数学八年级下册4.4 平行四边形的判定精练

平行四边形及其性质同步练习

一、选择题

1、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　 　)

A．AB∥DC，AD＝BC          

B．AB∥DC，AD∥BC

C．AB＝DC，AD＝BC          

D．OA＝OC，OB＝OD  

2、如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是(　 　)

A．8           B．9           C．10              D．11

3、如图，将▱ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是(　 　)

A．①②都对           B．①②都错

C．①对，②错         D．①错，②对

4、如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线相交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的长为(　 　)

A．2              B．4               C．4               D．8

二、填空题

    1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，请你添加一对线段或一对角之间关系的条件，使四边形ABCD是平行四边形，你所添加的条件是         ．

　　.

2、如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF＝    .

  3、如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点(不与点B重合)．以BD，BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP綊BE(点P，E在直线AB的同侧)，如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比为________

三、解答题

1．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．

2. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添辅助线的方法，叫做“加倍中线法”．

请用这种方法解决下面的问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．求证：CD＝2CE.

  3、如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.

(1)求证：△ABC≌△EAD.

(2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

4. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，BM⊥AC于点M，CN⊥BD于点N，DF⊥AC于点F.求证：EF∥MN.

5．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＋BC＝CD＋DA，请判断AD与BC的数量关系，并说明理由.

参考答案

一、选择题

1、A

【解析】A中，条件为一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形ABCD是平行四边形；B中，条件是两组对边分别平行，能判断四边形ABCD是平行四边形；C中，条件是两组对边相等，能判断四边形ABCD是平行四边形；D中，条件是对角线互相平分，能判断四边形ABCD是平行四边形．故选A.

2、C

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，BD＝2OB.∵AB⊥AC, ∴∠OAB＝90°.在Rt△AOB中，∵OA2＋AB2＝OB2，∴OB＝＝5，∴BD＝2OB＝10.故选C.

3、A

【解析】

由折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝DN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∴∠B＝∠AMN，∴MN∥BC.故①正确；∵BC∥AD，∴MN∥AD，∵DN∥AM，∴四边形AMND是平行四边形．∴DN＝AM，∴MN＝AM.故②正确．故选A.

4、B

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝4，DC∥AB，∴∠FAB＝∠DFA.又∵AF是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝FD.∵DG⊥AE，∴AG＝FG.∵F为边DC的中点，∴DF＝CF＝2.在Rt△DGF中，GF＝＝，

∴AF＝2GF＝2.∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E.又∵DF＝CF，∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF，∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4.故选B.

二、填空题

1、AD＝BC(AB∥CD或∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD或AO＝CO或BO＝DO)

【解析】有四种添加方法：(1)添加AD＝BC，由“一组对边平行且相等”可得平行四边形；(2)添加AB∥CD，由“两组对边平行”可得平行四边形；    (3)添加∠ABC＝∠ADC或∠BAD＝∠BCD，可得“两组对边平行”再得平行四边形；(4)添加AO＝CO或BO＝DO，由三角形全等，进一步得出“一组对边平行且相等”可得平行四边形．

2、2

【解析】　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3.∴∠DAF＝∠BFA.∵AE平分∠DAB，∴∠DAF＝∠FAB.∴∠BFA＝∠BAF.∴AB＝BF＝BC＋CF.∴CF＝AB－BC＝5－3＝2.

3、 3:4

【解析】如图，过点P作PH∥BC交AB于点H，

连接CH，PF，∵AP綊BE，∴四边形APEB是平行四边形，∴PE綊AB.∵四边形BDEF是平行四边形，∴EF綊BD，即EF∥AB，∴P，F，E三点共线．设BD＝a，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4a，则PF＝PE－EF＝3a.∵PH∥BC，∴S△HBC＝S△PBC.

∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形，∴BH＝PF＝3a.∵S△HBC∶S△ABC＝BH∶AB＝3a∶4a＝3∶4，∴S△PBC∶S△ABC＝3∶4.

三、解答题

1、【解】　∴OE∥BC，且OE＝BC. 又∵CF＝BC，∴OE＝CF. 又∵点F在BC的延长线上，∴OE∥CF，∴四边形OCFE是平行四边形．

2. 延长CE到点F，使EF＝CE，连结AF，BF.

∵EF＝CE，E是AB的中点，∴四边形ACBF是平行四边形，

∴AF∥BC，AF＝BC，∴∠FAB＝∠ABC.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠FAB＝∠ACB，

∴∠FAB＋∠BAC＝∠ACB＋∠BAC，

∴∠FAC＝∠DBC.

又∵AC＝AB＝BD，AF＝BC，

∴△AFC≌△BCD(SAS)．

∴CD＝CF，即CD＝2CE.

3. 【解】　(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，∠DAE＝∠AEB.

又∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B.

∴∠B＝∠DAE.在△ABC和△EAD中，

∴△ABC≌△EAD(SAS)．

(2)∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠BAE，

又∵∠DAE＝∠AEB，

∴∠BAE＝∠AEB＝∠B.

∴△ABE为等边三角形.

∴∠BAE＝60°.∵∠EAC＝25°，

∴∠BAC＝85°.∵△ABC≌△EAD，

∴∠AED＝∠BAC＝85°.

4. 【解】　连结ME，NF.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.

∵BM⊥AC，DF⊥AC，

∴∠BMO＝∠DFO＝90°.

又∵∠BOM＝∠DOF，

∴△BMO≌△DFO(AAS)．∴OM＝OF.

同理可得OE＝ON，

∴四边形MEFN是平行四边形，∴EF∥MN.

5、解：AD＝BC.理由如下：

延长AB至点E，使BE＝BC，延长CD至点F，使DF＝DA，连结CE，AF.

∵AB＋BC＝CD＋DA，∴AE＝CF.

又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，

∴∠E＝∠F，CE＝AF.

又∵BE＝BC，DF＝AD，

∴∠E＝∠BCE＝∠F＝∠DAF.

又∵CE＝AF，∴△AFD≌△CEB(ASA)．

∴AD＝BC.