2022-2023学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷，共40页。试卷主要包含了选择题.，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共20小题，共60分）.
1. 比小的数是(    )
A. B. C. D.
2. 据统计，第届冬季奥运会的电视转播时间长达小时，其中数据用科学记数法表示为(    )
A. B. C. D.
3. 如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 下列计算正确的是(    )
A. B.
C. D.
5. 如图，直线，连接，点是上一点，，，则的大小为(    )
A.
B.
C.
D.
6. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为(    )
A. B.   C. D.  
7. 某公司生产的一种产品按照质量由高到低分为，，，四级，为了增加产量、提高质量，该公司改进了一次生产工艺，使得生产总量增加了一倍．为了解新生产工艺的效果，对改进生产工艺前、后的四级产品的占比情况进行了统计，绘制了如下扇形图：

根据以上信息，下列推断合理的是(    )
A. 改进生产工艺后，级产品的数量没有变化
B. 改进生产工艺后，级产品的数量增加了不到一倍
C. 改进生产工艺后，级产品的数量减少
D. 改进生产工艺后，级产品的数量减少
8. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点，，在同一直线上，则该建筑物的高度约为(    )
精确到参考数据：，，，


A. B. C. D.
9. 如图，菱形的一边在轴上，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，若，，则点的坐标为(    )
A.
B.
C.
D.


10. 如图、是的直径，是的切线，切点为，交于点，直线是的切线，切点为，交于，若半径为，，则图中阴影部分的面积为(    )

A. B. C. D.
11. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. 笛卡尔心形线 B. 阿基米德螺旋线
C. 科克曲线 D. 赵爽弦图
12. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是(    )
A. B.
C. D.
13. 使分式有意义的的取值范围是(    )
A. B. C. D.
14. 下列命题的逆命题，是真命题的为(    )
A. 四边形是多边形 B. 对顶角相等
C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若，则
15. 下列分解因式正确的是(    )
A. B.
C. D.
16. 如图所示，线段的垂直平分线交于点，，则的度数为(    )
A.
B.
C.
D.
17. 如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是(    )

A. B. C. D.
18. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是(    )


A. ， B. ，
C. ， D. ，
19. 如图，与交于点，点在上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是(    )
A. 、是的内角平分线
B. 也是的一条内角平分线
C.
D. 点到三边的距离相等
20. 如图，四边形中，，，，点、分别为线段、上的动点，点、分别为、的中点，则长度的可能为(    )


A. B. C. D.
二、填空题（共10小题，共30.0分）
21. 计算： ______ ．
22. 关于的一元二次方程有实数根，请写出一个符合题意的的值______．
23. 从、、、、、这个数字中任意抽取个数字不放回，记为，再任意抽取个数字，记为，则点落在直线上方的概率是______．
24. 如图，在正方形中，点在上，连接，作于，作于，连接，若，，则线段的长为______．


25. ，两地相距，甲货车从地以的速度匀速前往地，到达地后停止．在甲出发的同时，乙货车从地沿同一公路匀速前往地，到达地后停止．两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．其中点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是______．


26. 因式分解：______．
27. 方程的解为______ ．
28. 若一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是________．
29. 小张购买笔记本和钢笔共件，已知每本笔记本元，每支钢笔元，费用不超过元钱，设小张买了支钢笔，则应满足的不等式是______．
30. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为______ ．


三、计算题（共1小题，共10.0分）
31. 解方程和不等式组：
；
．

四、解答题（共15小题，共140.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
32. 本小题分
宁夏某枸杞育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取棵，对其产量千克棵进行整理分析．下面给出了部分信息：
甲品种：，，，，，，，，，
乙品种：如图所示

平均数
中位数
众数
方差
甲品种




乙品种




根据以上信息，完成下列问题：

填空：______，______；
若乙品种种植棵，估计其产量不低于千克的棵数；
请从某一个方面简要说明哪个品种更好．
33. 本小题分
周末，小华与同学一行人去户外露营，前进路上遇到一片十几米宽的湿地，为了节省时间，并安全通过，他们计划根据所学物理知识，当压力不变时，压强与所受力面积成反比例函数关系，在湿地上用一些大小不同的木板铺设了一条临时通道已知木板所受压力不变时，木板对湿地面的压强与木板面积的对应值如表：
木板面积






木板对地面地压强






求反比例函数的解析式和自变量的取值范围；
在平面直角坐标系中，描出以如表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
当木板面积为时，压强是______ ；
结合图形，如果要求压强不超过，木板的面积至少要多大？

34. 本小题分
如图，在中，，点是的中点，以为直径作，分别与，交于点，，过点作的切线交于点．
求证：；
若，，求的长．

35. 本小题分
随着“双减”政策的落实，中学生有了更多的课余时间进行户外运动，为此某校决定购买一批体育器材，已知足球的单价比排球的单价多元，且用元购得排球，排球的数量与用元购得足球的数量相同．
排球，足球的单价各是多少元．
若该校准备购买排球和足球共个，且足球不少于个．设购买排球和足球所需费用为元，排球有个，求与之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用．
36. 本小题分
若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．
列表：
































描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示；
如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，画出函数图象；
研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
点，，，在函数图象上，则 ______ ， ______ ；填“”“”或“”
当函数值时，求自变量的值；
在直线的右侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求的值；
若直线与函数图象有三个不同的交点，直接写出的取值范围．

37. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．
判断点是否在直线上，并说明理由；
求，的值；
平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．
38. 本小题分
已知和都为等腰三角形，，，．
当时，
如图，当点在上时，请直接写出与的数量关系：______ ；
如图，当点不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
当时，
如图，探究线段与的数量关系，并说明理由；
当，，时，请直接写出的长．


39. 本小题分
解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
40. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
41. 本小题分
在的方格纸，的三个顶点都在格点上．
将图中的向下平移格，画出平移后的；
将图中的绕着点按顺时针方向旋转，画出旋转后的．


42. 本小题分
如图，、是平行四边形的对角线上的两点，且，，连接，．
求证：．
连接交于点，若，，说明四边形是平行四边形，并求出的长．

43. 本小题分
某商场准备购进、两种商品进行销售．有关信息如下表：

进价元
售价元
产品


产品


已知元购进产品的数量与元购进的产品数量相等
求表中的值；
该商场准备购进、两种商品共件，若要使这些产品售完后利润不低于元，种产品至少要购进多少件？
44. 本小题分
阅读下列材料：
对于二次三项式，可以直接用公式法因式分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．
例如：．
像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添拆项法．
请用上述方法把因式分解；
多项式有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时的值是多少？
45. 本小题分
如图，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上．
求证：≌；
求的度数；
若点是的中点，求证：．

46. 本小题分
已知，▱的一边在平面直角坐标系的轴上，点．
如图，点，则的长为______；
如图，当在轴上时，的中垂线分别交，，于点，，．
求证：四边形是平行四边形；
若点，动点，分别从点，以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时出发匀速运动，动点自停止，自停止．请问是否存在▱，若存在，直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 
解：，
故选：．
根据题意列式计算即可．
本题考查有理数的减法，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2.【答案】 
解：用科学记数法表示为：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】 
解：把图中的减去，剩下的图形不满足正方体的种展开图中的模型，
故选：．
根据正方体的种展开图的模型即可求解．
本题考查了正方体的展开与折叠，牢记正方体的种展开图的模型是解决本题的关键．

4.【答案】 
解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5.【答案】 
解：，，
，
，
，
故选：．
由平行线的性质可得，再由三角形外角性质可得即可求解．
本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质，

6.【答案】 
解：，
，
则．
故选A．
把移到方程右侧，然后把方程两边加上，再把方程左边写成完全平方形式即可．
本题考查解一元二次方程配方法．

7.【答案】 
解：设原生产总量为，则改进后生产总量为，
所以原、、、等级的生产量为、、、，
改进后四个等级的生产量为、、、，
A.改进生产工艺后，级产品的数量增加，此选项错误；
B.改进生产工艺后，级产品的数量增加超过三倍，此选项错误；
C.改进生产工艺后，级产品的数量减少，此选项正确；
D.改进生产工艺后，级产品的数量增加，此选项错误；
故选：．
设原生产总量为，则改进后生产总量为，所以原、、、等级的生产量为、、、，改进后四个等级的生产量为、、、，据此逐一判断即可得．
本题考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数单位，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

8.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系结合图形利用三角函数解直角三角形．根据题意得到，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：由题意可知：，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：该建筑物的高度约为．
故选C．  
9.【答案】 
解：过点作轴于，过点作轴于，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
菱形绕原点顺时针旋转至的位置，
，，
，
在中，
，
，
点的坐标为：
故选：．
首先根据菱形的性质，即可求得的度数，又由将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，可求得的度数，然后在中，利用三角函数即可求得与的长，则可得点的坐标．
此题考查了平行四边形的性质，旋转的性质以及直角三角形的性质与三角函数的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

10.【答案】 
解：连接、，如图，
是的切线，切点为，
，
，
在中，，
，
，
直线是的切线，切点为，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在中，，
图中阴影部分的面积
故选：．
连接、，如图，根据切线的性质得到，，再利用余弦的定义求出，则，接着证明≌得到，，则可计算出，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形和扇形面积的计算．

11.【答案】 
解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

12.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．
求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．
【解答】
解：，
，
在数轴上表示不等式的解集为：，
故选：．  
13.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查的是分式有意义的条件，即分式有意义的条件是分母不等于零．
先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【解答】
解：分式有意义，
，解得．
故选：．  
14.【答案】 
解：四边形是多边形的逆命题是：多边形是四边形，逆命题是假命题，故A不符合题意；
对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，逆命题是假命题，故B不符合题意；
两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两条直线平行，逆命题是真命题，故C符合题意；
若，则的逆命题是：若，则，逆命题是假命题，故D不符合题意；
故选：．
分别写出各命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可得答案．
本题考查命题与定理，解题的关键是能写出一个命题的逆命题，并能判断逆命题的真假．

15.【答案】 
解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了因式分解提公因式法与公式法运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

16.【答案】 
解：是线段的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

17.【答案】 
解：由图象可得时，直线在直线上方，
不等式的解集是，
故选：．
由图象中直线在直线上方时的的取值部分求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解．

18.【答案】 
解：、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
C、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定方法即可判断．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．

19.【答案】 
解：、由尺规作图的痕迹可知：、是的内角平分线，所以选项A正确；
B、根据三角形三条角平分线交于一点，且点在上，所以也是的一条内角平分线，所以选项B正确；
C、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项C不正确；
D、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点到三边的距离相等，所以选项D正确；
本题选择说法不正确的，故选：．
根据三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可以作判断．
本题考查了基本作图角的平分线、角平分线的性质，明确三角形的角平分线交于同一点，且交点到三边的距离相等．

20.【答案】 
解：连接，
，，
，
最大时，最大，最小时，最小，
与重合时最大，
此时，
的最大值为．
，，
，
，
长度的可能为；
故选：．
根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，与重合时，最小，从而求得的最大值为，最小值是，可解答．
本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．

21.【答案】 
解：原式

，
故答案为：．
根据绝对值的性质，负整数指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

22.【答案】答案不唯一 
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
满足条件的值答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据方程有实数根得到，据此得到的取值范围，然后从中找到一个值即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是知道当方程有实数根时，其根的判别式大于等于．

23.【答案】 
解：依题意列表如下：

















































由上表可知，随机抽取张卡片可能出现的结果有个，点落在直线上方的有种结果，
点落在直线上方的概率是，
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．

24.【答案】 
解：设，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
．
故答案为：．
由正方形的性质得，，再证，然后由证≌，设，根据勾股定理列方程可解答．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明≌是解题的关键．

25.【答案】 
解：根据题意可得，乙货车的速度为：，
乙货车从地到地所用时间为：小时，
当乙货车到达地时，甲货车行驶的路程为：千米，即两车之间的路程为千米，
点的坐标是．
故答案为：．
由图可知在点处两车间的路程为，即经过小时两车相遇，然后根据点与点的坐标得出乙货车的速度，从而得出乙货车从地到地所用时间，进而求出当乙货车到达地时，甲货车行驶的路程，据此即可得出点的坐标．
本题考查函数图象，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．

26.【答案】 
解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．

27.【答案】 
解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．

28.【答案】八 
【解析】
【分析】
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
任何多边形的外角和是，即这个多边形的内角和是边形的内角和是，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】
解：设多边形的边数为，根据题意，得
，
解得．
则这个多边形的边数是八．  
29.【答案】 
解：设小张买了支钢笔，则买了本笔记本，
根据题意得：．
故答案为：．
设小张买了支钢笔，则买了本笔记本，根据总价单价购买数量结合费用不超过元钱，即可得出关于的一元一次不等式．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

30.【答案】 
解：四边形是正方形，
，，
，
由平移变换的性质可知，
，
故答案为：．
利用正方形的性质以及勾股定理求出，求出小正方形的对角线的长即可．
本题考查利用平移设计图案，正方形的性质，勾股定理，平移变换等知识，解题关键是掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题．

31.【答案】解：去分母得：，
移项得：，
解得．
检验：当时，
故原分式方程无解．
，
解不等式得：；
解不等式得：，
不等式组的解集为：． 
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，解题关键是注意分式方程要检验．

32.【答案】   
解：把甲品种的产量从小到大排列：，，，，，，，，，，中位数是，，
乙品种的产量千克的最多有棵，所以众数为，
故答案为：，．
棵；
因为甲品种的方差为，乙品种的方差为，
所以乙品种更好，产量稳定．
利用中位数和众数的定义即可求出；
用乘以产量不低于千克的百分比即可；
根据方差可以判断乙品种更好，产量稳定．
本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、方差、样本估计总体的方法是正确求解的前提．

33.【答案】 
解：设反比例函数的解析式为，
把，代入解析式得：
解得，
反比例函数的解析式为；
画出函数图象如图所示：

当时，，
故答案为：；
当时，，
当压强不超过，木板的面积至少要．
设反比例函数的解析式为，把表中一组数据代入解析式即可，同时根据反比例函数的实际意义求出的取值范围；
用描点法画出函数图象；
把代入函数解析式即可；
把代入函数解析式即可．
此题主要考查反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式，用反比例函数的知识解决实际问题．

34.【答案】证明：连接，如图，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
为的切线，
，
；
解：连接过点作于，如图，则，
，
，
又，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
为的直径，
，
在中，，
设，，
，
即，
解得，
． 
【解析】连接，如图，根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据切线的性质得到，从而得到；
连接过点作于，如图，根据垂径定理得到，先证明得到，则在中利用正切的定义和勾股定理可计算出，，所以，接着根据勾股定理得到，然后在中利用正切的定义和勾股定理可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理和解直角三角形．

35.【答案】解：设排球的单价为元，则足球的单价为元，
由题意可得：，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：排球的单价为元，足球的单价为元；
由题意可得：，
球不少于个．
，
解得，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时，，
答：费用最少的购买方案为：购买排球个，足球个，最少费用为元． 
【解析】根据足球的单价比排球的单价多元，且用元购得排球，排球的数量与用元购得足球的数量相同，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
根据题意，可以写出与的函数关系式，根据足球不少于个，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得费用的最小值．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．

36.【答案】   
解：如图所示：
，，
与在上，随的增大而增大，
；
，，
与在上，观察图象可得；
故答案为：，；
当时，时，有，
；
当时，时，有，
或舍去，
故或；
，在的右侧，
时，点，关于对称，
则有，
；
由图象可知，；
描点连线即可；
与在上，随的增大而增大，所以；与在上，观察图象可得；
当时，，则有或；
由图可知时，点关于对称，当时；
由图象可知，；
本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．

37.【答案】解：点在直线上，理由如下：
直线经过点，
，解得，
直线为，
把代入得，
点在直线上；
直线与抛物线都经过点，且、两点的横坐标相同，
点，，在直线上，点，在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，
抛物线只能经过、两点，
把，代入得，
解得，；
由知，抛物线为，
设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，
顶点仍在直线上，
，
，
抛物线与轴的交点的纵坐标为，
，
当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为． 
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．
根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点在直线上；
因为直线经过、和点，所以经过点的抛物线不同时经过，点，即可判断抛物线只能经过、两点，根据待定系数法即可求得、；
设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，根据题意得出，由抛物线与轴交点的纵坐标为，即可得出，从而得出的最大值．

38.【答案】解：当时，和均为等边三角形，
，，
又，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
当点不在上时，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
，理由如下：
当时，在等腰直角三角形中：，
在等腰直角三角形中：，
，，

在和中，
，
∽，
，
，
或，理由如下：
当点在外部时，设与交于点，如图所示：

，，
由上可知：，，
又，
，
而，
∽，
，
，而，
，
在中：，
又，
，
在等腰直角三角形中，．
当点在内部时，过点作于，

，，，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或． 
【解析】根据题意当时，和均为等边三角形，根据线段之间的关系易推出；
通过求证≌，即可找到线段与的数量关系；
根据已知条件，利用两边对应成比例且夹角相等求证∽即可找到线段与的数量关系；
根据已知条件，利用两角对应相等求证∽，再利用相似比结合勾股定理即可算出的长，进而表示出的长即可求出的长．
本题属于三角形综合大题，考查三角形基本性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题熟练掌握三角形的基本性质，能根据题意从易到难逐步推理，能在题干中找到相应条件求证三角形全等或相似是解题的关键．

39.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
． 
【解析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：大小小大中间找确定解集，再在数轴上表示出来即可．

40.【答案】解：原式

，
当时，原式． 
【解析】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出即可．

41.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 
【解析】利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

42.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：由≌得：，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
． 
【解析】利用证明≌，可得；
结合中条件证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可求解．
此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．

43.【答案】解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：表中的值为；
由可知，，
设种产品要购进件，则种产品要购进件，
由题意得：，
解得：，
答：种产品至少要购进件． 
【解析】由题意：元购进产品的数量与元购进的产品数量相等，列出分式方程，解方程即可；
设种产品要购进件，则种产品要购进件，由题意：要使这些产品售完后利润不低于元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．

44.【答案】解：


；

有最小值，


，
故当它有最小值时的值是． 
【解析】要运用配方法，只要二次项系数为，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式；
把多项式凑成完全平方式加常数项的形式，即可求出多项式有最小值时的值．
此题主要考查了因式分解的应用，完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于的，它的最小值为所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．

45.【答案】证明：和是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
≌；
解：为等边三角形，
，
≌，
，
；
证明：点是的中点，
，
是等边三角形，
，
为等边三角形，
，
是的垂直平分线，
． 
【解析】由等边三角形的性质得出，，，再证出，由即可证明≌．
由等边三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出，再由平角定义即可得出结果；
由等边三角形的性质证出是的垂直平分线，即可得出结论．
本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

46.【答案】 
解：点，
；
故答案为：；
证明：四边形是平行四边形，
，
是的中垂线，
，
，
，，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：是的中垂线，
，
平行四边形是菱形，
，
点，点，
，，
，
，
，
，
，
当点在上时，点在上时，四边形为平行四边形，
，
设运动时间为秒，
，
，
，
，
点，点．
由两点距离公式可求解；
由“”可证≌，可得，可得结论；
先证平行四边形是菱形，可得，由勾股定理可求，，由平行四边形的性质可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．