中考数学一轮复习精选专题17 等腰、等边三角形（讲测练）（2份打包，原卷版+教师版）

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专题17 等腰、等边三角形

1.了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形；
2.理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定；
3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题；
4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性质和判定；

一、等腰、等边三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.性质：
(1)具有三角形的一切性质.
(2)两底角相等(等边对等角)
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
特别提醒：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
例1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
A.顶角的2倍 　　　B.顶角的一半 　　　C.顶角 　　　D.底角的一半
　　　　 　
【答案】B.
【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=
90°-(180-∠A)= ∠A，
例2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=　 　cm．

【答案】32;
【解析】
解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE=30，DE=2，
∴DM=28，
∵△BEM为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=14，
∴BN=16，
∴BC=2BN=32，
故答案为32．

二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
2性质：
(1)直角三角形中两锐角互余.
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3．判定：
(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.
例3．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.
　　(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；
　　(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　图2
【答案】
　(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°
　　　　　　 又∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD；
(2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　　∴=45°
　　　　　　∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　 　∠BAP=，∠ABP=
　　　　　　　　即∠BAP+∠ABP=45°
　　　　　 ∴∠APB=180°-45°=135°
　解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　 ∴=45°
　　　　　 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　　　∠DBC=，∠PAC=
　　　　　∴∠DBC+∠PAD=45°
　　　　　∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.

1．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为，则这两棵树之间的坡面的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
是的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出的长．
【详解】
解：如图，，，m，
∴AB=2BC，
∴，即，
解得：m，
∴m，
故选：C．
2．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【分析】
依据旋转的性质可求得AB＝AB’，∠AB’C’的度数，依据等边对等角的性质可得到∠B＝∠BB’A，于是可得到∠CB’C’的度数．
【详解】
解：由旋转的性质可知：AB＝AB’，∠BAB’＝80°，
∴∠B＝∠AB’C’，
∵AB＝AB’，
∴∠B＝∠BB’A＝50°．
∴∠BB’C’＝50°＋50°＝100°．
∴∠CB’C’＝180°−100°＝80°，
故选：D．
3．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．
【详解】
解：由旋转的性质可知，AC=AC′，
∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′=32°，
∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，
∵∠B=∠C′B′A，
∴∠B=77°，
故选：C．
4．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）下列命题中是真命题的是（ ）
A．三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半
D．等边三角形是中心对称图形
【答案】A
【分析】
根据三角形中垂线的性质、全等三角形的判定、直角三角形的性质和等边三角形的性质判断即可．
【详解】
解：A、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，正确；
B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；
C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，错误；
D、等边三角形是轴对称图形，错误；
故选：A．
5．（2022·全国九年级课时练习）如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可．
【详解】
∵为的外心，，，
∴OA是∠BAC的平分线，
∴，
∵，∴，
∴，
∵为正三角形，
∴，
∴，
又∵为的外角，
∴．
故选A．
6．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】
①由“ASA”可证△BOH≌△COE，可得OE=OH；
②过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，由“ASA”可证△QEF≌△PEC，可得EF=EC；
③由线段的垂直平分线的性质可求BC=BE=4，由正方形的性质可求BP=PE=，可求BF的长；
④通过证明△BOH∽△BGE，可得，可得BH•BG=BE•BO．
【详解】
解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，
∴∠FEC＝∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，
∴∠OBH＝∠ECO，
又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，
∴△BOH≌△COE（ASA），
∴OE＝OH，故①正确；
如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，
∴EQ＝EP，
又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，
∴四边形BPEQ是正方形，
∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，
∴∠QEF＝∠PEC，
又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，
∴△QEF≌△PEC（ASA），
∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；
∵EG＝GC，BG⊥EC，
∴BE＝BC＝4，
∴BP＝EP＝2，
∴PC＝4﹣2＝QF，
∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4，故③正确；
∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，
∴△BOH∽△BGE，
∴BH•BG＝BE•BO，故④正确，
故选：D．
7．（2022·全国九年级专题练习）如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________．

【答案】120°
【分析】
由△BPM∽△PAN，可得出∠BPM=∠A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论．
【详解】
解：∵ △BPM∽△PAN，
∴ ∠BPM＝∠A，
∵ △PMN是等边三角形，
∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
故答案为：120°．
8．（2022·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________．

【答案】
【分析】
根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．
【详解】
解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），是边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．

∵是等边三角形，，N是的中点，
∴AC=AB=6,AN=AB=3, ,
∴.
即BM+MN的最小值为．
故答案为：.
9．（2022·福建省福州杨桥中学九年级月考）如图，已知，，点E为线段BC上的一点，连接AE．

（1）将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，点E的对应点是点F．请用尺规作图作出线段AF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：点F在的平分线上．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1)作∠DAT=∠EAB，在射线AT上截取AF，使得AE=AF即可；
（2)在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH. 证明ΔABH是等边三角形，证明B、H、F共线可得结论.
【详解】
（1）如图，线段AF即为所求；

（2)证明：在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAH=60°，
∵AH=AB，
∴ΔABH是等边三角形，
∴∠AHB=∠ABH=60°，
∴∠EAF=60°，
∴ ∠EAF=∠BAH，
∴ ∠FAH=∠EAB，
在ΔFAH和ΔEAB中，

∴ΔFAH≌ΔEAB (SAS)，
∴∠AHF=∠ABE=120°，
∴∠AHF+∠AHB=180°，
∴B、H、F共线，
∵∠FBA=∠FBE=60°，
∴点F在∠ABC的角平分线上。
10．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）如图1，在RtACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．
（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；
（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；
（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出ACH的面积．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．解直角三角形求出CD，CE可得结论．
（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．想办法证明△ACF≌△EAJ（AAS），可得结论．
（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．易知AH＝AD，求出AD的最小值可得结论．
【详解】
解：（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．

∵BD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠DBC＝90°，
∴∠ACD＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tan∠ACD＝2，
∴＝2，
∵AC＝BC＝6，
∴BD＝，CD＝，
∵EH⊥BC，∠EBH＝45°，
∴∠EHB＝90°，∠EHB＝∠HBE＝45°，
∴EH＝BH，
设EH＝BH＝m，则HC＝2EH＝2m，
∴3m＝6，
∴m＝2，
∴EH＝2，CH＝4，
∴EC＝，
∴DE＝CD﹣CE＝．
（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．

∵EJ＝EG，
∴∠EJG＝∠EGJ，
∵∠CFG＝EGJ，
∴∠CFG＝∠EJG，
∴∠AFC＝∠AJE，
∵∠ATC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴∠ACT+∠DCB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，
∴∠ACT＝∠CBD，
∵AC＝BC，
∴△ATC≌△CDB（AAS），
∴CT＝BD，
∵EC＝2BD，
∴CT＝ET，
∵AT⊥EC，
∴AC＝AE，
∴∠ACT＝∠AEC，
∴∠ACF+∠FCD＝∠EAJ+∠FDC，
∵FC＝FD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴∠ACF＝∠EAJ，
∴△ACF≌△EAJ（AAS），
∴AF＝EJ＝EG．
（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．

∵AC＝BC＝6，∠ACT＝90°，CT＝TB＝3，
∴AT＝，
∵CD⊥BD，
∴∠CDB＝90°，
∴DT＝BC＝3，
∴AD≥AT﹣DT，
∴AD≥3﹣3，
∴AD的最小值为3﹣3，
∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，
∴DH＝EH，
∴AH＝DE＝AD，
∴AH的最小值为；
此时，A，D，T共线，如图3﹣1中，过点D作DQ⊥AC于Q，过点E作EP⊥CA交CA的延长线于P，过点H作HJ⊥AC于J．

∵DQ∥CT，
∴，
∴，
∴DQ＝，AQ＝
由△AQD≌△EPQ，可得PE＝AQ＝，
∵EP∥HJ∥DQ，EH＝HD，
∴PJ＝JQ，
∴JH＝（PE+DQ）＝
∴△ACH的面积＝×6×＝．

专题17 等腰、等边三角形
一、单选题
1．（2020·浙江九年级期末）在一次数学综合活动课上，小凌同学需要在一个半径为6cm的圆上裁出一个面积尽可能大的等边三角形，则这个等边三角形的边长是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】D
【分析】
画出图形，作于点，利用垂径定理和等边三角形的性质求出AC的长，即可求解．
【详解】
解：依题意得，
连接，，作于点，

∵，
∴，，
∴
∴
由勾股定理可得

故选：D．
2．（2022·杭州市十三中教育集团（总校）九年级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）

A．3π B．4π C．6π D．9π
【答案】D
【分析】
先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
【详解】
解：，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径

外接圆的面积为
故选：D．
3．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级二模）如图，在等边△ABC中，D、E分别是边AB、BC的中点，DE＝2，则△ABC的周长为（ ）

A．9 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】
根据三角形中位线的性质得到2DE＝AC，解得AC的的长，再由等边三角形三边相等的性质解题即可．
【详解】
解：D、E分别是边AB、BC的中点，DE＝2，

在等边△ABC中，

△ABC的周长为：
故选：B．
4．（2022·南昌市第十九中学九年级月考）如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（　　）

A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
【答案】A
【分析】
根据旋转变换的性质得到AD＝AB，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】
解：由旋转的性质可知，AD＝AB，
∵∠B＝60°，AD＝AB，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝CB﹣BD＝1.6，
故选：A．
5．（2022·深圳市南山区荔香学校）如图，平行四边形中，，，，对角线，交于点，过点作，则等于（ ）

A． B． C． D．2.5
【答案】A
【分析】
过C作CF⊥AD于F，由已知条件求得，由OA=OC，所以，进而可得OE=CF．
【详解】
如解图所示，过C作CF⊥AD于F，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=60°
CD=AB=4，OA=OC,
∴∠DCF=30°
∴DF=CD=2，
∴CF=DF=2
∵CF⊥AD，OE⊥AD，
∵OA=OC，


∴OE=CF=．
故选A
6．（2022·四川）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【分析】
证明△ABC是等边三角形，可得结论．
【详解】
解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，
∵BC：AD＝2：，
∴tanB＝＝，
∴∠B＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
故选：C．
7．（2022·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，是等腰直角三角形的顶角平分线，，则等于（ ）

A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线的性质，得，即可得到答案．
【详解】
∵是等腰直角三角形的顶角平分线
∴，即为等腰直角三角形的中线
∴
∵
∴
故选：B．
8．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，在等腰直角中，，、分别为、上的点，，为上的点，且，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
作辅助线，构建矩形，得P是MN的中点，则MP＝NP＝CP，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可解答．
【详解】
解：如图，过点M作MG⊥BC于M，过点N作NG⊥AC于N，连接CG交MN于H，

∴∠GMC＝∠ACB＝∠CNG＝90°，
∴四边形CMGN是矩形，
∴CH＝CG＝MN，
∵PC＝MN，
存在两种情况：
如图，CP＝CP1＝MN，

①P是MN中点时，
∴MP＝NP＝CP，
∴∠CNM＝∠PCN＝50°，∠PMN＝∠PCM＝90°−50°＝40°，
∴∠CPM＝180°−40°−40°＝100°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵∠CPB＝117°，
∴∠BPM＝117°−100°＝17°，
∵∠PMC＝∠PBM＋∠BPM，
∴∠PBM＝40°−17°＝23°，
∴∠ABP＝45°−23°＝22°．
②CP1＝MN，
∴CP＝CP1，
∴∠CPP1＝∠CP1P＝80°，
∵∠BP1C＝117°，
∴∠BP1M＝117°−80°＝37°，
∴∠MBP1＝40°−37°＝3°，
而图中∠MBP1＞∠MBP，所以此种情况不符合题意．
故选：A．
9．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：，
，
，
解得：（负值舍去），
，
，
，
，
，
，
，
过B作于H，

，
，
，
，
当时，PQ的值最小，

，
，
，
，
故选：A．
10．（2022·河北九年级期末）如图，∠ABC=20°，将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF．若点A，F，E在同一条直线上，则∠AFB的度数是（ ）

A．35° B．40° C．45° D．50°
【答案】C
【分析】
由旋转的性质可得∠ABC＝∠EBF＝20°，AB＝BE，∠ABE＝130°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠E＝25°，再根据三角形的外角的性质即可求得答案．
【详解】
解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转130°得到△EBF，
∴∠ABC＝∠EBF＝20°，AB＝BE，∠ABE＝130°，
∴∠A＝∠E＝(180°－130°)÷2＝25°，
∴∠AFB＝∠E+∠EBF
＝25°+20°
＝45°，
故选：C．
二、填空题
11．（2022·重庆市育才中学九年级开学考试）如图，中，边的垂直平分线交于点，交于点，将沿翻折得到，若，则________．

【答案】81°
【分析】
由折叠的性质可得，由垂直平分线的性质可得，则有，然后可得，则有，进而可得，最后根据三角形内角和可求解．
【详解】
解：由折叠的性质可得，
∵边的垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在△ABC中，，，
∴，即，
∴；
故答案为81°．
12．（2022·浙江诸暨市暨阳初级中学九年级月考）AD为面积为30 的锐角三角形ABC的高，∠ACB＝2∠BAD，线段AB上的点E将AB分成两条线段的比为3∶2，过点E作BC的平行线交AC于点F，若AD＝6，则CF＝_______．
【答案】4或6
【分析】
根据三角形面积公式求得BC＝10，根据角的和差倍数可得∠B＝∠BAC，继而由等角对等边的性质可得BC＝AC＝10，根据线段比例即可求解．
【详解】
∵S△ABC＝＝30，AD＝6，
∴BC＝10，
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B，∠B＝90°﹣∠BAD，
在Rt△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠ACB，
∵∠ACB＝2∠BAD，
∴∠CAD＝90°﹣2∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD＋∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∴∠B＝∠BAC，
∴BC＝AC＝10，
∵点E将AB分成两条线段的比为3∶2，EF∥BC，
∴,或，

故答案为：4或6．
13．（2022·日照港中学九年级一模）如图，等腰直角三角形中，斜边的长为2，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为______．

【答案】1
【分析】
连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH=，即可判定点M到AB的距离总为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．
【详解】
解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，
∵△ACB为等腰直角三角形，斜边的长为2，
根据勾股定理
∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，
∵O为AB的中点，
∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在Rt△AOP和△COQ中
，
∴Rt△AOP≌△COQ（ASA），
∴AP=CQ，
∵∠A=45°，PE⊥AB，
∴∠APE=180°-∠A-∠AEP=180°-45°-90°=45°，
∴△APE为等腰直角三角形，
∵∠B=45°，QF⊥AB，
∴∠BQF=180°-∠B-∠BFQ=180°-45°-90°=45°，
∴△BFQ为等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M点为PQ的中点，
∴MH为梯形PEFQ的中位线，
∴MH=（PE+QF）=，
即点M到AB的距离为，而CO=1，
∴点M的运动路线为△ABC的中位线，
∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，
故答案为1．

14．（2022·黑龙江九年级期末）在菱形中，，，点在直线上，，连接，则线段的长为______．
【答案】或
【分析】
分两种情况进行计算：当点E在菱形边BC上时，当点E在BC延长线上时，根据菱形的性质可得△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出AE的长．
【详解】
解：当点在菱形边上时，如图1，

四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，，，
，，
；
当点在延长线上时，如图2，

过点作于点，
，
在中，，，
根据勾股定理，得
．
故答案为：或．
15．（2022·北京市陈经纶中学分校九年级月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BE，若CE＝1，则BD的长为_____．

【答案】2
【分析】
延长BA和CE交于点F，根据已知条件证明△FBE≌△CBE，可得EF=CE=1，得CF=2，再证明△ABD≌△ACF，进而可得结果．
【详解】
解：如图，延长BA和CE交于点F，

∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在△FBE和△CBE中，
，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴EF=CE=1，
∴CF=EF+EC=2，
∵∠BEF=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD=CF，
∵CF=2，
∴BD=2．
故答案为：2．
三、解答题
16．（2022·全国）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE＝60°，求证：BD•CD＝AC•CE．

【答案】见解析
【分析】
先证明 再证明 再利用相似三角形与等边三角形的性质可得结论.
【详解】
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴BD•CD＝AB•CE，
即BD•CD＝AC•CE；
17．（2022·广州市南武实验学校九年级期末）如图，在△ABC中，BA=BC，点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E
（1）求证：△AED∽△CDB；
（2）如果BC＝10，AD＝6，求AE的值．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由BA=BC，BD⊥AC，得到∠BDC=90°，∠A=∠C，由DE⊥AB，得到∠DEA=∠BDC=90°，由此即可求解；
（2）由三线合一定理可以得到AD=DC=6，由相似三角形的性质可以得到，由此即可求解．
【详解】
解：（1）∵BA=BC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，∠A=∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=∠BDC=90°，
∴△AED∽△CDB；
（2）∵BA=BC，BD⊥AC，
∴AD=DC=6，
∵△AED∽△CDB，
∴ ，
∴ ．


18．（2022·兰州市外国语学校九年级期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，连接BD并延长，与∠ACF的角平分线交于点E．
（1）求证：△ABD ∽△CED；
（2）若AB=8，AD=2CD，求CE的长．

【答案】（1）见解析；（2）CE=4
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到，则，根据角平分线的性质，得到，即可求证；
（2）利用相似三角形的性质得到，即可求解．
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；
∵CE平分∠ACF，∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；

（2）解：∵△ABD∽△CED，
∴，
∵AD=2DC，AB=8；
∴
19．（2022·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）78°
【分析】
（1）只需要证明△ABC≌△AEF即可得到答案；
（2）先求出∠FAG=∠BAE=50°，然后根据全等三角形的性质得到∠F=∠C=28°，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC与△AEF中，

∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF=BC；
（2）∵AB=AE，∠ABC=65°，
∴∠ABC=∠AEB=65°
∴∠BAE=180°-65°×2=50°，
∴∠FAG=∠BAE=50°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=28°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°．
20．（2022·常德市第十一中学）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，∠EBC＝30°，求证：AD＝BE．

【答案】见解析
【分析】
首先过点E作EF⊥BC于点F，利用已知得出EF是△ADC的中位线，再利用EF=BE求出即可．
【详解】
解：证明：过点E作EF⊥BC于点F，

∵AD⊥BC于D点，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
∵BE为中线，
∴F为DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF=AD，
∵∠CBE=30°，∠EFB=90°，
∴EF=BE，
∴AD=BE．
21．（2022·全国）如图，己知：Rt△ABC中，∠BAC＝9O°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，ED交AB延长线于F，求证：
①△ABD∽△CAD；
②AB∶AC＝DF∶AF．

【答案】①见解析；②见解析
【分析】
（1）由Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，易得∠BAD＝∠ACD，又由∠ADB＝∠ADC，即可证得△ABD∽△CAD；
（2）由△ABD∽△CAD，即可得，易证得△AFD∽△DFB，可得，继而证得结论．
【详解】
证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∵∠ADB＝∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
（2）∵△ABD∽△CAD，
∴，
∵E是AC中点，∠ADC＝90°，
∴ED＝EC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∵∠EDC＝∠BDF，∠ACD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠BDF，
∵∠AFD＝∠DFB，
∴△AFD∽△DFB，
∴，
∴，
∴AB∶AC＝DF∶AF．
22．（2020·广州市第七中学九年级期中）如图，在△ABC中，AD是△BCE的中位线，，CE交BA的延长线于点E，，．

（1）求证：△ABC为等腰三角形．
（2）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）通过证明得到即可；
（2）如图，连接、、，先利用勾股定理计算出，设的半径为，的半径为，在中利用勾股定理得到，解得，则，再利用面积法求出，即，然后计算即可．
【详解】
（1）证明：∵AD是的中位线，
∴，，
，，
又∵，
，
，
又∵，
，
为等腰三角形．
（2）解：如图，作的外接圆⊙P与内切圆⊙Q，连接、、，
∵等腰和它的外接圆⊙P与内切圆⊙Q都是轴对称图形，且它们有一条公共的对称轴，为AP所在直线，
∴圆心Q也在AP上，
∵，，，
∴，，
∴在中，，
设的半径为，的半径为，
∵在中，，
∴，
解得：，
，
，
，
解得：，
即，
．
答：的外接圆圆心与内切圆圆心之间的距离为．

23．（2022·廊坊市第四中学九年级期末）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

（1）当DE⊥AC时， AD与BC的位置关系是______，AE与BC的位置关系是______；
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）当旋转角α=______时，△ABD的面积最大．
【答案】（1）垂直，平行；（2）∠BEC=90°；（3）90°或270°
【分析】
（1）根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行；
（2）利用等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，求出∠ADB=∠AEC=135°，所以∠BEC=∠AEC-45°=90°；
（3）根据题意画出图形，由题意知，点D的轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，在△ABD中，当以AB为底时，当点D到AB的距离最大时，△ABD的面积最大，当AD⊥AB时，△ABD的面积最大，所以旋转角为90°或270°．
【详解】
解：（1）设AC与DE交于点H，

在等腰直角△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，AB=AC，∠B=∠C=45°，
∵DE⊥AC，
∴∠DAH=∠EAH=∠DAE=45°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAH=45°，
∴∠BAD=∠DAH，
∴AD⊥BC，
∵∠EAH=∠C=45°，
∴AE∥BC，
故答案为：垂直，平行；
（2）在等腰直角△ADE中，AD=AE，∠DAE=90°，

在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-∠DAC，
∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC=180°-∠ADE=135°，
∴∠BEC=∠AEC-45°=135°-45°=90°；
（3）由题意知，点D的轨迹在以A为圆心，AD为半径的圆上，如图3-1，3-2，

在△ABD中，当以AB为底时，当点D到AB的距离最大时，△ABD的面积最大，
故如图3-1，3-2所示，当AD⊥AB时，△ABD的面积最大，所以旋转角为90°或270°，
故答案为：90°或270°．