初中数学21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案设计

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课题：21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学 科：数学  执教教师：  许业成  执教班级：901课时安排：  1个课时教材分析《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2.4的内容,一元二次方程根与系数的关系(也称韦达定理)，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。学情分析 从学生心理特征来看，他们有一定的分析问题、归纳问题的能力。因此本节课，注重激发学生的求知欲，让他们真正成为学习的主人。所以在教学中我抓住这些特点一方面运用色彩绚丽的图片课件，激发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面，我创造机会和条件，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，充分体现新课程所倡导的以学生为本的理念。教学目标1、让学生在理解的基础上理解并掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系解决待定字母及代数式求值问题；2、通过韦达定理的学习，使学生经历观察、发现、猜想、证明等数学活动过程，进一步培养学生的创新意识和创新精神；3、通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重难点重点：一元二次方程根与系数关系。难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，能运用根与系数的关系解决待定字母及代数式求值问题。教学方法讲授法、讨论法、启发法教学环节教师活动学生活动设计意图复习回顾思考并回答:1、一元二次方程的一般形式? 2、一元二次方程有实数根的条件 是什么?3当Δ>0，Δ=0，Δ<0根的情况如何?4、一元二次方程的求根公式是什么?教师强调:第一个问题要注意条件“a≠0”学生复习四个问题，交流各自的想法，并回答问题。以问题串的形式，引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，为后面的学习作好铺垫。情景引入提出问题:悟空和八戒在解一道题“若一元二次方程6x2+x-2=0的两根是x1，x2则x1+x2与x1x2的值分别是多少?”当八戒苦思冥想时，悟空却随口就说出答案。你知道悟空是用什么诀窍计算出来的吗?本节课我们一起来探究“根与系数的关系”，了解这其中的秘诀!(板书)学生动笔完成求解过程，并求出两根之和与两根之积。达到抛砖引玉的效果，激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究新知的兴趣。自然引出本节课要学习的课题.探究新知 （一）寻找规律，猜想公式教师:检查学生完成情况，请三位学生代表完成表格，随后让学生根据以上的观察发现进一步猜想:方程ax2+bx+c =0(a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系.请同学们分组完成这三个方程的求解，第一组第二组解第一个方程，第三、四组解第三个方程，三分钟后我找同学回答。(第二个方程在情景引入环节已解)在复习旧知的基础上，学生很快完成表格，鼓励学生敢于发表自己的看法。在探究的过程中体现了特殊到一般，从实践到理论的认知规律.(二)合作探究，验证公式刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系,那么是不是所有的一元二次方程根与系数都存在这样的关系呢?,  .教师:你能证明上面的猜想吗?请证明，并用文字语言叙述说明。推导一:教师提示:公式法是万能法，可借用求根公式推导。学生尝试在练习本上作出推理证明，教师引导，点拨，随后课件展示推理过程。推导二:师:如果不用求根公式，你能用其他方法证明一元二次方程两根和，两根积与方程系数的关系吗?学生思考，畅所欲言。如果想不到，教师就提示:方程的二次项系数可以化为1，得:由于方程有两根、，由因式分解法知，方程可以化为,去括号整理得，对比两个方程即可得出。归纳总结：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1，x2，那么,  .教师板书公式，达成共识.解决问题:解决“情景引入”环节的疑惑。悟空和八戒在解一道题“若一元二次方程6x2+x-2=0的两根是x1，x2则x1+x2与x1x2的值分别是多少?”当八戒苦思冥想时，悟空却随口就说出答案。你知道悟空是用什么诀窍计算出来的吗?   学生观察，思考，发现问题，小组讨论解决问题，并尝试在练习本上作出推理证明。    学生思考，畅所欲言。     推导二学生可能想不到，教师可做引导，点拨，学生动手尝试，对比两个方程，得出关系。                  有了公式做保障，这个问题学生很快得到解决。     采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑、又动口，提高学生参与度。     两种不同的推理证明，从不同的方向验证了公式的准确性，说服力强。鼓励学生在独立思考的同时积极投入到研讨中来。培养学生分析问题，解决问题的能力。        疑惑的解决，增强学生自信心，调动学生积极性，提高了学生参与度，活跃课堂气氛。             尝试发展尝试题1:根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为x1、x2，k是常数)（1）    ，    .（2）    ，    .（3）    ，    .（4）    ，    .学生迅速演算或口算.尝试题2:若一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根分别为、，利用根与系数的关系求下列各式的值。（1）；（2）；（3）;（4）.尝试题3:方程的一根为1，求它的另一个根及k的值. 抢答形式，看谁回答的又快又准。 强调:第(3)小题要先将方程化为一般形式再进行计算，(学生先回答，发现问题后再强调)        小组合作交流，需明确现将代数式变形，转化为两根和与积的形式后再代值.每组各请一位学生代表板演，其他学生在课堂练习本上完成。    学生自己独立完成, 老师投屏两种不同的解题思路。通过对比，学生明确此类题的最佳解法，简化计算。    在“练中学”，训练的不仅是思维，更是运算技能的培养。      引导学生及时巩固本节所学的新知，培养学生思维严谨性和批判性.     体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。 拓展训练 已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1、x2，若 ，求k 的值， 学生独立完成，同桌交换批阅，教师讲解，发现错误率较高，教师强调“验根”的必要性。 2.利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和-3.学生在先做后纠的情况下完成练习，记忆深刻，“验根”需牢记。问题的难度逐渐增大，让学生体会到了这一公式可以巧妙的用于求根、验根、简化计算等，充分体会到一元二次方程根与系数的关系的广泛应用和便捷。感悟收获（1）一元二次方程根与系数的关系是什么?（2）我们是如何得到根与系数的关系的？回答：若一元二次方程ax² + bx +c = 0 (a≠0)的两个根x1、x2和系数 a，b，c 有如下关系：   回答：研究方法有特殊------ 一般      未知 -------已知通过小结使学生梳理本节所学内容，把握本节课的核心，并体验教学活动充满着探索性与创造性。布置作业课堂作业：课本17页第4题 ；家庭作业：完成基础训练本课时。