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    湖南省株洲市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类

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    湖南省株洲市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类

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    这是一份湖南省株洲市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类,共23页。试卷主要包含了计算,,统计如下表,在函数 的图象上,=OC2等内容,欢迎下载使用。


    1.(2023•株洲)计算:.
    二.一次函数的应用(共1小题)
    2.(2023•株洲)某花店每天购进16支某种花,然后出售,如果当天售不完,那么剩下的这种花进行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量(n为正整数,单位:支),统计如下表:
    (1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数;
    (2)当n<16时,日利润y(单位:元)关于n的函数表达式为:y=10n﹣80;当n≥16时,日利润为80元.
    ①当n=14时,问该花店这天的利润为多少元?
    ②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率.
    三.反比例函数图象上点的坐标特征(共1小题)
    3.(2023•株洲)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,四边形OABC为正方形,其中点A、C分别在x轴负半轴,y轴负半轴上,点B在第三象限内,点A(t,0),点P(1,2)在函数 的图象上.
    (1)求k的值;
    (2)连接BP、CP,记△BCP的面积为S,设T=2S﹣2t2,求T的最大值.
    四.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)
    4.(2021•株洲)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x的图象l与函数y=(k>0,x>0)的图象(记为Γ)交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,且AB=1,点C在线段OB上(不含端点),且OC=t,过点C作直线l1∥x轴,交l于点D,交图象Γ于点E.
    (1)求k的值,并且用含t的式子表示点D的横坐标;
    (2)连接OE、BE、AE,记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2,设U=S1﹣S2,求U的最大值.
    五.二次函数综合题(共3小题)
    5.(2023•株洲)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
    (1)若a=1,c=﹣1,且该二次函数的图象过点(2,0),求b的值;
    (2)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<0<x2,点D在⊙O上且在第二象限内,点E在x轴正半轴上,连接DE,且线段DE交y轴正半轴于点F,.
    ①求证:.
    ②当点E在线段OB上,且BE=1.⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍,若4ac=﹣a2﹣b2,求2a+b的值.
    6.(2021•株洲)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
    (1)若a=,b=c=﹣2,求方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值;
    (2)如图所示,该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1<0<x2,与y轴的负半轴交于点C,点D在线段OC上,连接AC、BD,满足∠ACO=∠ABD,﹣+c=x1.
    ①求证:△AOC≌△DOB;
    ②连接BC,过点D作DE⊥BC于点E,点F(0,x1﹣x2)在y轴的负半轴上,连接AF,且∠ACO=∠CAF+∠CBD,求的值.
    7.(2022•株洲)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
    (1)若a=1,b=3,且该二次函数的图象过点(1,1),求c的值;
    (2)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0),其中x1<0<x2、|x1|>|x2|,且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上,其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N,BE与y轴相交于点P,且满足tan∠ABE=.
    ①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值;
    ②若NP=2BP,令T=c,求T的最小值.
    阅读材料:十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系,可表述为“当判别式Δ≥0时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2有如下关系:x1+x2=,x1x2=”.此关系通常被称为“韦达定理”.
    六.平行四边形的判定与性质(共1小题)
    8.(2023•株洲)如图所示,在△ABC 中,点D、E分别为AB、AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G、F分别为BH、CH的中点.
    (1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
    (2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.

    七.圆的综合题(共1小题)
    9.(2021•株洲)如图所示,AB是⊙O的直径,点C、D是⊙O上不同的两点,直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F,若OC=3CE,且9(EF2﹣CF2)=OC2.
    (1)求证:直线CF是⊙O的切线;
    (2)连接OD、AD、AC、DC,若∠COD=2∠BOC.
    ①求证:△ACD∽△OBE;
    ②过点E作EG∥AB,交线段AC于点G,点M为线段AC的中点,若AD=4,求线段MG的长度.
    八.解直角三角形的应用(共1小题)
    10.(2021•株洲)将一物体(视为边长为米的正方形ABCD)从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示,刚开始点B与斜面EF上的点E重合,先将该物体绕点B(E)按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置,再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置(此时点B2与点G重合),最后将物体移到车厢平台面MG上.已知MG∥PQ,∠FBP=30°,过点F作FH⊥MG于点H,FH=米,EF=4米.
    (1)求线段FG的长度;
    (2)求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程.
    九.解直角三角形的应用-方向角问题(共1小题)
    11.(2023•株洲)如图所示,在某交叉路口,一货车在道路①上点A处等候“绿灯”,一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶.已知∠POQ=30°,BC∥OQ,OC⊥OQ,AO⊥OP,线段AO的延长线交直线BC于点D.
    (1)求∠COD的大小;
    (2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上,其中,OD=12米.问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车?(当该轿车行驶至点D处时,正好发现点A处的货车)

    一十.加权平均数(共1小题)
    12.(2022•株洲)某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动,邀请5名老师作为专业评委,50名学生代表参与民主测评,且民主测评的结果无弃权票.某作品的评比数据统计如下:
    (专业评委给分统计表)
    记“专业评委给分”的平均数为.
    (1)求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数;
    (2)对于该作品,问的值是多少?
    (3)记“民主测评得分”为,“综合得分”为S,若规定:
    ①=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×(﹣1)分;
    ②S=0.7+0.3.
    求该作品的“综合得分”S的值.
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    参考答案与试题解析
    一.实数的运算(共1小题)
    1.(2023•株洲)计算:.
    【答案】2.
    【解答】解:原式=
    =1+1
    =2.
    二.一次函数的应用(共1小题)
    2.(2023•株洲)某花店每天购进16支某种花,然后出售,如果当天售不完,那么剩下的这种花进行作废处理.该花店记录了10天该种花的日需求量(n为正整数,单位:支),统计如下表:
    (1)求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数;
    (2)当n<16时,日利润y(单位:元)关于n的函数表达式为:y=10n﹣80;当n≥16时,日利润为80元.
    ①当n=14时,问该花店这天的利润为多少元?
    ②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率.
    【答案】(1)花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天;
    (2)①当n=14时,该花店这天的利润为60元;
    ②该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为.
    【解答】解:(1)1+1+2=4,
    答:花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天;
    (2)①当n=14时,y=10n﹣80=10×14﹣80=60,
    答:当n=14时,该花店这天的利润为60元;
    ②当n<16时,70=10n﹣80,解得:n=15,
    当n=15时,有2天,
    ∴=.
    答:该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为.
    三.反比例函数图象上点的坐标特征(共1小题)
    3.(2023•株洲)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,四边形OABC为正方形,其中点A、C分别在x轴负半轴,y轴负半轴上,点B在第三象限内,点A(t,0),点P(1,2)在函数 的图象上.
    (1)求k的值;
    (2)连接BP、CP,记△BCP的面积为S,设T=2S﹣2t2,求T的最大值.
    【答案】(1)k=2;
    (2)Tmx=1.
    【解答】解:(1)∵点P(1,2)在函数 的图象上,
    ∴2=,
    ∴k=2,
    即k的值为2;
    (2)∵点A(t,0)在x轴负半轴上,
    ∴OA=﹣t,
    ∵四边形OABC为正方形,
    ∴OC=BC=OA=﹣t,BC∥x轴,
    ∴△BCP的面积为S=×(﹣t)×(2﹣t)=t2﹣t,
    ∴T=2S﹣2t2=2(t2﹣t)﹣2t2=﹣t2﹣2t=﹣(t+1)2+1,
    ∵﹣1<0,
    ∴抛物线开口向下,
    ∴当t=﹣1时,T有最大值,T的最大值是1.
    四.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)
    4.(2021•株洲)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x的图象l与函数y=(k>0,x>0)的图象(记为Γ)交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,且AB=1,点C在线段OB上(不含端点),且OC=t,过点C作直线l1∥x轴,交l于点D,交图象Γ于点E.
    (1)求k的值,并且用含t的式子表示点D的横坐标;
    (2)连接OE、BE、AE,记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2,设U=S1﹣S2,求U的最大值.
    【答案】(1)k=2,点D的横坐标为t;
    (2).
    【解答】解:(1)∵AB⊥y轴,且AB=1,
    ∴点A的横坐标为1,
    ∵点A在直线y=2x上,
    ∴y=2×1=2,
    ∴点A(1,2),
    ∴B(0,2),
    ∵点A在函数y=上,
    ∴k=1×2=2,
    ∵OC=t,
    ∴C(0,t),
    ∵CE∥x轴,
    ∴点D的纵坐标为t,
    ∵点D在直线y=2x上,t=2x,
    ∴x=t,
    ∴点D的横坐标为t;
    (2)由(1)知,k=2,
    ∴反比例函数的解析式为y=,
    由(1)知,CE∥x轴,
    ∴C(0,t),
    ∴点E的纵坐标为t,
    ∵点E在反比例函数y=的图象上,
    ∴x=,
    ∴E(,t),
    ∴CE=,
    ∵B(0,2),
    ∴OB=2.
    ∴S1=S△OBE=OB•CE=×2×=
    由(1)知,A(1,2),D(t,t),
    ∴DE=﹣t,
    ∵CE∥x轴,
    ∴S2=S△ADE=DE(yA﹣yD)=(﹣t)(2﹣t)=t2﹣t+﹣1,
    ∴U=S1﹣S2=﹣(t2﹣t+﹣1)=﹣t2+t+1=﹣(t﹣1)2+,
    ∵点C在线段OB上(不含端点),
    ∴0<t<2,
    ∴当t=1时,U最大=.
    五.二次函数综合题(共3小题)
    5.(2023•株洲)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
    (1)若a=1,c=﹣1,且该二次函数的图象过点(2,0),求b的值;
    (2)如图所示,在平面直角坐标系Oxy中,该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<0<x2,点D在⊙O上且在第二象限内,点E在x轴正半轴上,连接DE,且线段DE交y轴正半轴于点F,.
    ①求证:.
    ②当点E在线段OB上,且BE=1.⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍,若4ac=﹣a2﹣b2,求2a+b的值.
    【答案】(1);(2)①见解析;②0.
    【解答】(1)解:∵a=1,c=﹣1,
    ∴二次函数解析式为y=x2+bx﹣1,
    ∵该二次函数的图象过点(2,0),
    ∴4+2b﹣1=0,
    解得:b=﹣;
    (2)①证明:∵∠DOF=∠DEO,∠ODF=∠EDO,
    ∴△DOF∽△DEO,
    ∴,
    ∴=,
    ∵,
    ∴;
    ②解∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<0<x2,
    ∴OA=﹣x1,OB=x2,
    ∵BE=1.
    ∴OE=x2﹣1,
    ∵⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍,
    ∴OD=﹣2x1,
    ∵,
    ∴,
    ∴3x1+x2﹣1=0,
    即x2=1﹣3x1①,
    ∵该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),
    ∴x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根,
    ∴,
    ∵4ac=﹣a2﹣b2,a≠0,
    ∴,
    即4(x1x2)+1+(x1+x2)2=0②
    ①代入②,即,
    即,
    整理得﹣8(x1)2=﹣2,
    ∴,
    解得:(正值舍去),
    ∴,
    ∴抛物线的对称轴为直线,
    ∴b=﹣2a,
    ∴2a+b=0.
    6.(2021•株洲)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
    (1)若a=,b=c=﹣2,求方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值;
    (2)如图所示,该二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1<0<x2,与y轴的负半轴交于点C,点D在线段OC上,连接AC、BD,满足∠ACO=∠ABD,﹣+c=x1.
    ①求证:△AOC≌△DOB;
    ②连接BC,过点D作DE⊥BC于点E,点F(0,x1﹣x2)在y轴的负半轴上,连接AF,且∠ACO=∠CAF+∠CBD,求的值.
    【答案】(1)8;(2)①见解答;②2.
    【解答】解:(1)当a=,b=c=﹣2时,Δ=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4××(﹣2)=8;
    (2)①设ax2+bx+c=0,则x1+x2=﹣,x1x2=,
    则+x1=﹣x2=c,即x2=﹣c=OC,x1=÷x2=﹣,
    ∵OB=x2=CO,∠ACO=∠ABD,∠COA=∠BOD=90°,
    ∴△AOC≌△DOB(ASA);
    ②∵∠OCA=∠CAF+∠CFA,∠ACO=∠CAF+∠CBD,
    ∴∠CBD=∠AFO,
    ∵OB=OC,故∠OCB=45°,
    ∵CD=OC﹣OD=OC﹣OA=﹣c﹣,
    则DE=CD=﹣(c+)=CE,
    则BE=BC﹣CE=OB﹣CE=﹣c+(﹣c+),
    则tan∠CBD===,
    而tan∠AFO====tan∠CBD=,
    解得ca=﹣2或ca=1,
    又∵抛物线开口向上,与y轴交于负半轴,
    ∴a>0,c<0,
    ∴ac<0,即ca=1(舍去),
    而==﹣ac=2,
    故的值为2.
    7.(2022•株洲)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).
    (1)若a=1,b=3,且该二次函数的图象过点(1,1),求c的值;
    (2)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0),其中x1<0<x2、|x1|>|x2|,且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上,其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N,BE与y轴相交于点P,且满足tan∠ABE=.
    ①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值;
    ②若NP=2BP,令T=c,求T的最小值.
    阅读材料:十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系,可表述为“当判别式Δ≥0时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2有如下关系:x1+x2=,x1x2=”.此关系通常被称为“韦达定理”.
    【答案】(1)c=﹣3;
    (2)①9;
    ②﹣4.
    【解答】解:(1)当a=1,b=3时,y=x2+3x+c,
    把x=1,y=1代入得,
    1=1+3+c,
    ∴c=﹣3;
    (2)①方法(一)由ax2+bx+c=0得,
    x1=,x2=,
    ∴AB=x2﹣x1=,
    ∵抛物线的顶点坐标为:(﹣,),
    ∴AE=,OM=,
    ∵∠BAE=90°,
    ∴tan∠ABE==,
    ∴=,
    ∴b2﹣4ac=9;
    (方法二)由ax2+bx+c=0得,
    ∵x1+x2=,x1x2=,
    ∴|x1﹣x2|===,
    下面过程相同;
    ②∵b2﹣4ac=9,
    ∴x2=,
    ∵OP∥MN,
    ∴,
    ∴:=2,
    ∴b=2,
    ∴22﹣4ac=9,
    ∴c=﹣,
    ∴T=c=﹣=﹣=(﹣2)2﹣4,
    ∴当=2时,T最小=﹣4,
    即a=时,T最小=﹣4.
    六.平行四边形的判定与性质(共1小题)
    8.(2023•株洲)如图所示,在△ABC 中,点D、E分别为AB、AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G、F分别为BH、CH的中点.
    (1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
    (2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.

    【答案】(1)证明见解析;
    (2).
    【解答】(1)证明:∵点D、E分别为AB、AC的中点,点G、F分别为BH、CH的中点,
    ∴DE是△ABC的中位线,GF是△HBC的中位线,
    ∴DE∥BC,DE=BC,GF∥BC,GF=BC,
    ∴DE∥GF,DE=GF,
    ∴四边形DEFG为平行四边形;
    (2)解:∵四边形DEFG为平行四边形,
    ∴DG=EF=2,
    ∵DG⊥BH,
    ∴∠DGB=90°,
    ∴BG===,
    即线段BG的长度为.
    七.圆的综合题(共1小题)
    9.(2021•株洲)如图所示,AB是⊙O的直径,点C、D是⊙O上不同的两点,直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F,若OC=3CE,且9(EF2﹣CF2)=OC2.
    (1)求证:直线CF是⊙O的切线;
    (2)连接OD、AD、AC、DC,若∠COD=2∠BOC.
    ①求证:△ACD∽△OBE;
    ②过点E作EG∥AB,交线段AC于点G,点M为线段AC的中点,若AD=4,求线段MG的长度.
    【答案】(1)证明见解析部分.
    (2)①证明见解析部分.
    ②1.
    【解答】(1)证明:∵9(EF2﹣CF2)=OC2,OC=3CE,
    ∴9(EF2﹣CF2)=9EC2,
    ∴EF2=EC2+CF2,
    ∴∠ECF=90°,
    ∴OC⊥CF,
    ∴直线CF是⊙O的切线.
    (2)①证明:∵∠COD=2∠DAC,∠COD=2∠BOC,
    ∴∠DAC=∠EOB,
    ∵∠DCA=∠EBO,
    ∴△ACD∽△OBE.
    ②解:∵OB=OC,OC=3EC,
    ∴OB:OE=3:2,
    ∵△ACD∽△OBE,
    ∴=,
    ∴==,
    ∵AD=4,
    ∴AC=6,
    ∵M是AC的中点,
    ∴CM=MA=3,
    ∵EG∥OA,
    ∴==,
    ∴CG=2,
    ∴MG=CM﹣CG=3﹣2=1,
    即线段MG的长度为1.
    八.解直角三角形的应用(共1小题)
    10.(2021•株洲)将一物体(视为边长为米的正方形ABCD)从地面PQ上挪到货车车厢内.如图所示,刚开始点B与斜面EF上的点E重合,先将该物体绕点B(E)按逆时针方向旋转至正方形A1BC1D1的位置,再将其沿EF方向平移至正方形A2B2C2D2的位置(此时点B2与点G重合),最后将物体移到车厢平台面MG上.已知MG∥PQ,∠FBP=30°,过点F作FH⊥MG于点H,FH=米,EF=4米.
    (1)求线段FG的长度;
    (2)求在此过程中点A运动至点A2所经过的路程.
    【答案】(1)米.
    (2)4米.
    【解答】解:(1)∵GM∥PA,
    ∴∠FGH=∠FBP=30°,
    ∵FH⊥GM,
    ∴∠FHG=90°,
    ∴FG=2FH=(米).
    (2)∵EF=4米,FG=米.
    ∴EG=EF﹣FG=4﹣=(米),
    ∵∠ABA1=180°﹣90°﹣30°=60°,BA=米,
    ∴点A运动至点A2所经过的路程=+=4(米).
    九.解直角三角形的应用-方向角问题(共1小题)
    11.(2023•株洲)如图所示,在某交叉路口,一货车在道路①上点A处等候“绿灯”,一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶.已知∠POQ=30°,BC∥OQ,OC⊥OQ,AO⊥OP,线段AO的延长线交直线BC于点D.
    (1)求∠COD的大小;
    (2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上,其中,OD=12米.问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车?(当该轿车行驶至点D处时,正好发现点A处的货车)

    【答案】(1)30°;
    (2)24米.
    【解答】解:(1)∵AO⊥OP,
    ∴∠POD=90°,
    ∵∠POQ=30°,
    ∴∠DOQ=∠POD﹣∠POQ=90°﹣30°=60°,
    ∵OC⊥OQ,
    ∴∠COQ=90°,
    ∴∠COD=∠COQ﹣∠DOQ=90°﹣60°=30°,
    即∠COD的大小为30°;
    (2)∵BC∥OQ,
    ∴∠BCO=180°﹣∠COQ=90°,
    在Rt△COD中,∠COD=30°,OD=12米,
    ∴(米),
    ∴==6(米),
    ∵tan,
    ∴BC=(米),
    ∴BD=BC﹣CD=30﹣6=24(米),
    即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车.
    一十.加权平均数(共1小题)
    12.(2022•株洲)某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动,邀请5名老师作为专业评委,50名学生代表参与民主测评,且民主测评的结果无弃权票.某作品的评比数据统计如下:
    (专业评委给分统计表)
    记“专业评委给分”的平均数为.
    (1)求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数;
    (2)对于该作品,问的值是多少?
    (3)记“民主测评得分”为,“综合得分”为S,若规定:
    ①=“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×(﹣1)分;
    ②S=0.7+0.3.
    求该作品的“综合得分”S的值.
    【答案】(1)该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张;(2)的值是90分;(3)该作品的“综合得分”S的值为96分.
    【解答】解:(1)该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数:50﹣40=10(张),
    答:该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张;
    (2)=(88+87+94+91+90)÷5=90(分);
    答:的值是90分;
    (3)①=40×3+10×(﹣1)=110(分);
    ②∵S=0.7+0.3
    =0.7×90+0.3×110
    =96(分).
    答:该作品的“综合得分”S的值为96分.
    日需求量n
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    天数
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    专业评委
    给分(单位:分)

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