第21章一元二次方程 单元测试卷 2023-2024学年人教版九年级数学上册

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第21章 一元二次方程 单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 观察下列表格，估计一元二次方程x2+3x−5=0的正数解在(    )
x
−1
0
1
2
3
4
x2+3x−5
−7
−5
−1
5
13
23

A. −1和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间
2. 若(a2+ 5−2)2=20，则a2的值为(    )
A. 2+ 5 B. 2− 5
C. 2+ 5或2−3 5 D. 2−3 5
3. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为2022，则方程a(x+1)2+b(x+1)=−5必有根为(    )
A. 2022 B. 2020 C. 2019 D. 2021
4. 设一元二次方程(x−2)(x−3)−p2=0的两实根分别为α、β(α<β)，则α、β满足(    )
A. 2<α<3≤β B. α≤2且β≥3 C. α≤2<β<3 D. α<2且β>3
5. 若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，设M=2−ac，N=(ax0+1)2，则M与N的大小关系正确的为(    )
A. M>N B. M=N C. M 6. 已知a，b是方程x2+(m+2)x+1=0的两根，则(a2+ma+1)(b2+mb+1)的值为．(    )
A. 4 B. 1
C. −1 D. 与m有关，无法确定
7. 已知a、b是关于x的一元二次方程x2−6x−n+1=0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为(    )
A. −4 B. 8 C. −4或−8 D. 4或−8
8. 定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=o(a≠0)满足a−b+c=0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是(    )
A. b=c B. a=b C. a=c D. a=b=c
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9. 如果关于x的方程x2+2(a+1)x+2a+1=0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是          ．
10. 若关于x的一元二次方程x2+(2+a)x=0有两个相等的实数根，则a的值是          ．
11. 某超市今年一月份的营业额为60万元．三月份的营业额为135万元．若每月营业额的平均增长，则二月份的营业额是          万元．
12. 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b=(a+b)2−(a−b)2.若(m+2)◎(m−3)=24，则m=          ．
13. 若x1，x2是方程x2−2mx+m2−m−1=0的两个根，且x1+x2=1−x1x2 ，则m的值为          
14. 已知x1，x2是关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0的两个不相等的实数根，且满足(x1−1)(x2−1)=8k2，则k的值为          ．
15. 若关于x的一元二次方程ax2+3x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是          ．
16. 已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1，bx2+cx+a=−3，cx2+ax+b=2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为          ．
三、计算题（本大题共2小题，共16分）
17. 解方程
(1)2(x−3)2=8(直接开平方法)
(2)4x2−6x−3=0(配方法)
(3)(2x−3)2=5(2x−3)(分解因式法)
(4)(x+8)(x+1)=−12(运用适当的方法)







18. 用适当的方法解下列方程：
(1)x2+3x−4=0;         (2)(x+1)2=4x;
(3)(x+4)2=5(x+4);      (4)(x−3)(x−1)=3．






四、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8分)
已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2−(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
(1)当k为何值时，△ABC是直角三角形；
(2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．







20. (本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−4=0．
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根?
(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍.求m的值．




21. (本小题8分)
国内猪肉价格不断上涨，已知今年10月的猪肉价格比今年年初上涨了80%，李奶奶10月在某超市购买1千克猪肉花了72元钱．
(1)今年年初猪肉的价格为每千克多少元？
(2)某超市将进货价为每千克55元的猪肉按10月价格出售，平均一天能销售出100千克，随着国家对猪肉价格的调控，超市发现猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1800元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？





22. (本小题8分)
毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50个学生纪念品和10个教师纪念品，其中每个教师纪念品的成本比每个学生纪念品的成本多8元．
(1)这两种不同纪念品每个的成本分别是多少?
(2)如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余的学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元?








23. (本小题8分)
小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x(x+4)=6．
解：原方程变形，得[(x+2)−2][(x+2)+2]=6．
(x+2)2−22=6．
(x+2)2=6+22．
(x+2)2=10．
直接开平方并整理，得x1=−2+ 10，x2=−2− 10．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+3)(x+7)=5时的解题过程．
解：原方程变形，得[(x+a)−b][(x+a)+b]=5，(x+a)2−b2=5，
(x+a)2=5+b2．
直接开平方并整理，得x1=c，x2=d(c>d)．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是          ，            ，           ，         ．
(2)请用“平均数法”解方程：(x−5)(x+3)=6．





24. (本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．





25. (本小题8分)
某汽车销售公司六月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车每辆的进价均降低0.1万元.月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元;销售10辆以上，每辆返利1万元．
(1)若该汽车销售公司当月销售3辆该厂家汽车，则每辆汽车的进价为          万元;
(2)若每辆汽车的售价为28万元，该汽车销售公司计划当月盈利12万元，则需要销售多少辆汽车(盈利=销售利润+返利)?