2022-2023学年山东省济南市槐荫区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市槐荫区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济南市槐荫区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是(    )
A. 笛卡尔爱心曲线 B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线 D. 科赫曲线
2. “白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚的一首诗《苔》.若苔花的花粉直径约为0.0000084m，用科学记数法表示0.0000084=8.4×10n，则n为(    )
A. −5 B. −6 C. 5 D. 6
3. 如图，AB//CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是(    )
A. 154°
B. 126°
C. 116°
D. 54°
4. 下列事件中，属于随机事件的是(    )
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
C. 如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等
D. 三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合
5. 下列计算正确的是(    )
A. a2+a2=a4 B. (a2)3=a5
C. −b(b+2a)=−b2−2ab D. (−a2b)3=a5b3
6. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF，GE=GF，则△AEG≌△AFG的依据是(    )

A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS
7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是(    )
A. ∠1+∠2=90°
B. ∠1=30°
C. ∠1=∠4
D. ∠2=∠3
8. 某县举行朗诵比赛，将朗诵技巧、表现技巧、创新亮点三个方面分别按50%，40%，10%的比例计入总分.小华各项得分如表所示，则小华的最终得分为(    )
评分内容
朗诵技巧
表现技巧
创新亮点
得分
90分
85分
95分

A. 90分 B. 89分 C. 88.5分 D. 88分
9. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是(    )
A. BE=DE
B. DE垂直平分线段AC
C. AC=2AB
D. S△DEC=3S△BDE
10. 已知：如图(1)，长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE=6cm，AB=8cm，点P从B出发，沿折线BE−ED−DC匀速运动，运动到点C停止.P的运动速度为2cm/s，运动时间为t(s)，△BPC的面积为y(cm2).y与t的函数关系式图象如图(2)，则下列结论正确的有①a=7；②b=10；③当t=3时，△PCD为等腰三角形；④当t=10s时，y=12cm2．(    )

A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 计算(x−1)(x+1)=______．
12. 如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是______ ．


13. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ACB的度数为______ ．


14. 如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD=5，则CD=______．


15. 甲、乙两台机床生产同一种零件，并且每天产量相等，在随机抽取的6天的生产中，每天生产零件中的次品数依次是：
甲
3
0
0
2
0
1
乙
1
0
2
1
0
2
则甲、乙两台机床中，性能较稳定的为        机床.(填“甲”或“乙”)
16. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB边上一动点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点E处，连接CE交AB于点F.当△DEF是直角三角形时，∠ACD度数是______ 度.


三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：−16+(13)−1+(π−2023)0．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x+2)2−(x+1)(x−3)，其中x=13．
19. (本小题6.0分)
如图，∠A、∠D为直角，AC与DB相交于点E，BE=EC，求证：AB=DC.(推理过程请注明理由)

20. (本小题8.0分)
已知：如图所示，△ABC中，AB=AC，AD为∠EAB的角平分线，求证：AD//BC.(推理过程请注明理由)

21. (本小题8.0分)
为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用．现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m的值为______；
(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
(Ⅲ)根据样本数据，若学校计划购买150双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
22. (本小题8.0分)
王师傅非常喜欢自驾游，他为了了解新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据：
行驶的路程s(km)
0
100
200
300
400
……
油箱剩余油量Q(L)
50
42
34
26
18
……
(1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)这辆轿车油箱的容量是多少？当轿车行驶600km时，估计油箱中的剩余油量是多少？
(3)王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为22L，请求出A，B两地之间的路程．
23. (本小题10.0分)
教材呈现：如图是北师大版七年级下册数学教材第123页的部分内容，
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线，perpendicular bisector)
如图1，点C是线段AB的垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？改变点C的位置，结论还成立吗？
(1)请根据所给教材内容，写出结论：AC ______ BC(填“>”、“<”或“=”)；
(2)结合教材上的图5−11，证明你的结论.(推理过程请注明理由)
(3)应用上述结论解决下列题目：
已知：如图2，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC于点D，且D为CE的中点．
①求证：BE=AC；(推理过程请注明理由)
②若∠C=70°，求∠BAC的度数．

24. (本小题10.0分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)在直线l上找一点P，使得△BPC的周长最小；
(3)求△A′B′C′的面积．




25. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，直线m过点C，分别过点A、B作直线m的垂线段，垂足分别为点D、E．
(1)如图1，当点A、B在直线m的同侧时，
①求证：△ACD≌△CBE.(推理过程请注明理由)
②直接写出线段DE、AD、BE的数量关系．
(2)如图2，当点A、B在直线m的异侧时，请问(1)中有关于线段DE、AD、BE的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由．


26. (本小题12.0分)
如图，在等边△ABC中，边AB=6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒．
(1)当t=3时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由；
(2)当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值；
(3)另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】
解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．  
2.【答案】B 
【解析】解：0.0000084=8.4×10−6，
则n为−6．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3.【答案】B 
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠2+∠3=180°．
∵∠3=∠1=54°，
∴∠2=180°−∠3
=180°−54°
=126°．
故选：B．
由平行线的性质得到∠2与∠3的关系，再根据对顶角的性质得到∠1与∠3的关系，最后求出∠2．
本题考查了平行线的性质，掌握“对顶角相等”和“两直线平行，同旁内角互补“是解决本题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等是必然事件，不符合题意；
B、∵2+3=5<6，
∴用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形是不可能事件，不符合题意；
C、如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等是必然事件，不符合题意；
D、三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合是随机事件，符合题意．
故选：D．
分别根据角平分线的性质、三角形的三边关系、全等图形及随机事件的定义对各选项进行分析即可．
本题考查的是随机事件，涉及到角平分线的性质、三角形的三边关系、全等图形，熟知以上知识是解题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：A.a2+a2=2a2，因此选项A不符合题意；
B.(a2)3=a6，因此选项B不符合题意；
C.−b(b+2a)=−b2−2ab，因此选项C符合题意；
D.(−a2b)3=−a6b3，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项法则，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
本题考查合并同类项，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，单项式乘多项式以及幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提．

6.【答案】A 
【解析】解：在△AEG和△AFG中，
AE=AFAG=AGEG=FG，
∴△AEG≌△AFG(SSS)，
故选：A．
根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．

7.【答案】B 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=180°−∠ACB=180°−90°=90°；
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠4，∠2=∠3．
∴不一定成立的是∠1=30°．
故选：B．
在Rt△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠1+∠2=90°，由CD⊥AB于点D，可得出∠ADC=∠BDC=90°，利用三角形内角和定理，可得出∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，再结合等角的余角相等，即可得出∠1=∠4，∠2=∠3，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理、垂线以及余角，利用“三角形内角和是180°”及“等角的余角相等”，找出∠1+∠2=90°，∠1=∠4，∠2=∠3是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：小华的最终得分为90×50%+85×40%+95×10%=88.5(分)，
故选：C．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．

9.【答案】D 
【解析】解：由作法得AB=AD，PB=PD，
∴AP垂直平分BD，
∴BE=DE，故A选项不符合题意；
∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD=60°，∠ADB=60°，
∴∠DBE=30°，
∵BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD=30°，
∴∠ADE=∠ADB+∠EDB=90°，
∴DE⊥AC，
∴AD=CD，
∴DE垂直平分线段AC，故B选项不符合题意；
由作法得AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，
∴∠CAE=∠C，
∴AE=CE，
在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，故C选项不符合题意；
∵AD=AB，
∴AD=CD，
∴S△EDC=12S△ACE，
∵∠BAE=30°，∠ABC=90°，
∴CE=AE=2BE，
∴CE=23BC，
∴S△ACE=23S△ABC，
∴S△EDC=12×23S△ABC=13S△ABC，
过点D作DH⊥AB于H，
∵AD=BD，
∴AH=BH=12AB，
∴S△BDE=12BE⋅BH=12×12AB⋅13BC=16×12AB⋅BC=16S△ABC，
∴S△DEC=2S△BDE，故D选项符合题意．
故选：D．
由作法得AB=AD，PB=PD，根据线段垂直平分线的性质得到BE=DE，故A选项不符合题意；根据等边三角形的性质得到∠ABD=60°，∠ADB=60°，推出DE垂直平分线段AC，故B选项不符合题意；由作法得AE平分∠BAC，得到∠BAE=∠CAE=30°，求得AE=CE，根据直角三角形的性质得到AC=2AB，故C选项不符合题意；根据直角三角形的性质得到CE=AE=2BE，求得CE=23BC，求得S△EDC=12×23S△ABC=13S△ABC，过点D作DH⊥AB于H，根据三角形的面积公式得到S△DEC=2S△BDE，故D选项符合题意．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．

10.【答案】A 
【解析】解：当P点运动到E点时，△BPC面积最大，结合函数图象可知当t=5时，△BPC面积最大为40，
∴BE=5×2=10．
∵12⋅BC⋅AB=40，
∴BC=10．
则ED=10−6=4.当P点从E点到D点时，所用时间为4÷2=2(s)，
∴a=5+2=7．
故①正确；
P点运动完整个过程需要时间t=(10+4+8)÷2=11s，即b=11，②错误；

当t=3时，BP=AE=6，
又BC=BE=10，∠AEB=∠EBC(两直线平行，内错角相等)，
∴△BPC≌△EAB，
∴CP=AB=8，
∴CP=CD=8，
∴△PCD是等腰三角形，
故③正确；
当t=10时，P点运动的路程为10×2=20(cm)，此时PC=22−20=2，
△BPC面积为12×10×2=10(cm2)，
故④错误．
∴正确的结论有①③．
故选：A．
先通过t=5，y=40计算出AB长度和BC长度，则DE长度可求，根据BE+DE长计算a的值，b的值是整个运动路程除以速度即可，当t=10时找到P点位置计算△BPC面积即可判断y值．
本题主要考查动点问题的函数问题，解题的关键是熟悉整个运动过程，找到关键点(一般是函数图象的折点)，对应数据转化为图形中的线段长度．

11.【答案】x2−1 
【解析】解：(x−1)(x+1)=x2−1，
故答案为：x2−1．
根据平方差公式计算即可．
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．

12.【答案】13 
【解析】解：当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是26=13．
故答案为：13．
用阴影部分扇形个数除以扇形的总个数即可得．
本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．

13.【答案】135° 
【解析】解：如图：

∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴∠ACB=180°−∠ACD=135°，
故答案为：135°．
根据题意可得△ACD是等腰直角三角形，从而可得∠ACD=45°，然后再利用平角定义，进行计算即可解答．
本题考查了余角和补角，利用网格图进行分析是解题的关键．

14.【答案】5 
【解析】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，
∴AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，
∴CD=BD，
∵BD=5，
∴CD=5，
故答案为：5．
根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

15.【答案】乙 
【解析】解：甲的平均数=16(3+0+0+2+0+1)=1，
乙的平均数=16(1+0+2+1+0+2)=1，
∴S甲2=16[(3−1)2+3×(0−1)2+(2−1)2+(1−1)2]=43
S乙2=16[(2×(1−1)2+2×(0−1)2+2×(2−1)2]=23,
∴S甲2>S乙2，
∴乙台机床性能较稳定．
故答案为：乙．
先计算出甲乙的平均数，甲的平均数=乙的平均数=1，再根据方差的计算公式分别计算出它们的方差，然后根据方差的意义得到方差小的性能较稳定．
本题考查了方差的计算公式和意义：一组数据x1，x2，…，xn，其平均数为x−，则这组数据的方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]；方差反映一组数据在其平均数左右的波动大小，方差越大，波动就越大，越不稳定，方差越小，波动越小，越稳定．

16.【答案】15或30 
【解析】解：由翻折得∠E=∠A=30°，∠ACD=∠ECD，
当△DEF是直角三角形，且∠EDF=90°时，如图1，
∴∠DFE=90°−∠E=90°−30°=60°，
∴∠ACE=∠DFE−∠A=60°−30°=30°，
∴∠ACD=∠ECD=12∠ACE=12×30°=15°；
当△DEF是直角三角形，且∠EFD=90°时，如图2，
∴∠AFC=90°；
∴∠ACE=90°−∠A=90°−30°=60°，
∴∠ACD=∠ECD=12∠ACE=12×60°=30°，
综上所述，∠ACD度数是15°或30°，
故答案为：15或30．
由翻折得∠E=∠A=30°，再分两种情况讨论，一是△DEF是直角三角形，且∠EDF=90°，则∠DFE=90°−∠E=60°，所以∠ACE=∠DFE−∠A=30°，则∠ACD=∠ECD=12∠ACE=15°；二是△DEF是直角三角形，且∠EFD=90°，则∠AFC=90°；所以∠ACE=90°−∠A=60°，则∠ACD=∠ECD=12∠ACE=30°，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、轴对称的性质等知识，正确地求出∠ACE的度数是解题的关键．

17.【答案】解：−16+(13)−1+(π−2023)0
=−1+3+1
=3． 
【解析】实数的运算，负整数指数幂的运算和任何非零数的零指数幂=1等的计算，进而作答．
本题考查实数的运算，解题的关键是任何非零数的零指数幂都等于1．

18.【答案】解：原式=x2+4x+4−(x2+x−3x−3)
=x2+4x+4−x2−x+3x+3
=6x+7，
当x=13时，原式=6×13+7=9， 
【解析】首先利用平方差公式和多项式与多项式的乘法计算，然后合并同类项即可化简，再代入数值计算即可．
本题考查了整式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式的结构，对整式进行化简是关键．

19.【答案】证明：∵∠A、∠D为直角，
∴∠A=∠D=90°，
在△ABE和△DCE中，
∠A=∠D∠AEB=∠DECBE=EC，
∴△ABE≌△DCE (AAS)，
∴AB=CD． 
【解析】证明△ABE≌△DCE(AAS)，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△DCE．

20.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠BAE是△ABC的外角，
∴∠BEC=∠C+∠B，
∴∠C=∠B=12∠BAE，
∵AD是∠BAE的平分线，
∴∠DAB=12∠BAE，
∴∠B=∠DAB，
∴AD//BC． 
【解析】根据等腰三角形的性质，两底角相等，以及平行线的性质即可求证．
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确应用等腰三角形的性质是解题的关键．

21.【答案】40  15 
【解析】解：(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为：6+12+10+8+4=40(人)，
图①中m的值为：100−30−25−20−10=15；
故答案为：40；15；

(Ⅱ)∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35号；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为36+362=36；

(Ⅲ)根据题意得：
150×30%=45(双)，
答：建议购买35号运动鞋45双．
(Ⅰ)根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；
(Ⅱ)找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
(Ⅲ)用计划购买的总鞋数乘以35号运动鞋所占的百分比即可．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

22.【答案】解：(1)由题意得，上表反映了轿车行驶的路程s(km)和油箱剩余油量Q(L)之间的关系，
其中轿车行驶的路程s(km)是自变量，油箱剩余油量Q(L)是因变量；
(2)由表格可知当行驶距离为0时，油箱剩余油量为50L，
∴这辆轿车油箱的容量50L；
观察表格可知每行驶100km，油量减少8L，则Q=50−0.08s
当s=600时，Q=50−0.08×600=2L，
∴当轿车行驶600km时，估计油箱中的剩余油量是2L；
(3)由题意得，22=50−0.08s，
解得s=350．
答：A，B两地之间的距离为350km． 
【解析】(1)通过观察统计表可知：轿车行驶的路程s(km)是自变量，油箱剩余油量Q(L)是因变量；
(2)由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，据此可得Q与s的关系式，把s=600km代入求出Q的值即可；
(3)把Q=22代入函数关系式求得相应的s值即可．
本题主要考查了函数的有关概念，解决问题的关键是能够根据统计表提供的信息，解决有关的实际问题．

23.【答案】= 
【解析】(1)解：由观察和猜想得AC=BC，
故答案为：=；
(2)证明：∵OC是线段AB的垂直平分线(已知)，
∴OC⊥AB，OA=OB(线段的垂直平分线的定义)，
∴∠AOC=∠BOC=90°(垂直定义)，
在△AOC和△BOC中，
OA=OB(已证)∠AOC=∠BOC(已证)OC=OC(公共边)，
∴△AOC≌△BOC(SAS)，
∴AC=BC(全等三角形的对应边相等)．
(3)解：①证明：∵AD⊥BC于点D，且D为CE的中点(已知)，
∴AD是线段CE的垂直平分线(线段的垂直平分线的定义)，
∴AC=AE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，
∵EF是AB的垂直平分线(已知)，
∴BE=AE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，
∴BE=AC(等量代换)．
②∵AC=AE，∠C=70°，
∴∠AEC=∠C=70°，
∵BE=AE，
∴∠EAB=∠B，
∵∠EAB+∠B=∠AEC，
∴∠B+∠B=70°，
∴∠B=35°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−35°−70°=75°，
∴∠BAC的度数是75°．
(1)由观察和猜想得AC=BC，于是得到问题的答案；
(2)由OC是线段AB的垂直平分线，得OC⊥AB，OA=OB，所以∠AOC=∠BOC=90°，而OC=OC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AOC≌△BOC，得AC=BC，分别写出每一条件和结论的理由即可；
(3)①由AD⊥BC于点D，且D为CE的中点，可知AD是线段CE的垂直平分线，则AC=AE，由EF是AB的垂直平分线，得BE=AE，所以BE=AC，分别写出每一条件和结论的理由即可；
②由AC=AE，∠C=70°，得∠AEC=∠C=70°，由BE=AE，得∠EAB=∠B，由∠EAB+∠B=∠AEC，得∠B+∠B=70°，则∠B=35°，即可根据三角形的内角和定理求得∠BAC=75°．
此题重点考查线段的垂直平分线的性质定理的证明、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．

24.【答案】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；

(2)如图，点P即为所求；

(3)△A′B′C′的面积=3×4−12×1×2−12×3×2−12×4×2=4． 
【解析】(1)根据轴对称的性质即可在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)连接B′C交直线l一点P，即可使得△BPC的周长最小；
(3)根据网格利用割补法即可求△A′B′C′的面积．
本题考查了作图−轴对称变换，勾股定理，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．

25.【答案】(1)①证明：∵AD⊥m，BE⊥m(已知)，
∴∠ADC=∠CEB=90°(垂直定义)，
∴∠ACD+∠CAD=180°−∠ADC=90°(三角形内角和定理)，
又∵∠ACB=90°(已知)，
∴∠ACD+∠BCE=180°−∠ACB=90°(平角的定义)，
∴∠CAD=∠BCE(同角的余角相等)，
在△ACD和△CBE中，
∠CAD=∠BCE(已证)，∠ADC=∠CEB=90°(已证)，AC=CB(已知)，
∴△ACD≌△CBE(AAS)．
②解：线段DE、AD、BE的数量关系是：DE=AD+BE．
理由如下：
由①可知：△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD+CE=AD+BE．
(2)解：(1)中的数量关系不成立，正确的结论是：DE=AD−BE．
证明如下：
∵AD⊥m，BE⊥m，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=180°−∠ADC=90°，
又∵∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE−CD=AD−BE． 
【解析】(1)①先证∠CAD=∠BCE，进而依据“AAS”即可判定△ACD和△CBE全等；
②由①可知△ACD和△CBE全等得AD=CE，CD=BE，据此可得出线段DE、AD、BE之间的数量关系；
(2)先证∠CAD=∠BCE，进而依据“AAS”即可判定△ACD和△CBE全等，从而得AD=CE，CD=BE，据此可得出线段DE、AD、BE之间的数量关系．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等．

26.【答案】解：(1)判断：AP⊥BC，
理由如下：如图1，
∵t=3，
∴BP=CP=3，
∵AB=AC，
∴AP⊥BC；
(2)当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，点P为AB中点或点P为AC中点，则CB+CP=9或CB+BA+CP=15，
∴t=9或t=15，
∴当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，t的值为9或15；
(3)当点P在边BC上，且点Q在边AC上时，CP=t，CQ=1.5t
则t+1.5t=9，
∴t=3.6，
当点P在边AB上，且点Q在边BC上时，BP=t−6，BQ=1.5t−12，
则t−6+1.5t−12=9，
∴t=10.8，
所以当t为3.6或10.8秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 
【解析】(1)根据等边三角形的性质即可得到结论；
(2)根据等边三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论；
(3)根据等边三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．