2022-2023学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列函数中，一次函数是( )
A. y=2B. y=x2+2x+1C. y=2x+1D. y=3x
2. 下列说法中，正确的是( )
A. x2−4x=0 是二项方程B. x+13+x−12=0 是分式方程
C. 3x2− 2x−1=0 是无理方程D. x=0y2=1 是二元二次方程组
3. 下列关于向量的等式中，正确的是( )
A. AB+BA=0B. |AB|−|BA|=0
C. |AB|+|BA|=0D. |AB+BA|=0
4. 下列描述的事件中，随机事件的是( )
A. 方程 x+1+1=0，在实数范围内有解
B. 从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形
C. 掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上
D. 将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个
5. 顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是( )
A. 等腰梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
6. 下列命题中，假命题的是( )
A. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边相等，一个内角为直角的四边形是矩形
C. 一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
D. 对角线相等的菱形是正方形
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
7. 方程x3−27=0的根是______．
8. 如果将直线y=−x+3向下平移2个单位，那么平移后所得直线的表达式为______ ．
9. 已知方程xx2−1+x2−1x=3，如果设y=xx2−1，那么原方程转化为关于y的整式方程为______ ．
10. 如果一个多边形的内角和为720°，那么它的边数是______．
11. 如果一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象过点(−1,2)且经过第一、二、三象限，那么当y>2时，x的取值范围是______ ．
12. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，图中与AO相等的向量(除了AO)是______ ．
13. 如果从2、6、12、20、30、42这6个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是______ ．
14. 矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线的长为2，那么矩形的周长为______ ．
15. 已知某汽车装满油后油箱中的剩余油量y(升)与汽车的行驶路程x(千米)之间具有一次函数关系(如图所示)，为了行驶安全考虑，油箱中剩余油量不能低于5升，那么这辆汽车装满油后至多行驶______ 千米，就应该停车加油．
16. 已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是______ ．
17. 已知函数y=f(x)满足当a1≤x≤b1时，对应的函数值y的范围是a1≤y≤b1，我们称该函数为关于a1和b1的方块函数.如果一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)是关于1和2的方块函数，且它的图象不经过原点，那么该一次函数的解析式为______ ．
18. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，联结AC，将菱形ABCD绕点A旋转，使点D的对应点E落在对角线AC上，联结DE，那么△DEC的面积是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题5.0分)
解方程： x+2− x=1
20. (本小题5.0分)
解方程组：x−y−2=0x2+y2=10．
21. (本小题6.0分)
如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上．
(1)填空：DA+DC= ______ ．AE−BC= ______ ；
(2)求作：AB+DE(不写作法，保留作图痕迹，写出结果)
22. (本小题7.0分)
小明和小智从学校出发，到距学校路程12千米的自然博物馆，小明骑自行车先走，过了15分钟，小智乘汽车按相同路线追赶小明，结果他们同时到达目的地，已知汽车的速度是小明骑车速度的2倍多20千米/小时，求小明骑车的速度是每小时多少千米．
23. (本小题9.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，点E在边BC上，点F在边BC的延长线上，四边形AEFD的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，且PD=PE，DE平分∠ADF．

(1)求证：四边形AEFD是菱形；
(2)如果BC=EF，∠EDC=∠EFP，求证：四边形ABCD为矩形．
24. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴正半轴、y轴分别交于点A(a,0)、B(0,6)，与双曲线y=mx(x<0)交于点C(c,10)，△AOB的面积为9．
(1)求k与m的值；
(2)点P在线段AC上，过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，以PQ为对角线作正方形PMQN，如果点M恰好落在上述双曲线上，求点P的坐标．
25. (本小题11.0分)
已知在四边形ABCD中，AB/​/CD，∠A=90°，BE平分∠ABC，交边AD于点E．
(1)如图1，如果点E与点D重合，AD=AB，求证：四边形ABCD是正方形；
(2)如果AB=5，AD=4，
①如图2，当BC=83 3时，求∠EBC的度数；
②当△BEC是直角三角形时，求DE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意；
B、此函数是二次函数，故此选项不符合题意；
C、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、此函数是一次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
根据一次函数的定义判断即可．
本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
2.【答案】D
【解析】解：A.方程的左边是二次二项式，不能说方程是二项方程，故本选项不符合题意；
B.方程是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
C.方程是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意；
D.方程组是二元二次方程组，故本选项符合题意；
故选：D．
分别根据一元二次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，能熟记定义是解此题的关键，①分母中含有未知数的方程叫分式方程，②根号内含有未知数的方程叫无理方程．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB+BA=0，
|AB|−|BA|=0，
|AB|+|BA|≠0，
|AB+BA|=0，
∴选项A、C、D错误，选项B正确，
故选：B．
根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解．
本题考查了平面向量的运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、方程 x+1+1=0，在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意；
B、从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形，是必然事件，不符合题意；
C、掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上，是随机事件，符合题意；
D、将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线定理，所得四边形的各边都相等，所以判定为菱形．
此题考查了菱形的判定方法、等腰梯形的性质、三角形中位线定理等知识点，掌握菱形的判定
【解答】
解：如图所示，
根据三角形中位线定理，EF=GH=12BD，FG=EH=12AC，
∵ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴EFGH为菱形．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：A、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、一组对边相等，一个内角为直角的四边形不一定是矩形，故本选项说法是假命题，符合题意；
C、一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题，不符合题意；
故选：B．
根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】x=3
【解析】解：x3−27=0，
x3=27，
x=327=3，
故答案为：x=3．
先移项，再开立方即可．
本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．
8.【答案】y=−x+1
【解析】解：将直线y=−x+3向下平移2个单位，那么平移后所得直线的表达式为y=−x+3−2，即y=−x+1，
故答案为y=−x+1．
根据“上加下减”的规律写出函数解析式即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规律，属于基础题，中考常考题型．
9.【答案】y2−3y+1=0
【解析】解：设y=xx2−1，则x2−1x=1y，
原方程化为：y+1y=3，
去分母得：y2+1=3y，
即y2−3y+1=0，
故答案为：y2−3y+1=0．
结合已知条件换元后再去分母即可．
本题考查换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法，必须熟练掌握．
10.【答案】6
【解析】解：设它的边数是n，根据题意得，
(n−2)⋅180°=720°，
解得n=6．
故答案为：6．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°列出方程求解即可．
本题考查了多边形的内角和，熟记公式是解题的关键．
11.【答案】x>−1
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象过点(−1,2)且经过第一、二、三象限，
∴y随x的增大而增大，
∴当y>2时，x的取值范围是x>−1．
故答案为：x>−1．
根据题意得出y随x的增大而增大，然后根据图象过点(−1,2)即可得到结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】OC
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，
又∵AO与OC方向相同，
∴AO=OC，
故答案为：OC．
根据正方形的性质得出AO=OC，即可求解．
本题考查了正方形的性质，平面向量，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
13.【答案】13
【解析】解：∵2、6、12、20、30、42这6个数中，4的倍数是12和20，共2个，
∴任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是26=13．
故答案为：13．
2、6、12、20、30、42这6个数中，4的倍数是12和20，共2个，利用概率公式计算可得．
本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】2 3+2
【解析】解：矩形的两条对角线的夹角为∠1=60°，
且矩形对角线相等且互相平分，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=12AC=1，
在直角△ABC中，AC=2，AB=1，
∴BC= AC2−AB2= 3，
故矩形的周长为2BC+2AB=2 3+2．
故答案为：2 3+2．
根据矩形的两条对角线的夹角为60°，可以判定△AOB为等边三角形，即可求得AB=AO，在直角△ABC中，已知AC，AB，根据勾股定理即可计算BC的长，进而计算矩形的周长即可解题．
本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算BC的长是解题的关键．
15.【答案】450
【解析】解：设该一次函数解析式为y=kx+b，
将(400,10)、(500,0)代入y=kx+b中，
400k+b=10500k+b=0，解得：k=−0.1b=50，
∴该一次函数解析式为y=−0.1x+50．
当y=−0.1x+50=5时，x=450．
故答案为：450
根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程，此题得解．
本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．
16.【答案】9
【解析】解：如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，DE为等腰梯形的高，
过D点作DF/​/AC，交BC的延长线于F点，
根据梯形的中位线定理，得
AD+BC=CF+BC=BF=9×2=18．
∵梯形是等腰梯形，且对角线AC⊥BD，
∴BD=AC=DF，BD⊥DF，
∴△BDF为等腰直角三角形，
∴BD= 22BF=9，
故答案为：9．
能够根据梯形的中位线定理，求得梯形的两底和；再根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了梯形中位线定理、等腰梯形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键．
17.【答案】y=−x+3
【解析】解：当x=1时，y=k+b；当x=2时，y=2k+b，
①当k+b=12k+b=2时，解得k=1b=0，
∴y=x，不合题意，舍去；
②当k+b=22k+b=1时，解得k=−1b=3，
∴y=−x+3；
∴一次函数的解析式为y=−x+3，
故答案为：y=−x+3．
根据定义得出k+b=12k+b=2或k+b=22k+b=1，分别求解即可．
本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义是解题的关键．
18.【答案】 3−1
【解析】解：连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=2，AC⊥BD，AC=2AO，AC平分∠DAB，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAO=12∠DAB=30°，
在Rt△ADO中，DO=12AD=1，AO= 3DO= 3，
∴AC=2AO=2 3，
由旋转得：AD=AE=2，
∴EC=AC−AE=2 3−2，
∴△DEC的面积=12EC⋅DO
=12×(2 3−2)×1
= 3−1，
故答案为： 3−1．
连接BD交AC于点O，根据菱形的性质可得AD=2，AC⊥BD，AC=2AO，AC平分∠DAB，从而可得∠DAO=30°，然后在Rt△ADO中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DO=1，AO= 3，从而可得AC=2 3，再根据旋转的性质可得：AD=AE=2，从而可得EC=2 3−2，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解： x+2= x+1
x+2=x+2 x+1
1=2 x
x=14
【解析】将方程化为 x+2= x+1，然后两边平方即可求出答案．
本题考查无理方程的解法，解题的关键是将无理方程化为整式方程来解答，本题属于基础题型．
20.【答案】解：∵x−y−2=0，
∴x−y=2，
∴(x−y)2=x2+y2−2xy=4，
∵x2+y2=10，
∴10−2xy=4，
∴2xy=6，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=10+6=16，
∴x+y=4或−4，
∴x−y=2x+y=4或x−y=2x+y=−4，
解得x=3y=1或x=−1y=−3．
【解析】先求出x−y的值，根据完全平方公式得出2xy的值，再利用完全平方公式得出x+y的两个值，则可得到两组关于x，y的方程组，即可得解．
此题主要是考查了高次方程的解法，能够熟练运用完全平方公式得出关于x，y的二元一次方程组是解答此题的关键．
21.【答案】(1)DB；DE；
(2)如图，DF即为所求AB+DE．

【解析】
解：(1)DA+DC=DB，
∵AD=BC，
∴AE−BC=AE−AD=DE；
故答案为：DB；DE．
(2)见答案．
【分析】
(1)根据向量的平行四边形法则写出DA+DC即可，根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，然后根据向量的三角形法则求解即可；
(2)根据平行四边形的对边平行且相等可得DC=AB，然后根据向量的平行四边形法则作出以DC、DE为邻边的平行四边形，其对角线即为所求．
本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．
22.【答案】解：设小明骑车的速度是x千米/小时，则汽车的速度是(2x+20)千米/小时，
根据题意得：12x−122x+20=1560，
整理得：x2−14x−480=0，
解得：x1=30，x2=−16，
经检验，x1=30，x2=−16均为所列方程的解，
x1=30符合题意，x2=−16不符合题意，舍去．
答：小明骑车的速度是30千米/小时．
【解析】设小明骑车的速度是x千米/小时，则汽车的速度是(2x+20)千米/小时，利用时间=路程÷速度，结合小明比小智多用了15分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵AD//EF，
∴∠ADP=∠FED，
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADP=∠FDE，
∴∠FDE=∠FED，
∴DF=EF，
在△ADP与△FEP中，
∠ADP=∠FEPPD=PE∠APD=∠FPE，
∴△ADP≌△FEP(ASA)，
∴AD=EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵DF=EF，
∴四边形AEFD是菱形；
(2)∵AD=EF，AD/​/EF，BC=EF，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DF=EF，PD=PE，
∴FP⊥DE，
∵∠EDC=∠EFP，∠CQF=∠DQP，
∴∠DPQ=∠FCQ=90°，
∴∠BCD=90°，
∴四边形ABCD为矩形．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠ADP=∠FED，根据角平分线的定义得到∠ADP=∠FDE，等量代换得到∠FDE=∠FED，求得DF=EF，根据全等三角形的性质得到AD=EF，根据菱形的判定定理即可得到结论；
(2)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到FP⊥DE，求得∠BCD=90°，于是得到四边形ABCD为矩形．
本题考查了菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键
24.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b与x轴正半轴、y轴分别交于点A(a,0)、B(0,6)，
∴OA=a，OB=6，
∵△AOB的面积为9，
∴12OA⋅OB=9，即12a×6=9，
∴a=3，
∴A(3,0)，
把A、B的坐标代入y=kx+b得3k+b=0b=6，
解得k=−2b=6，
∴一次函数为y=−2x+6，
∵一次函数y=−2x+6与双曲线y=mx(x<0)交于点C(c,10)，
∴10=−2c+6，
∴c=−2，
∴m=−2×10=−20；
(2)设P(x,−2x+6)，由正方形的性质可知M(2x−3,−x+3)，
∵点M恰好落在上述双曲线上，
∴(2x−3)(−x+3)=−20，
解得x1=−1，x2=112(舍去)，
∴P(−1,8)．
【解析】(1)利用三角形面积求得A点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，利用一次函数解析式求得点C的坐标，代入y=mx(x<0)即可求得m的值；
(2)设P(x,−2x+6)，由题意可知M(2x−3,−x+3)，代入y=−20x得到关于x的方程，解方程求得x的值，从而求得点P的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示点M的坐标是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵∠A=90°，AB/​/CD，∠ADC=90°，
又∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∵AB/​/CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BE平分∠ABC，∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又AD=AB，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)①解：如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，

∵AB/​/CD，∠A=90°，
∴∠D=90°，
又CF⊥AB，
∴四边形AFCD是矩形，
∵AD=4，
∴CF=AD=4，
在Rt△BCF中，
BF= CB2−CF2= (8 33)2−42=4 33，
取BC的中点G，连接FG，则BG=CG=FG=12BC=4 33，
∴FB=BG=FG，
∴△FBG是等边三角形，
∵sin∠FCB=BFCB=12，
∴∠CBF=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠12ABC=30°；
②当∠ECB=90°时，如图所示，过点B作BG⊥DC交DC的延长线于点G，则四边形ABGD是矩形，

∵∠A=90°，
∴EA⊥AB，
∵BE平分∠ABC，
∴EC=EA，
在Rt△AEB和Rt△CEB中，
AE=CEEB=EB，
∴Rt△AEB≌Rt△CEB(HL)，
∴CB=AB=5，
设DE=x，则EC=AE=AD−DE=4−x，
在Rt△CBG中，
CG= BC2−BG2= 52−42=3，
∴DC=DG−CG=5−3=2，
∴Rt△DCE中，DE2+DC2=EC2，即x2+22=(4−x)2，
解得：x=32，
∴DE=32；
当∠CEB=90°时，如图所示，过点E作EH⊥BC于点H，

设∠BAE=α，则∠EBC=α，
∴∠DEC=180°−90°−∠AEB=90°−(90°−α)=α，
∵EH⊥BC，
∴∠HEB=90°−α，∠CEH=∠CEB−∠HEB=α，
∴∠DEC=∠HEC，
∴EC是∠DEH的角平分线，
∴DC=HC，
在Rt△DEC和Rt△HEC中，
EC=ECDC=HC，
∴Rt△DEC≌Rt△HEC(HL)，
∴DE=EH，
又EB是∠ABC的角平分线，
∴EA⊥AB，EH⊥BC，
∴EH=EA⋅DE=EA=12AD=2，
综上所述当△BEC是直角三角形时，DE的长为2或32．
【解析】(1)根据已知条件得出∠ADB=∠ABD=45°，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出∠ABD=∠CBD=45°，则∠ADC=∠ABC=90°，得出四边形ABCD是矩形，根据AD=AB，即可得出四边形ABCD是正方形；
(2)①如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD是矩形，Rt△BCF中，勾股定理求得BF，取BC的中点，则BG=CG=FG=12BC=4 33，得出△FBG是等边三角形，则∠CBF=60°，根据角平分线的定义，即可求解；②当∠ECB=90°时，如图所示，过点B作BG⊥DC交DC的延长线于点G，则四边形ABGD是矩形，设DE=x，EC=AE=AD−DE=4−x，在Rt△CBG中，勾股定理求得CG，因为Rt△DCE中，DE2+DC2=EC2，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当∠CEB=90°时，如图所示，过点E作EH⊥BC于点H，根据角平分线的性质得出DE=EA=12AD=2，即可求解．
本题考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．