m-z|+|z-n|，故m-n, m-z, z-n必须同号，进而求出结论即可.
【详解】解：①∵定义D (a, b)= |a-b|表示数轴上a, b两数对应点间的跑离．
∴=|0-(-8) |=8 =
②∵∴,即解得=3或-1
③∵D (a, b) =|a-b|,∴由D (m, n) =D (m, z)+D (z，n)得出: |m-n|= |m-z|+|z- n|,故m-n，m-z， z-n必须同号,
当m-n>0，m-z>0，z-n>0,∴m>n, m >z, z> n,∴n< z
11．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点示数．
(1)、两点之间的距离等于______；(2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是______；(3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是______；(4)若在原点的左边个单位处放一挡板，一小球从点处以个单位秒的速度向右运动，在碰到挡板后忽略球的大小，可看作一点球以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球从点处以个单位秒的速度向左运动，设运动时间为秒，，用含的整式来表示两小球之间的距离的长．
【答案】(1)16(2)8(3)或(4)
【分析】（1）据数轴上两点之间的距离公式计算即可求解．（2）根据在数轴上两点之间的距离即可判断当时，的值是最小的，由此计算即可求解．（3）由题意可知，点C距离点B点较近，设点C所表示的数为x，根据数轴上两点之间的距离公式可得，，再根据等式，去绝对值即可求解．（4）据题意分类讨论：当时；当时；当时即可求解．
【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点示数，，
A、两点之间的距离等于，故答案为：．
（2）的意义是数轴上表示的点到表示的点、表示的点、表示的点的距离之和，
只有当表示的点与表示的点重合时，距离之和才能最小，即时，距离之和最小，
当时，，
的最小值为，故答案为：．
（3）设点表示的数是，在数轴上点表示数，点示数，，，
，，或，
解得或，点表示的数是或，故答案为或．
（4）当时，如图：
点表示的数是：，点表示的数是，；
当时，如图：
点表示的数是：，点表示的数是，
；
当时，如图：
点表示的数是：，点表示的数是，
，
综上所述，．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式和分类讨论解决问题是解题的关键．
12．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料，回答问题：
已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
(1)若表示数和的两点之间的距离是5，那么______；
(2)若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______；
(3)若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围；
(4)若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值．
【答案】(1)2或(2)9(3)或(4)最大值为6，最小值为
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式列出绝对值方程求解即可；
（2）根据题意得出，再化简绝对值即可；
（3）根据题意，分三种情况进行讨论求解即可；
（4）分别求出和的最小值，进而求出x、y的取值范围即可求解．
【详解】（1）由题意，，∴或 ，
解得：，故答案为：2或；
（2）∵数轴上表示数的点位于与8之间，
∴，∴，故答案为：9；
（3）由题意，分三种情况：
当 时， ，
当时， ，
当时，，
∴有理数x的取值范围是x＞2或x＜-6；综上，有理数的取值范围为或；
（4）根据题意，对于代数式，数轴上，当x在和4之间时，表示x的点到与4的距离和最小，最小值为，
同理，对于，数轴上，当y在和2之间时，x到和2的距离和最小，最小值为，
又，∴，
∴的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查数轴的应用、绝对值的性质、绝对值方程，理解题意，掌握数轴上点与点之间的距离公式和代数式的最值问题，以及绝对值的性质是解答的关键．
专题19 绝对值的化简与最值问题 专项讲练
1.最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
2.绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重难点题型，考卷中会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型。
1.目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
无法确定
当时
的值为定值，即为
当
无法确定
结论：式子在时，取得最小值为。
2.目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
分类情况（的取值范围）
图示
取值情况
当时
的值为定值，即为—
当时
当
的值为定值，即为
结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
3.最小值规律：
①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=；
③当有（奇数）个绝对值相加：
且，则取中间数，即时，取得最小值；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，
则取中间段，即当时，取得最小值为：。
4.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。
5.已知范围的绝对值化简步骤：
①判断绝对值符号里式子的正负；
两数相减：
大的数－小的数＞0，转化到数轴上：右－左＞0；小的数－大的数＜0，转化到数轴上：左－右＜0.
两数相加：
正数＋正数＞0，化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；负数＋负数＜，化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；
正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.
②将绝对值符号改为小括号：
若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.
③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.
④化简（合并同类项）.
考点1、两个绝对值的和的最值
例1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．
（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？
（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3
∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，
∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)当a为何值时，代数式的最小值是2
【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6
【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解；
（2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解；
（3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可．
【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和，
当点在线段上，，
当点在点的左侧或点的右侧时，，
的最小值是5；
（2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围，
当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意；
当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，
则范围为或；
（3）解：当为或时，代数式为或，
数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为，
因此当为或时，原式的最小值是．
【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键．
变式1．（2022秋·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________．
【答案】 6
【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可；
【详解】当时，，∵，∴；
当时，；
当时，，∵，∴；
综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．
故答案是：6；．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键．
变式2．（2022秋·浙江·七年级专题练习）阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：
①如图2，点A、B都在原点的右边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
【答案】(1)3，3，4(2)，1或-3(3)
【分析】（1）根据材料提供的方法进行计算数轴上两点之间的距离， 紧紧抓住在数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣解题即可．（2）根据数轴上两点之间的距离得到，然后根据绝对值的意义求出x的值．（3）把原题看成点x到点-1和点2的距离之和，即可得到答案．
【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为，
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离为；故答案为：3，3，4；
（2）解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是，
根据题意得，即，所以x=1或-3，故答案为，1或-3；
（3）解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x的取值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离以及绝对值，重点是读懂题干的两点间的距离以及绝对值的意义是解题的关键．
考点2、两个绝对值的差的最值
例1．（2022秋·重庆·七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若，则_______，若，则_______；
（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若，则x能取到的最大值是_______；（4）关于x的式子的取值范围是_______．
【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为，|x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等，
因此到3和-1距离相等的点表示的数为=1，故答案为：0，1；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3，
因此x的最大值为3，最小值为-1；故答案为：-1，3；
（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得，x≤-1，即x的最大值为-1，故答案为：-1；
（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|+|x+1|最小值为3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案为：大于或等于3．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
【答案】 3 -9
【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．
【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴，
当时，，
当x＞1时，
∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
变式2．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．
提出问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？
探究问题：探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0．
当b＝2时，，如图1所示；当b＝－3时，，如图2所示；
由此可以推断当b＝n时，______．
探究二：如果A，B两点都不在原点，即，．
（1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：；
（2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：；
（3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______．
解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示）
实际应用：（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______；
（2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______．
拓展延伸：结合数轴回答下列问题：（1）的最小值是_____；（2）的最大值是______．
【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9
【分析】探究一：根据绝对值的概念可得；
探究二（2）根据绝对值的概念计算即可；（3）根据绝对值的概念计算即可；
解决问题：根据绝对值的概念计算即可；
实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念列方程解答即可；
拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念计算即可．
【详解】探究一：当b＝n时，，故答案为：n；
探究二：（2），故答案为：；
（3），故答案为：；
解决问题：，故答案为：；
实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是，故答案为：5；
（2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，
∴，∴或，得或，故答案为：7或；
拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4，
∴的最小值是4，故答案为：4；
（2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9，
∴的最大值是9，故答案为：9．
【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法．
考点3、多个绝对值的和的最值
例1．（2022秋·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题：
（一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是 ．
（二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是 ．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有 个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是 ．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是 ．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是 ．
【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15．
【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得；
（二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得；
（2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可；
（4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可．
【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11．
（二）（1）解：，，或，故答案为8或．
（2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，
，是整数，共6个；故答案为：6．
（3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，
当时，有最小值，
最小值为：=2025；故答案为：2025．
（4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，
当时，取最小值，
即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031．
（5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，
当时有最小值，
即最小值==15，故答案为：15．
【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键．
变式1．（2022秋·全国·七年级专题练习）【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
如图②，在1，2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1．
【问题解决】(1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3)的最小值是 ；(4)的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3(2)2；2(3)6(4)1021110(5)
【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值；
（5）由已知得：，解出绝对值不等式即为a的取值范围．
【详解】（1）由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3
故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3
（2）当a取中间数2时，绝对值最小的最小值是1＋0＋1＝2故答案为：2；2
（3）当a取最中间数时，绝对值最小的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
的最小值为：
故答案为：1021110
（5）a使它到－1，2的距离之和小于4
①当时，则有解得：；
②当时，则有
③当时，则有解得：
综上，a的取值范围为：故答案为：
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．
变式2．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______．
(4)若，则式子的最小值为 _______．
【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54
【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案；
（3）由题意得到，，则，即可得到答案；
（4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和，
∵，∴，故答案为：7；
（3）∵，，
∴，故答案为：4
（4）∵，
∴
，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，
只能取，
当时，有最小值，
此时原式＝＝54，故答案为：54．
【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
考点4、绝对值的最值的其他应用
例1．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）在多项式中，除首尾项a、外，其余各项都可闪退，闪退项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“闪减操作”．每种“闪减操作”可以闪退的项数分别为一项，两项，三项．“闪减操作”只针对多项式进行．例如：“闪减操作”为，与同时“闪减操作”为，…，下列说法：
①存在对两种不同的“闪减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；
②若每种操作只闪退一项，则对三种不同“闪减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；
③若可以闪退的三项，，满足：
，则的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】①根据“闪减操作”的定义，举出符合条件的式子进行验证即可；
②先根据“闪减操作”的定义进行运算，再分类讨论去绝对值，即可判断；
③根据“闪减操作”的定义和绝对值的几何意义，求出，，的最小值，即可得出结论．
【详解】①“闪减操作”后的式子为，“闪减操作”后的式子为，对这两个式子作差，得：，
结果不含与e相关的项，故①正确；
②若每种操作只闪退一项，共有三种不同“闪减操作”：“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
“闪减操作”结果为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，共有12种不同的结果，故②错误；
③∵，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
同理：，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
，在数轴上表示点与和的距离之和，
∴当距离取最小值时，的最小值为，
∴当，，都取最小值时，
，
此时，的最小值为，故③正确；故选C．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
变式1．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3．
(1)和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值；
(3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和的“美好关联数”为1，…．①的最小值为______；②的值为______．
【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840
【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；
（2）利用新定义计算求未知数x；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；
②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．
【详解】（1）解：，故答案为：8；
（2）解：∵x和2关于3的“美好关联数”为4，
∴，∴，解得或；
（3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1，∴，
∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1，
∴只有当时，有最小值1，故答案为：1；
②由题意可知：，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
，的最小值；
∴的最小值：．故答案为：840．
【点睛】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离．
变式2．（2022·重庆渝北·七年级校考期中）阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为．
根据以上材料，解答下列问题：(1)求数列﹣2，7，1的价值；(2)由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值；(3)将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值．
【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9
【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）根据题意可得由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，然后分别求出每个数列的价值，即可求解；
（3）根据题意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根据这些数列的价值的最小值为1，即可求解．
【详解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴数列﹣2，7，1的价值为2；
（2）解：由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列的数列有6种，具体如下：
数列﹣2，7，1；数列﹣2，1，7；数列7，﹣2，1；数列7，1，﹣2；数列1，7，﹣2；数列1，﹣2，7；
由（1）知数列﹣2，7，1的价值是2；
∵|﹣2|＝2，，，∴数列﹣2，1，7的价值是 ；
同理可求：数列7，﹣2，1的价值是2；数列7，1，﹣2的价值是2；数列1，7，﹣2的价值是1；
数列1，﹣2，7的价值是；综上可知，这些数列的价值的最小值是，最大值是2；
（3）解：若这些数列的价值的最小值为1，
则或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8，
当a＝5时，，∴a＝5不符合，舍去；
当a＝8时，则，∴a＝8，不符合，舍去；综上，a的值为2或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，理解新定义，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
考点5、绝对值的化简
例1．（2022秋·山东潍坊·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则的值为___________．
【答案】/
【分析】根据数轴得到，，，，根据绝对值的性质去掉绝对值，化简即可得到答案．
【详解】解：，，，
原式故答案为：
【点睛】此题考查了实数与数轴、绝对值，掌握正数的绝对值等于正数，负数的绝对值等于它的相反数是解题关键．
例2．（2022秋·福建泉州·七年级校考期中）已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则____________．
【答案】3
【分析】根据绝对值的性质进行化简即可
【详解】，，，，，
，，三个数中有两负一正，
当，为负，为正数时，
当，为负，为正数时，
当，为负，为正数时，
共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，
，，，故答案为：3
【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键
变式1.（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据数轴，确定每个数的属性，每个代数式的属性，后化简即可．
【详解】根据数轴上点的位置得：，且，
则，，，则．故选A．
【点睛】本题考查数轴和有理数的大小比较与绝对值的化简，掌握获取数轴信息，熟练化简是解题的关键．
变式2．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值；
(3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示）
【答案】(1)，1，(2)或3(3)
【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可；
（2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可；
（3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案．
【详解】（1）解：，，，故答案为：，1，．
（2），
，，，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时：原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式，原式或3．
（3）∵有个正数，负数的个数为，
．故答案为：．
【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题．
考点6、绝对值的方程
例1.（2022·湖北咸宁·七年级期末）阅读下列材料，回答问题：“数形结合”的思想是数学中一种重要的思想．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子（表示，例如：5和的距离可用或表示．
(1)【知识应用】我们解方程时，可用把看作一个点x到5的距离，则该方程可看作在数轴上找一点P（P表示的数为x）与5的距离为2，所以该方程的解为或所以，方程的解为___（直接写答案，不离过程）．
(2)【知识拓展】我们在解方，可以设A表示数5，B表示数，P表示数x，该方程可以看作在数轴上找一点P使得，因为，所以由可知，P在线段AB上都可，所以该方程有无数解，x的取值范围是．类似的，方程的___（填“唯一”或“不唯一”），x的取值是___，（“唯一”填x的值，“不唯一”填x的取值范围）；
(3)【拓展应用】解方程
【答案】(1)或(2)不唯一；(3)或
【分析】（1）将方程的解看作在数轴上找一点P与的距离为2，进而可得方程的解；
（2）类比题干中的求解方法，进行求解即可；
（3）由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：①若P点在A，B之间，表示出的值，然后列方程求解；②若P点在A点的左边，表示出的值，然后列方程求解；③若点P在B点的右边，表示出的值，然后列方程求解．
(1)解：方程的解，可以看作在数轴上找一点P与的距离为2
∴或 故答案为：或．
(2)解：由题意知，设A表示数，B表示数6，P表示数x，
∴该方程可以看作在数轴上找一点P使得，
∵，∴P在线段AB上都可，∴该方程有无数解，x的取值范围是
故答案为：不唯一；．
(3)解：由题意知，设P点表示的数为x，分类讨论：
①若P点在A，B之间则（不合题意，舍去）
②若P点在A点的左边则∴
③若点P在B点的右边 ∴
综上所述：原方程的解为或．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上点的距离．解题的关键在于明确绝对值的意义．
例2．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足的x的值是（ ）．
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】先将范围分类，再去绝对值进行运算，最后核对选项即可．
【详解】时，，，舍去；
时，
得，∴或，得，满足，可取；
时，，舍去；
综上所述，故选C．
【点睛】本题考查复杂的含有绝对值的一次方程，遇到绝对值须先判断绝对值内式子正负，在不确定范围的情况下，按照绝对值为0进行未知数范围的分类讨论是常见的办法．对未知数进行范围分类而去除绝对值是解题的关键．
变式1．（2022·河南安阳市·七年级期末）阅读下面材料：
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离．
回答下列问题：（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_______；
数轴上表示数和的两点之间的距离表示为_______；
数轴上表示数_______和_______的两点之间的距离表示为；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：
①请你在草稿纸上画出数轴，当表示数的点在与之间移动时，的值总是一个固定的值为：_______．②请你在草稿纸上画出数轴，要使，数轴上表示点的数_______．
【答案】（1）3；|x−3|；x，-2；（2）5；−3或4．
【分析】（1）根据题意找出数轴上任意点间的距离的计算公式，然后进行计算即可；
（2）①先化简绝对值，然后合并同类项即可；②分为x＞3和x＜−2两种情况讨论．
【详解】解：（1）数轴上表示−2和−5的两点之间的距离为：|−2−（−5）|=3；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离为：|x−3|；
数轴上表示数x和−2的两点之间的距离表示为：|x＋2|；故答案为：3，|x−3|，x，-2；
（2）①当x在-2和3之间移动时，|x＋2|＋|x−3|=x＋2＋3−x=5；
②当x＞3时，x−3＋x＋2=7，解得：x=4，
当x＜−2时，3−x−x−2＝7．解得x=−3，∴x=−3或x=4．故答案为：5；−3或4．
【点睛】本题考查的是绝对值的定义和化简，根据题意找出数轴上任意两点之间的距离公式是解题的关键．
变式2．（2022秋·成都市七年级期中）问题背景
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．
问题探究(1)若，则 ．(2)若，则 ．(3)若，则 ．
问题解决(4)若在数轴上有两个点M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为m、n，满足且的值最小，则两个点M、N之间的距离是 ．
【答案】(1)或 (2)(3)或 (4)5或4
【分析】（1）根据绝对值的意义得出或，求出x的值即可；
（2）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可；
（3）分、、三种情况进行讨论，求出x的值即可：
（4）先分类讨论求出m为3或，再根据绝对值的意义求出，最后求出的值即可．
【详解】（1）解：∵，∴或，
解得：或．故答案为：或．
（2）解：分三种情况讨论：
①时，化简为：，此方程无解；
②时，化简为：，解得；
③时，化简为：，此方程无解．故答案为：．
（3）解：分三种情况讨论：
①时，，化简得：，解得；
②时，，化简得：，此方程无解；
③时，，化简得：，解得．
故答案为：或．
（4）分三种情况讨论：
①时，，化简，解得；
②时，，化简，此方程无解；
③时，，化简，解得．∴m为3或，
∵表示数轴上的点到，，这三个点的距离之和，
∴当时，的值最小，
∴或． 故答案为：5或4．
【点睛】本题考查的是绝对值，数轴的有关知识，解题关键是理解绝对值的几何意义，注意进行分类讨论．
A级（基础过关）
1.（2022·河南周口·七年级期末）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是( )
A．-1 B．1 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】先根据数轴求出－1
2．（2023秋·贵州铜仁·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数-2的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】以和3为界点，将数轴分成三部分，对的值进行分类讨论，然后根据绝对值的意义去绝对值符号，分别求出代数式的值进行比较即可．
【详解】解：如图，
当时，，，
；
当时，，，；
当时，，，；
综上所述，当时，取得最小值，
所以当取得最小值时，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题结合数轴考查了绝对值的意义以及绝对值的性质，解题的关键是以和3为界点对的值进行分类讨论，进而得出代数式的值．
3．（2023秋·四川达州·七年级统考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ___________．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，再利用绝对值的代数意义化简、去括号、合并同类项即可解答．
【详解】解：由数轴上点的位置得：，且，
，，，
则原式．故答案为：．
【点睛】本题考查数轴、绝对值、去括号、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）同学们都知道，表示5与1差的绝对值，也可以表示数轴上5和1这两点间的距离；表示3与之差的绝对值，实际上也可理解为3与在数轴上所对的两点之间的距离；自然地，对进行变式得，同样可以表示3与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
(1)________；(2)表示与________之间的距离；表示与________之间的距离；
(3)当时，可取整数__________．（写出一个符合条件的整数即可）
(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数，的最小值为__________．
【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；
（2）根据数轴上两点之间的距离的表示方法即可解答；（3）利用绝对值及数轴求解即可；
（4）根据数轴及绝对值，即可解答．
【详解】（1）解：表示数轴上表示3的点到表示的点的距离，即为5．故答案为5．
（2）解：表示与2之间的距离；表示与之间的距离．故答案为：2，．
（3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到2和所对应的点的距离之和为5，
∴当x在与2之间的线段上（即），∴可取整数．故答案为：2（答案不唯一）．
（4）解：∵理解为：在数轴上表示x到和6的距离之和，
∴当x在与6之间的线段上（即）时，即的值有最小值，最小值为．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了整式的加减、数轴、绝对值等知识点，掌握整式加减、去绝对值符号以及数轴的特点是解答本题的关键．
6．（2022秋·湖南邵阳·七年级统考期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时：
（1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则
（2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则
（3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则
回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________．
(2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________．
(3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离__________．如果，则x的值为___________．
(4)若代数式有最小值，则最小值为_______________．
【答案】(1)(2)8(3)，(4)7
【分析】（1）根据数轴上A，B两点的位置即可得出答案；（2）按照数轴上的位置进行计算即可；
（3）根据数轴进行计算，列方程解绝对值方程即可；（4）根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】（1）解：综上所述，数轴上两点A和B之间的距离；故答案为：；
（2）解：数轴上表示3和的两点A和B之间的距离；故答案为：8；
（3）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离
如果，∴，∴或，
解得或，则的值为-2或-8；故答案为；-2或-8；
（4）解若代数式有最小值，的值即为-5与2两点间的距离，此时最小，最小值为|2−（−5）|＝7，则最小值为7．故答案为7．
【点睛】本题考查了实数与数轴，以及绝对值，绝对值方程，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
7．（2022秋·浙江·七年级专题练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）计算_____________；（2）使得这样的整数有____________（写出所有符合条件的整数）；（3）由以上探索猜想对于任何有理数，式子是否有最小值？如果有，请写出其最小值，如果没有，请说明理由．
【答案】（1）7；（2），，，，，0，1；（3）有，最小值为5.5．
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．
【详解】解：（1）原式=|5+2|=7故答案为：7；
（2）令x+5=0或x-1=0时，则x=-5或x=1
当x＜-5时，∴-（x-1）-（x+5）=6，-x+1-x-5=6，x=-5（范围内不成立）
当-5≤x≤1时，∴-（x-1）+（x+5）=6，x+5-x+1=6，6=6，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1
当x＞1时，∴（x-1）+（x+5）=6，x-1+x+5=6，2x=2，x=1，x=1（范围内不成立）
∴综上所述，符合条件的整数x有：-5，-4，-3，-2，-1，0，1；
（3）令x-2=0或x+3.5=0时，则x=2或x=-3.5
当时，
当时，
当时，
∴对于任何有理数x，式子|也有最小值，为5.5
【点睛】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
8．（2022·辽宁大连·七年级校联考阶段练习）同学们知道，是数轴上表示数的点与原点的距离，，那么就是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．
（1），则的值为 ；（2）若为整数，且，则的值为 ；
（3）若，求的值．
【答案】（1）或；（2），，，；（3）或
【分析】（1）的意义是到表示的点的距离是5的点的坐标；
（2）的意义是表示到表示和表示的点的距离之和是3的点的坐标；
（3）的意义是表示到表示和表示的点的距离之和是4的点的坐标．
【详解】解：（1），解得：或；
（2），
当时，，，
当时，，解得：（舍去），
当时，，解得：（舍去），
综上：，，，；
（3）若数轴上表示数的点在表示的点左侧，
则，解得；
若数轴上表示数的点在表示的点与表示的点之间（包括和），则．
若数轴上表示数a的点在表示3的点右侧，则，解得．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了绝对值、数轴，解题的关键是理解并应用绝对值．
9．（2022秋·浙江·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____；
(2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；
(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)3，5，1或(2)6(3)当时，式子的值最小，最小值是9，理由见解析
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可；
（2）先确定a+4、a-2的正负，然后再化简绝对值，最后再合并同类项即可；
（3）根据表示一点到-5，1，4三点的距离的和．即可求解．
【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；
表示-3和2两点之间的距离是2-（-3）=5；
依题意有|a-（-2）|=3，∴a-（-2）=3或a-（-2）=-3解得a=1或-5．故答案为：3，5，1或-5．
（2）解：∵数a的点位于-4与2之间，∴a+4＞0，a-2＜0∴|a+4|+|a-2|=a+4-a+2=6．
（3）解：∵表示一点到-5，1，4三点的距离的和．
∴当a=1时，式子的值最小，∴的最小值是9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、数轴、数轴上两点之间的距离等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
10．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空）
Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x，
如图①，当时，；
如图②，当 时， _____ ；
如图③，当时，_______；
Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，
∴，，∴在时有最小值为_______．
（2）直接应用：求的最小值．
（3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______．
【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）．
【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案；
（2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案；
（3）根据（1）可得到当时最小值，即可得到答案．
【详解】（1）I．解：由题意可得，
当 时，，
当时，故答案为，；
II．由题意可得，在时有最小值为5，故答案为5；
（2）解：由（1）可得，当x在 ，4两点之间时最短，
即当时，的最小值，最小值为，
故的最小值为9；
（3）由（1）可得，表示到1，6， 三点的距离之和，
∴可得到当时最小值，
最小值为：，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大亮点之间．
11．（2022秋·浙江温州·七年级校考阶段练习）数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上表示数m，n的两点之间的距离等于，如：数轴上表示4和的两点之间的距离是，根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)若数轴上表示数x的点位于表示与5的点之间，求的值．
(2)若P是数轴上一点，它表示数p，若对任意的有理数p都成立，求a的最大值．
【答案】(1)(2)a的最大值为7
【分析】（1）直接化简绝对值即可得到答案；
（2）分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，∴；
（2）解：当时，；
当时，
当时，；
当时，；
∴要使得无论p取何值都成立，a的最大值为7．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，熟知化简绝对值的方法是解题的关键．
B级（能力提升）
1．（2022·广东广州·七年级校考期中）如图，、、、是数轴上的四个整数所对应的点，且，而数在与之间，数在与之间，若，且、、、中有一个是原点，则此原点可能是（ ）
A．点或点 B．点或点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】先根据图形和已知条件找出各线段长度，然后由推测原点位置．
【详解】解：由“B-A=C-B=D-C=1且数m在A与B之间，数n在C与D之间”可以得出：
①当原点是B点或C点时， 与已知相矛盾，故原点不可能是B点或C点；
②当原点在A点或D点且时， ，
综上可知：数轴原点可能是A点或D点． 故选A．
【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，解决本题的关键在于理解绝对值的几何意义．
2．（2022秋·山东七年级课时练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（ ）
A．﹣6 B．2 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．
【详解】，或，或，
当时，等价于，即，
或，或；
当时，等价于，即，
或，或，故或或或，
所有满足条件的数的和为：．故答案为：D
【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏．
3.（2022·浙江·温州七年级期中试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（ ）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【答案】C
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a＝3，b＝﹣3．故选：C．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
4．（2022秋·广西·七年级期末）对于有理数，，，若，则称是关于的“相关数”，例如，，则3是2关于2的“相关数”．若是关于1的“相关数”，是关于2的“相关数”，…，是关于4的“相关数”．则______．（用含的式子表示）
【答案】9﹣3|x﹣1|
【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而求出结果．
【详解】解：依题意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，① |x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，②
|x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③ |x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④
由①可知0≤x，x1≤2，若否，则①不成立，
由②可知1≤x1，x2≤3，若否，则②不成立，
同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤
x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥ x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦
3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6，
∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|． 故答案为：9﹣3|x﹣1|．
【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果是否正确．
5．（2022·湖南·长沙市怡海中学七年级阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．
（1）求数轴上点B所对应的数b；
（2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数；
（3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 ，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 ．
【答案】（1）；（2）或；（3），
【分析】（1）根据的距离求得单位为多少cm，再根据长度求得的距离即可求解；
（2）设点表示的数为，求得P到A的距离和P到B的距离，列方程求解即可；
（3）对点Q在数轴上表示的数x，分情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得的距离为，的长度为，的长度为
由此可知一个单位长度为则的距离为
在的右边，∴数轴上点B所对应的数为；
（2）设点表示的数为，则P到A的距离为，P到B的距离为
由题意可得：，即或解得或故答案为或
（3）当时，，
∴
当时，，
∴
当时，，
∴
综上所述的最小值为，的最大值为故答案为，
【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质．
6．（2022秋·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由．
【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7．
【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得；
（2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得；
（3）由（2）的方法去绝对值，即可得．
【详解】（1）解：，故答案为：7；
（2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在；
当时，，
此时，使得的整数是、、、、、0、1、2；
当时，，解得（舍去），故此种情况不存在；
故答案为：、、、、、0、1、2；
（3）解：有最小值，最小值是7，
由（2）的探索可得，当时，，
故有最小值，最小值是7．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
7．（2022·福建南平·七年级期末）【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为．例如：两点A，B表示的数分别为3，-1，那么．
(1)若，则x的值为 ．
(2)当x＝ （x是整数）时，式子成立．
(3)在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：
当时，点P叫点A的1倍伴随点，
当时，点P叫点A的2倍伴随点，……
当时，点P叫点A的n倍伴随点．
试探究以下问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5或1 (2)-2、-1、0、1
(3)存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1
【分析】（1）根据数轴上，两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意可得表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，再由，即可求解；（3）设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，根据题意可得
，然后分四种情况讨论，即可求解．
(1)解：∵，∴在数轴上到3和x的点的距离为2，∴x=5或x=1，故答案为：5或1；
(2)解：∵，∴表示x的点到表示1的点与表示x的点到表示2的点的距离之和为3，
∵，∴，∵ x是整数，∴x取-2、-1、0、1；故答案为：-2、-1、0、1；
(3)解：存在，理由如下：设点M表示的数为m，则点M与点N重合时，点N表示的数为m，
∵点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，
∴，∴，
当时，，∴，即AB=1；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=3；
当时，，∴，即AB=1；
综上所述，存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，线段AB的长为3或1．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，绝对值的性质，理解新定义，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
8．（2022秋·浙江·七年级专题练习）阅读下列材料：
点在数轴上分别表示两个数，两点间的距离记为，O表示原点．当两点中有一点在原点时，不妨设点A为原点，如图1，则；当两点都不在原点时，
①如图2，若点都在原点的右边时，；
②如图3，若点都在原点的左边时，；
③如图4，若点在原点的两边时，．
回答下列问题：
(1)综上所述，数轴上A、B两点间的距离为 ．
(2)若数轴上的点A表示的数为2，点B表示的数为，则A、B两点间的距离为 ；
(3)若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为，则 ，若，则x的值为 ；
(4)代数式的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围是 ．
(5)满足的x的取值范围是 ．
【答案】(1)(2)(3)；2或(4)；(5)或
【分析】（1）观察阅读材料可得答案；（2）根据（1）的公式可得答案；
（3）由数轴上两点之间的距离公式可得答案；（4）求出的范围，即可得出最小值；
（5）根据题意可知到和到的距离之和大于，而之间的距离为，所以只能在的左边或的右边，据此解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，故答案为：；
（2）A、B两点间的距离为，故答案为：；
（3），∵，∴，∴，解得或；
故答案为：；2或
（4）∵表示数轴上某点到表示的点与2表示的点的距离之和，
∴当这个点在表示的点与2表示的点之间时，最小，等于，
即取得最小值时x的取值范围，故答案为：；；
（5）∵表示数轴上某点到表示的点与表示的点的距离之和，
当在表示的点与表示的点之间时，的值最小为，
∴在的左边或的右边时，，即或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．
9．（2022秋·重庆·七年级期末）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝ ．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 ．
③当x＝ 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为
【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；
（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；
（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值．
【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，故答案为：﹣2，6；
（2）解：∵折叠后点B和点C重合，∴BC的中点为折痕点，∴折痕点对应的数是2，
∴点A与数字9重合，故答案为：9；
（3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和，
∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，故答案为：3；
②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和，
∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，
∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
∴，∴满足条件的所有整数x的和是4，故答案为：4；
③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和，
∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4，
∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案为：4；
④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，
表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和，
∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，
∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键．
10．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3．
(1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______；
(2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答：，则 ：有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。
【答案】(1)4；1(2)或4；4(3)存在；或2
【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1；
（2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3，∴，，
∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1；故答案为：4；1．
（2）解：当时，，解得：；
当时，，
∴当时，不存在x的值使；
当时，，解得：；
∴时，或；
当时，，
当时，，
当时，，
∴的最小值为4；故答案为：或4；4．
（3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m，
解，∴，解得：，∴点S表示的数为6，
当时，由得：，解得：；
当时，由得：，解得：；
当时，由得：或，
解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），
综上所述：“幸运点”P对应的数是或2．
【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
11．（2022秋·山西朔州·七年级校考阶段练习）问题提出
(1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为．
代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________．
(2)问题探究：如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________．
(3)问题解决：同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？
【答案】(1)3；(2)3，2，7；
(3)当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米．
【分析】（1）根据数轴的意义即可得解；（2）分四种情况分析点到三个点距离的和，通过比较确定最小值，从而求出所表示的数及运动的时间即可；（3）根据两点间的距离即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数的点到表示数的点与表示数的点的距离之和，∴的最小值为，故答案为：；
（2）解：根据题意，设点表示的数为，当时，点到，，三点的距离和是：；
当时，点到，，三点的距离和是：，且；
当时，点到，，三点的距离和是：，且；
当时，点到，，三点的距离和是：，且；
∴当时，点到，，三点的距离和最小值在范围内，
当即时，点到，，三点的距离和最小值是7，点所处位置对应的数字为2，
当时，点出发时间是：（秒）；
故答案为：3，2，7；
（3）解：，
当点在或之间时，最小，为800米，
当点在或之间时，最小，为600米，
当点在或之间时，最小，为400米，
当点在或之间时，最小，为200米，
当点在位置时，最小，为0米，∴最小距离和为：（米），
∴当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米．
【点睛】本题考查数轴，绝对值的几何意义以及两点间距离，解题的关键是熟练运用数形结合的思想．
C级（培优拓展）
1．（2022·浙江·九年级自主招生）若关于x的方程有四个实数解，则化简的结果是（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而对题中的绝对值进行化简．
【详解】由有四个实数解，可知a、b均不为0，且，故，∴，
化简得可知，
∴，
∴故选：C．
【点睛】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义是难点，会判断绝对值符号中的每个代数式的正负是化简的关键．
2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．
【答案】8.5．
【分析】先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可．
【详解】∵﹣1≤x≤3，
当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值为5，最小值为4.5；
当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值为5，最小值为3.5，
∴最大值与最小值之和为8.5；
故答案为：8.5．
【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键．
3．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）我们对多边形的每条边都赋给一个特征值，将顶点的特征值确定为相邻两边特征值差的绝对值，称第1次“运算”；再将边的特征值确定为相邻两端点特征值差的绝对值，称第2次“运算”；如图1是三角形经过两次“运算”的示意图，如图2，已知某长方形的四边的特征值分别为m，1，6，3，若这个长方形经过三次“运算”后，各顶点的特征值都为0，则满足条件的正整数m的值为___________．
【答案】8或4
【分析】根据题意得出三次变换后的结果，即可得出结论
【详解】解：有题意的：
第一次变换：
第二次变换:
∵第三次变换后特征值都为0，
∴， 解得：或，故答案为：8或4．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用以及新定义，解题的关键是要读懂题意．
4．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）实数a，b满足，则的最小值为______．
【答案】
【分析】利用绝对值的定义：“绝对值代表与原点的距离”可知答案．
【详解】解：∵，∴，
表示a到，2的距离与b到的距离之和为8，
∵时， 时，，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键．
5．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下面的材料，然后回答问题．
在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等到的距离．
如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D的这一段，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择．
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置．
(1)有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？
(2)有n台机床时，P应设在何处？
(3)根据（2）的结论，求 的最小值．
【答案】(1)有台机床时，P应设在第台处，有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方(2)当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置，当n为奇数时，P应设在第台的位置
(3)．
【分析】（1）根据阅读材料即可求解；（2）根据（1）中所得结论，可以分两种情况寻找到规律即可求解；
（3）根据连续整数的和的计算公式即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，直线上有3台机床，供应站P应设在最中间一台机床处，
直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方，
有5台机床，P应设在第3台位置…，所以有 台机床时，P应设在第台处，
有台机床时，P应设在第台和第台之间的任何地方；
（2）解：当n为偶数时，P应设在第台和台之间的任何位置，
当n为奇数时，P应设在第台的位置；
（3）解：∵，
∴当 时，代数式取到最小值，
∵，∴最小值是．
【点睛】本题考查了图形的变化规律、数轴、绝对值，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
6．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为3．
(1)和6关于2的“相对关系值”为_____；(2)若和3关于1的“相对关系值”为7，求的值；
(3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，，和关于101的“相对关系值”为1．
①的最大值为_____；②直接写出所有的值．（用含的式子表示）
【答案】(1)；(2)或；(3)①3；②或或
【分析】（1）根据“相对关系值”的定义，求解即可；
（2）根据“相对关系值”的定义，列方程，求解即可；
（3）①根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可；②分五种情况计算即可．
【详解】（1）解：根据“相对关系值”的定义，可得故答案为：；
（2）由题意可得：，即，解得或；
（3）①根据题意得，，分四种情况：
当时，，则；
当时，，则，得到；
当时，，则，得到；
当时，，则，由此可知的最大值为3；
②分五种情况，当时，，解得，
由可得，，……可得，
；
当时，，，此种情形不存在；
当时，，，……，
∴，，……，，∴，即，
，即，同理可得：，……，，
∴，，，……，，
；
当时，由可得，即，此种情形不存在；
当时，可得，，……，，
∴，，，，
；
综上，的值为或或．
【点睛】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“相对关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质．
7．（2022秋·河南信阳·七年级校考期中）对于数轴上的两点给由如下定义：两点到原点O的距离之差的绝对值称为两点的“绝对距离”，记为．例如，两点表示的数如图（1）所示， 则．
(1)两点表示的数如图（2）所示．①求两点的“绝对距离”；
②若点为数轴上一点（不与点O重合），且，求点表示的数；(2)点为数轴上的两点．（点在点左侧）且，， 请直接写出点表示的为___________．
【答案】(1)①2；②2或；(2)或
【分析】（1）①根据绝对距离的定义即可解题；②由题意可求出，再根据绝对距离的定义即可解题；（2）由题意可知，即得出或．再分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时和③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，结合，即可求解；
【详解】（1）①；
②∵，，∴，∴，
∴或，解得：或2，
∵C点不与O点重合，∴点C表示的数为2或；
（2）由题可知，∴或．
∵点M在点N左侧，故可分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，∴．
∵，∴，∴此情况不存在；
②当M，N都在原点的右侧时，∵，∴，∴此情况不存在；
③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，∵，∴．
∵或，∴或，
∴点M表示的数为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查绝对值实际应用，数轴上两点之间的距离．读懂题意，理解绝对距离的概念是解题关键．
8．（2022秋·全国·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点，的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作：，即点与点之间的“直角距离”为．已知点，点．
(1)A与两点之间的“直角距离”______；
(2)点为轴上的一个动点，当的取值范围是______时，的值最小；
(3)若动点位于第二象限，且满足，请在图中画出点的运动区域（用阴影表示）．
【答案】(1)6(2)(3)见解析
【分析】(1)根据定义即可求得；(2)根据定义可得，再分段讨论即可求得
(3) ，则，根据定义，计算出即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，故答案为：6；
（2）解：根据题意得：
当时，，，，故此时不存在最小值，
当时，，，，故此时的最小值为6，
当时，，，，故此时不存在最小值，
综上，当时，的值最小；故答案为：；
（3）设点P(x，y)∵点P在第二象限，∴x<0，y>0
；
=
①当0
若-3
当0
②当1
若-3
当1
③当y>2时=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）-1=-6（不符合题意）若-3
【点睛】本题考查了新定义运算，理解题目中新定义运算的概念是解题的关键，在去掉绝对值符号时，注意分清楚绝对值符号里面的正负，若不知道正负，则应该分类讨论．
9．（2022秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 ．(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．
【答案】(1)， （答案不唯一）(2)(3)0
【分析】（1）根据材料1列出算式，再根据绝对值的意义可求解，答案不唯一．（2）根据材料1列出算式，再分类讨论，再根据绝对值的意义可求解．（3）因为x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，所以>| |，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解．
【详解】（1）解：V（A4）=| |+||+||=4，∴| |+||+||=4，
当， ，V（A4）=| |+||+||=4
（2）解：| |+||+||=3，即| |+||+||=3
①2≤a<3时，| |+||+||=3，所以 ，解得以a=1，但不符合题意，舍去．
②a≤2时，| |+||+||=3所以 ，解得以 ，符合题意．
③a>3时，| |+||+||=3所以，，解得以 ，符合题意．
综上所述，或．
（3）解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数
∴>| |，>||，>||，>||，>0，
∴0≤| |+||+||+||≤
∴0≤V（A5）≤a ∴V（A5）的最小值为0．
【点睛】本题是一道综合题，正确理解题意、熟练掌握去绝对值的方法是解决本题的关键．
10．（2022秋·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）定义表示数轴上两数对应点间的跑离．①分别求，的值；②若，求的值；
③若数轴上不同的三点所表示的数满足，试说明的大小关系．
【答案】①8，3；②3或﹣1；③ m
②根据D (a, b) =|a-b|表示数轴上a，b两数对应点间的距离代入求出即可;③根据①中所求，得出由D(m,n)=D(m,z)+D(z, n)得出: |m-n|= |m-z|+|z-n|，故m-n, m-z, z-n必须同号，进而求出结论即可.
【详解】解：①∵定义D (a, b)= |a-b|表示数轴上a, b两数对应点间的跑离．
∴=|0-(-8) |=8 =
②∵∴,即解得=3或-1
③∵D (a, b) =|a-b|,∴由D (m, n) =D (m, z)+D (z，n)得出: |m-n|= |m-z|+|z- n|,故m-n，m-z， z-n必须同号,
当m-n>0，m-z>0，z-n>0,∴m>n, m >z, z> n,∴n< z
11．（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）如图：在数轴上点表示数，点示数．
(1)、两点之间的距离等于______；(2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是______；(3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是______；(4)若在原点的左边个单位处放一挡板，一小球从点处以个单位秒的速度向右运动，在碰到挡板后忽略球的大小，可看作一点球以原来的速度向相反的方向运动；同时另一小球从点处以个单位秒的速度向左运动，设运动时间为秒，，用含的整式来表示两小球之间的距离的长．
【答案】(1)16(2)8(3)或(4)
【分析】（1）据数轴上两点之间的距离公式计算即可求解．（2）根据在数轴上两点之间的距离即可判断当时，的值是最小的，由此计算即可求解．（3）由题意可知，点C距离点B点较近，设点C所表示的数为x，根据数轴上两点之间的距离公式可得，，再根据等式，去绝对值即可求解．（4）据题意分类讨论：当时；当时；当时即可求解．
【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点示数，，
A、两点之间的距离等于，故答案为：．
（2）的意义是数轴上表示的点到表示的点、表示的点、表示的点的距离之和，
只有当表示的点与表示的点重合时，距离之和才能最小，即时，距离之和最小，
当时，，
的最小值为，故答案为：．
（3）设点表示的数是，在数轴上点表示数，点示数，，，
，，或，
解得或，点表示的数是或，故答案为或．
（4）当时，如图：
点表示的数是：，点表示的数是，；
当时，如图：
点表示的数是：，点表示的数是，
；
当时，如图：
点表示的数是：，点表示的数是，
，
综上所述，．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式和分类讨论解决问题是解题的关键．
12．（2022秋·全国·七年级专题练习）阅读下面材料，回答问题：
已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为．
(1)若表示数和的两点之间的距离是5，那么______；
(2)若数轴上表示数的点位于与8之间，则的值为______；
(3)若表示一个有理数，且，求有理数的取值范围；
(4)若未知数，满足，求代数式的最小值和最大值．
【答案】(1)2或(2)9(3)或(4)最大值为6，最小值为
【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式列出绝对值方程求解即可；
（2）根据题意得出，再化简绝对值即可；
（3）根据题意，分三种情况进行讨论求解即可；
（4）分别求出和的最小值，进而求出x、y的取值范围即可求解．
【详解】（1）由题意，，∴或 ，
解得：，故答案为：2或；
（2）∵数轴上表示数的点位于与8之间，
∴，∴，故答案为：9；
（3）由题意，分三种情况：
当 时， ，
当时， ，
当时，，
∴有理数x的取值范围是x＞2或x＜-6；综上，有理数的取值范围为或；
（4）根据题意，对于代数式，数轴上，当x在和4之间时，表示x的点到与4的距离和最小，最小值为，
同理，对于，数轴上，当y在和2之间时，x到和2的距离和最小，最小值为，
又，∴，
∴的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查数轴的应用、绝对值的性质、绝对值方程，理解题意，掌握数轴上点与点之间的距离公式和代数式的最值问题，以及绝对值的性质是解答的关键．
相关试卷
专题03《 绝对值》达标检测卷-暑假小升初数学衔接（人教版）（原卷版）： 这是一份专题03《 绝对值》达标检测卷-暑假小升初数学衔接（人教版）（原卷版），共4页。
专题03《绝对值》知识讲练-暑假小升初数学衔接（人教版）（原卷版）： 这是一份专题03《绝对值》知识讲练-暑假小升初数学衔接（人教版）（原卷版），共8页。
2024年小升初数学专题 （通用版）-19 绝对值的化简与最值问题 专项讲练（原卷版+解析版）： 这是一份2024年小升初数学专题 （通用版）-19 绝对值的化简与最值问题 专项讲练（原卷版+解析版），文件包含2024年小升初数学专题通用版-19绝对值的化简与最值问题专项讲练原卷版docx、2024年小升初数学专题通用版-19绝对值的化简与最值问题专项讲练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
