湘教版数学九上4.1正弦和余弦（第1课时）（课件PPT）

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4.1 正弦和余弦第1课时 正 弦学习目标 1. 理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点) 2. 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点) 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ABC做一做 画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算 与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是否相等(精确到0.01).一、正弦的概念 如图，(1)和(2)分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A = ∠A′ = 65°，∠C = ∠C′ = 90°.小明量出 ∠A 的对边 BC = 3cm，斜边AB = 3.3cm，算出： 小明量出 ∠A′ 的对边 B′C′ = 3cm，斜边A′B′ = 3.3cm，算出：  这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？探 究 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A =∠D = α，∠C=∠F=90°，则 成立吗？为什么？   这说明，在有一个锐角等于α 的所有直角三角形中，角α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 如图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦(sine)，记作sinα，即 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到  从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？35m?如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求AB. 解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”. 即∴ AB = 2BC = 70 (m). 也就是说，需要准备 70 m 长的水管. 解：(1) ∠A 的对边 BC = 3，斜边 AB = 5，于是因此于是 AC = 4.(2) ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 – BC2 = 52 – 32 = 161. 判断对错√××sinA = 0.6 m ( ) ×sinB = 0.8 m ( ) √2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定C3、如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )D 方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 提示：已知 sin A 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积.二、正弦的简单应用∴ AB = 3BC =3×3=9. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，AB = c，则BC = ck，AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h，BC = a，则 1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( )DA. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2. 在△ABC中，∠C = 90°，如果 sinA = ，AB = 6， 那么BC = .2 3. 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24cm，sinA = ，求这个三角形的周长．解：设BC = 7x，则AB = 25x，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.所以 △ABC 的周长为 AB + BC + AC = 7 + 24 + 25 = 56 (cm).方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.练 习 1.如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5.求 sinA，sinB 的值 .   解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA .A (0，3)在△APO中，由勾股定理得α 2.如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4)，连接 OP，求 OP 与 x轴正方向所夹锐角 a 的正弦值.B（2）如图， sinA的值为 ( )C3. 选择题 45°45°（2）如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .4. 填空 D解：作BD⊥AC于点D， ∵ sinA = ，又∵ △ABC 为等腰△，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6，∴S△ABC = AC×BD÷2 = 12.6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示?解：∵ ∠A =∠A，∠ADC =∠ACB = 90°， ∴△ACD ∽△ABC，∴∠ACD = ∠B，(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.解： 由题 (1)知课堂小结本课结束