2023年福建省泉州市鲤城区中考数学适应性试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023年福建省泉州市鲤城区中考数学适应性试卷（6月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年福建省泉州市鲤城区中考数学适应性试卷（6月份）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数5，2，0，− 2中，比0小的数是(    )
A. 5 B. 2 C. 0 D. − 2
2. 如所示的四个交通标志图中，为旋转对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 国家统计局2月28日发布的2022年国民经济和社会发展统计公报显示，2022年年末全国人口141175万人，比上年末减少85万人，数据141175万用科学记数法表示为(    )
A. 141175×104 B. 141715×105 C. 1.41115×109 D. 0.14175×1010
4. 如图所示，几何体的主视图是(    )
A.
B.
C.
D.
5. 下列运算正确的是(    )
A. a2⋅a3=a6 B. (a2)3=a6
C. a+a2=a3 D. (a+1)2=a2+1
6. 为了解学生课外阅读情况，某校随机抽取了一个班的50名学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是(    )
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
5
12
10
13
10

A. 10，9 B. 10，13 C. 8，13 D. 8，9
7. 2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是(    )
A. 2(1+x)=6.62 B. 2(1+x)2=6.22
C. 2(1+x)+2(1+x)2=6.62 D. 2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62
8. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则一元一次不等式−kx+b>0的解集为(    )
A. x>−2
B. x<−2
C. x>2
D. x<2
9. 正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为1： 2，则这个多边形的内角和为(    )
A. 720° B. 300° C. 240° D. 180°
10. 已知抛物线y=x2+6ax−a的图象与x轴有两个不同的交点(x1,0)，(x2,0)，且a(1+x1)(1+x2)−3(1−6a−x1)(1−6a−x2)=8x−3，则a的值为(    )
A. a=0 B. a=12 C. a=1 D. a=0或a=12
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 写出一个无理数x，使得−2 12. 因式分解：x2−2xy= ______ ．
13. 一个不透明的口袋中有2个白球，3个红球，1个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个则摸到绿球的概率是______ ．
14. 已知菱形ABCD的周长为24，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD=16，则该菱形的面积等于______ ．
15. 如图A、B是函数y=2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC//x轴，AC//y轴，△ABC的面积记为S，则S=_________

16. 如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点(含边界)，且AD=EB=8，点F在BE上，BF=2，则以下结论正确的是______ ．
①CF的最小值为6；
②DE的最小值为8 2−8；
③CE=CF；
④DE+CF的最小值为10；


三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算： 12−|3−2 3|+(−12)−1．
18. (本小题8.0分)
如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD/​/BE，且AD=BC，BE=AC，求证：CD=EC．

19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−2a)÷a2−4a2+4a+4，其中a= 2．
20. (本小题8.0分)
程大位是明代商人、珠算发明家，在其杰作《算法统宗》(如图)中记载有如下问题：
“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”
译文：
“用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳子比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳子比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？”
(1)请你求出上述问题的解；
(2)若在(1)中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外，第一天向上爬m尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬m尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内(包括第9天)爬出井外，求m至少要为多少尺？

21. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E，∠BAC为锐角．
(1)若AD平分∠BDE，求证：AB=AC；
(2)若BC=2，sin∠BAC=12，求⊙O的周长．

22. (本小题10.0分)
如图，∠ABC=70°，AB=BC．
(1)求作△BCD及∠BCE，满足△BCD为等边三角形，∠BCE=170°，其中AB=CE，点D，E与
点A在BC的同侧；(要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹)
(2)在(1)的条件下，求∠BAE的度数．

23. (本小题10.0分)
设x−是x1，x2，…，xn的平均数，即x−=x1+x2+…+xnn，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+……+(xn−x−)2]，它反映了这组数的波动性．
(1)证明：对任意实数a，x1−a，x2−a，…，xn−a与x1，x2，…，xn方差相同．
(2)证明：S=1n(x12+x22+…+xn2)−x−2．
(3)以下是我校初三(1)班10位同学的身高(单位：厘米)：
169 172 163 173 175 168 170 167 170 171
计算这组数的方差．
24. (本小题12.0分)
已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是AD的中点，点F是AB上的动点，连接FP并延长交CD的延长线于点M，过点P作PE⊥FM，交直线BC于点E，连接EF．
(1)求tan∠PEF的值；
(2)如图2，连接EM，点Q是EM的中点．
①当∠AFP=2∠BEF时，求PQ的长；
②点F从A点运动到B点的过程中，求点Q经过的路径长．


25. (本小题14.0分)
已知抛物线y=ax2+bx−4过点A(−2,0)，B(4,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线在第一象限上的点，点N是抛物线对称轴上的点，当MN=BN，∠MNB=2∠ACO时，求点M的坐标；
(3)点P，Q为抛物线上异于点A的两点，且AP⊥AQ，连接PQ，过点A作AD⊥PQ，垂足为D.求证：平面上存在一点E，使得DE的长度为定值．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：由题意知，− 2<0<2<5，
故选：D．
根据负数比0小得出结论即可．
本题主要考查实数大小的比较，熟练掌握负数比0小是解题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：只有选项D旋转120°与原图形重合，
故选：D．
根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可．
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．

3.【答案】C 
【解析】解：141175万=1411750000=1.41115×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】A 
【解析】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：A．
从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

5.【答案】A 
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，错误，不合题意；
B、(a2)3=a6，正确，符合题意；
C、a与a2不是同类项，不能合并，错误，不合题意；
D、(a+1)2=a2+2a+1，错误，不合题意．
故选：A．
根据同底数幂相乘，底数不变指数相加判断A即可；根据幂的乘方，底数不变指数相乘判断B即可；根据同类项的概念进行判断C即可；根据完全平方公式进行判断D即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：因为全班抽取了5+12+10+13+10=50人，所以一共有50个数据，
且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据都是8，8，所以这一组数据的中位数是8+82=8，
这一组数据中出现次数最多的是9，所以众数是9．
故选：D．
根据众数与中位数的定义可以直接得到答案．
本题主要考查了众数和中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是关键．

7.【答案】D 
【解析】解：∵某电影上映的第一天票房为2亿元，且平均每天票房的增长率为x，
∴该电影上映的第二天票房为2(1+x)亿元，第三天票房为2(1+x)2亿元．
根据题意得：2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62．
故选：D．
根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出该电影上映的第二天票房为2(1+x)亿元，第三天票房为2(1+x)2亿元，结合三天累计票房为6.62亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：根据图示知：一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为(−2,0)，且y随x的增大而增大；
即当x≥−2时函数值y的范围是y≥0；
因而当不等式kx+b>0时，x的取值范围是x>−2．
一元一次不等式−kx+b>0的解集为x<2．
故选：D．
由图知：①当x<−2时，y<0；②当x≥−2时，y≥0；因此当y>0时，x>−2；由此可得解．
本题主要考查的是关于一次函数与一元一次不等式的题目，在解题时，认真体会一次函数与一元一次不等式(组)之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：如图，设AB是正多边形的一边，O为正多边形的内切圆与外接圆的圆心，OC⊥AB于C，
∵正多边形的内切圆与外接圆的半径之比1： 2，
∴OC：OA=1： 2，
在Rt△AOC中，cos∠AOC=OC：OA=1： 2，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOB=2∠AOC=90°，
则正多边形边数为：360°÷90°=4．
∴正方形的内角和为360°，
故选：B．
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB于C，由锐角三角函数定义求得∠AOC=45°，从而求得中心角的度数，再利用360°除以中心角的度数，即可求正多边形边数，进而可以解决问题．
本题考查正多边形和圆，多边形的内切圆与外接圆，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质．

10.【答案】B 
【解析】解：由Δ=36a2+4a>0，得a>0或a<−19，
当x=−1时，y=1−7a，
当x=1−6a时，y=1−7a，
∵a(1+x1)(1+x2)−3(1−6a−x1)(1−6a−x2)=8x−3，
∴a1−7a−31−7a=8a−3，
解得a=12或0(舍去)．
故选：B．
先由判别式得出a的取值范围，再根据题意分别取x=−1和x=1−6a代入函数表示即可求解．
本题考查二次函数与x轴的交点，理解函数与方程的关系是解题关键．

11.【答案】− 2(答案不唯一) 
【解析】解：∵无理数的三种形式为：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
∴只要写出一个满足条件的x即可，比如：− 2．
故答案为：− 2(答案不唯一)．
从无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，根据无理数的定义写一个无理数，满足−2 本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解题的关键．

12.【答案】x(x−2y) 
【解析】解：原式=x(x−2y)．
故答案为：x(x−2y)．
原式提取公因式即可．
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

13.【答案】16 
【解析】解：根据题意可得：不透明的口袋中有2个白球，3个红球，1个绿球，共6个，
从袋子中随机摸出1个球，则摸到绿球的概率是16．
故答案为：16．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．
此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．

14.【答案】28 
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AD=AB=6，
∵AC+BD=16，
∴AO+BO=8，
∴AO2+BO2+2AO⋅BO=64，
∵AO2+BO2=AB2，
∴AO⋅BO=14，
∴菱形的面积=4×三角形AOD的面积=4×12×14=28，
故答案为：28．
首先根据题意求出AD的长度，然后利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO⋅BO的值，最后结合三角形的面积公式即可求出答案．
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是利用菱形的性质以及勾股定理的知识求出AO⋅BO的值．

15.【答案】4 
【解析】解：如图，连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E．
∵A、B两点关于原点对称，BC/​/x轴，AC/​/y轴，
∴AC⊥x轴，AD=CD，OA=OB，
∴S△COD=S△AOD=12×2=1，
∴S△AOC=2，
∴S△BOC=S△AOC=2，
∴S△ABC=S△BOC+S△AOC=4．
故答案为：4．
连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E.首先由反比例函数y=kx的比例系数k的几何意义，可知△AOD的面积等于12|k|，再由A、B两点关于原点对称，BC/​/x轴，AC/​/y轴，可知S△AOC=2×S△AOD，S△ABC=2×S△AOC，从而求出结果．
本题主要考查了三角形一边上的中线将三角形的面积二等分及反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=12|k|．

16.【答案】①②④ 
【解析】解：在BC上截取BG=BF，连接BE，CE，BD，

∵四边形ABCD是正方形，AD=8，
∴BC=AD=8，BD=8 2，
∵BF=BG=2，
∴CG=BC−BG=6，
∵EB=8，BF=2，
∴点E在以B为圆心，8为半径的圆上运动，点F在以B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴当点F在BC上时，CF有最小值为6，当点E在BD上时，DE有最小值为8 2−8，故①②正确；
在△BGE和△BFC中，
BG=BF∠EBG=∠CBFBE=BC，
∴△BGE≌△BFC(SAS)，
∴CF=EG，
当E，G，D三点共线时，DE+CF取得最小值，最小值为DG的长，
∴DG= CD2+CG2= 64+36=10，
∴故DE+CF的最小值为10，故④正确；
当点F在BC上时，CF有最小值为6，此时CE=0，
∴CE与CF不一定相等，故③正确；
故答案为：①②④．
由题意可得点E在以B为圆心，8为半径的圆上运动，点F在以B为圆心，2为半径的圆上运动，则当点F在BC上时，CF有最小值为6，当点E在BD上时，DE有最小值为8 2−8，故①②正确；由“SAS”可证△BGE≌△BFC，可得CF=EG，则当E，G，D三点共线时，DE+CF取得最小值，最小值为DG的长，由勾股定理可求DG的长，可判断④正确；即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

17.【答案】解：原式=2 3−(2 3−3)+(−2)
=2 3−2 3+3−2
=1． 
【解析】依据题意，分别根据二次根式的性质、绝对值的性质及负整数指数幂的性质进行计算即可得解．
本题主要考查了实数的性质，解题时要熟练掌握并准确计算．

18.【答案】证明：∵AD/​/BE，
∴∠A=∠B，
在△ADC和△BCE中，
AD=BC ∠A=∠B AC=BE ，
∴△ADC≌△BCE(SAS)，
∴CD=EC． 
【解析】由平行线的性质可知∠A=∠B，结合条件可证明△ADC≌△BCE，故可得出CD=EC．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

19.【答案】解：原式=a−2a⋅(a+2)2(a+2)(a−2)
=a+2a．
当a= 2时，
原式= 2+2 2=1+ 2． 
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，在解答此题时要注意通分及约分的灵活应用．

20.【答案】解：(1)设绳子长x尺，井深y尺，
根据题意得：13x−y=514x−y=1，
解得：x=48y=11．
答：绳子长48尺，井深11尺；
(2)根据题意得：5m−2×4≥11，
解得：m≥3.8．
答：m至少要为3.8尺． 
【解析】(1)设绳子长x尺，井深y尺，根据“将绳子折成三等份，一份绳子比井深多5尺；将绳子折成四等份，一份绳子比井深多1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)根据题意可知：9天里5天上爬，4天下滑，结合井深11尺，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

21.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠EDA=∠ABC，
又∵∠BDA=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
(2)解：如图，过点C作直径，交⊙O于点F，连接BF，则∠FBC=90°，∠F=∠BAC，
在Rt△FBC中，BC=2，sin∠BAC=12=sin∠F=BCFC，
即2FC=12，
∴FC=4，
即圆的直径为4，
所以圆的周长为4π． 
【解析】(1)根据角平分线的定义，圆周角定理以及圆内接四边形的性质可得到∠ABC=∠ACB，再根据等腰三角形的判定方法即可得出答案；
(2)通过作直径，利用圆周角定理构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行解答即可．
本题考查圆周角定理，角平分线的定义，解直角三角形以及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的边角关系以及圆内接四边形的外角等于它的内对角是正确解答的前提．

22.【答案】解：(1)如下图：△BCD及∠BCE即为所求；
(2)连接AD，DE，BE，
则AB=BD=BC=CD=CE，
∵∠ABD=10°，∠A=∠ADB=85°，∠CDE=∠CED=35°，
∴∠ADE=∠ADB+BDC+∠CDE=180°，
∴A，D，E三点共线，
∴∠BAE=∠A=85°． 
【解析】(1)先跟等腰三角形的性质作等边三角形，再根据作角等腰已知的基本作法作图；
(2)根据等腰三角形的性质求解．
本题考查了复杂作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设x1，x2，…，xn的平均数是x−，方差为S2，x1−a，x2−a，…，xn−a的平均数为x′−，方差为S′2，
则x′−=1n[(x1−a(+(x2−a)+…+(xn−a)]=x−−a,
∴S′2=1n{[(x1−a)−x′−]2+[(x2−a)−x′−]+…+[(xn−a)−x′−]
=1n{[(x1−a)−(x−−a)]2+[(x2−a)−(x−−a)]2+…+[(xn−a)−(x−−a)]2}
=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2]
=S2；
(2)S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+……+(xn−x−)2]
=1n[(x12+x22+…+xn2)−2(x1+x2+…+xn)x−+nx−2]
=1n(x12+x22+…+xn2)−2×x1+x2+…+xnn⋅x−+x−2
=1n(x12+x22+…+xn2)−2x−2+x−2
=1n(x12+x22+…+xn2)−x−2；
(3)由(1)得，将这10个数都减去170得：−1，2，−7，3，5，−2，0，−3，0，1；
则x−=0.2，
再由(2)得，S2=10.16． 
【解析】(1)设x1，x2，…，xn的平均数是x−，方差为S2，x1−a，x2−a，…，xn−a的平均数为x′−，方差为S′2，根据方差公式即可得到结论；
(2)根据方差公式计算即可；
(3)根据(1)、(2)的结论计算即可．
本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+……+(xn−x−)2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．

24.【答案】解：(1)如图1，作PG⊥BC于点G，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=6，点P是AD的中点，
∴∠A=∠B=∠PGB=90°，PA=PD=12AD=3，
∴四边形ABGP是矩形，
∴PG=AB=4，∠APG=90°，
∵PE⊥FM，交直线BC于点E，
∴∠FPE=90°，
∴∠APF=∠GPE=90°−∠FPE，
∵∠A=∠PGE=90°，
∴△APF∽△GPE，
∴tan∠PEF=PFPE=PAPG=34，
∴tan∠PEF的值是34．
(2)①如图2，作EF的垂直平分线KN交BE于点N，连接FN，则EN=FN，
∴∠BEF=∠NFE，
∴∠BNF=∠BEF+∠NFE=2∠BEF，
∵∠AFP=2∠BEF，
∴∠AFP=∠BNF，
∴∠AFP+∠BFN=∠BNF+∠BFN=90°，
∴∠NFP=∠EPM=90°，
∴FN//PE，
∴∠BEF=∠NFE=∠PEF，
∵BF⊥EB，PF⊥EP，
∴BF=PF，
∵AP2+AF2=PF2，AF=4−BF=4−PF，
∴32+(4−PF)2=PF2，
解得PF=258，
设PF=3m，则PE=4m，
由3m=258得m=2524，
∴FE= PF2+PE2= (3m)2+(4m)2=5m=5×2524=12524，
∵AF/​/DM，
∴PFPM=PAPD=1，
∴PF=PM，
∵点P是FM的中点，点Q是EM的中点，
∴PQ=12FE=12×12524=12548，
∴PQ的长是12548．
②如图3，作PG⊥BC于点G，连接AG、PC，取PC的中点I，连接IQ，
∵BC=AD=6，GB=PA=3，
∴CG=BC−GB=6−3=3=AP，
∵CG//AP，
∴四边形APCG是平行四边形，
∴PC//AG，
∴∠DPI=∠PAG，
∵PFPE=PAPG，
∴PFPA=PEPG，
∴△PFE∽△PAG，
∴∠PFE=∠PAG，
∴∠DPI=∠PFE，
∵∠MPQ=∠PFE，
∴∠DPI=∠MPQ，
∴∠DPI−∠DPQ=∠MPQ−∠DPQ，
∴∠IPQ=∠DPM=∠APF，
∵PC=AG= PA2+PG2= 32+42=5，
∴PI=12PC=12×5=52，
∴PIPA=523=56，
∵FEPF=53，FE=2PQ，
∴2PQPF=53，
∴PQPF=56=PIPA，
∴△PIQ∽△PAF，
∴∠PIQ=∠PAF=90°，
∴点Q在线段PC的垂直平分线点上运动，
延长IQ、PD交于点L，当点F从点A运动到点B，则点Q从点I运动到点L，
∵ILPI=tan∠DPI=tan∠PAG=PGPA=43，
∴IL=43PI=43×52=103，
∴点Q经过的路径长是103． 
【解析】(1)作PG⊥BC于点G，由四边形ABCD是矩形，点P是AD的中点，得∠A=∠B=∠PGB=90°，PA=PD=12AD=3，可证明△APF∽△GPE，则tan∠PEF=PFPE=PAPG=34；
(2)①作EF的垂直平分线KN交BE于点N，连接FN，则∠BEF=∠NFE，所以∠BNF=2∠BEF，则∠AFP=∠BNF，可证明∠NFP=∠EPM=90°，则FN//PE，所以∠BEF=∠NFE=∠PEF，则BF=PF，由勾股定理得32+(4−PF)2=PF2，求得PF=258，则FE=12524，再证明PF=PM，则PQ=12FE=12548；
②作PG⊥BC于点G，连接AG、PC，取PC的中点I，连接IQ，可证明PC//AG，则∠DPI=∠PAG，再证明△PFE∽△PAG，得∠PFE=∠PAG，可推导出∠DPI=∠MPQ，则∠IPQ=∠DPM=∠APF，再证明△PIQ∽△PAF，则∠PIQ=∠PAF=90°，可知点Q在线段PC的垂直平分线上运动，延长IQ、PD交于点L，当点F从点A运动到点B，则点Q从点I运动到点L，由ILPI=tan∠DPI=tan∠PAG=PGPA=43，求得IL=43PI=103，则点Q经过的路径长是103．
此题重点考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．

25.【答案】(1)解：设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(x−4)，过点C(0,−4)，
∴−4=a⋅2×(−4)，
∴a=12，
∴y=12(x+2)(x−4)=12x2−x−4；
(2)解：如图1，

作ND⊥BM于D，作DE⊥x轴于E，
∴∠NDB=90°，
∵MN=BN，
∴BD=DM，∠MNB=2∠BND，
∵∠NFB=90°，
∴∠NDB+∠NFB=90°，
∴点N、F、B、D共圆，
∴∠DFE=∠BND，
∵∠MNB=2∠ACO，
∴∠DFE=∠ACO，
∴tan∠DFE=tan∠ACO，
∴DEEF=OAOC=12，
∴EF=2DE，
设M(t,12t2−t−4)，
∴D(t+42,12t2−t−42)，
∴DE=12t2−t−42，EF=t+42−1=t+22，
∴t+22=12t2−t−4，
∴t1=5，t2=−2(舍去)，
当t=5时，y=12×(5+2)×(5−4)=72，
∴M(5,72)；
(3)证明：如图2，

作PF/​/x轴，作AF⊥PF于F，作QH⊥AF于H，
∴∠F=∠H=90°，
∴∠APF+∠PAF=90°，
∵AP⊥AQ，
∴∠PAQ=90°，
∴∠PAF+∠QAH=90°，
∴∠APF=∠QAH，
∴△APF∽△QAH，
∴PFAF=AHHQ，
设P(m,12m2−m−4)，Q(n,12n2−n−4)，
∴m+212m2−m−4=−(12n2−n−4)n+2，
∴(m−4)(n−4)=−4，
∴mn=4(m+n)−20，
设PQ的解析式为：y=kx+b，
∴km+b=12m2−m−4kn+b=12n2−n−4，
∴k=12(m+n)−1b=−12mn−4，
∴y=[12(m+n)−1]⋅x−12mn−4x−12mn−4=[12(m+n)−1]x−12[4(m+n)−20]=[12(m+n)−1]x−2(m+n)+6，
∴当x=4时，y=2，
∴直线PQ过定点I(4,2)，
∵∠ADI=90°，
∴点D在以AI的中点E为圆心，AI为半径的圆上运动，
∵A(2,0)，I(4,2)，
∴AI=2 5，
∴DE=12AI= 5． 
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)作ND⊥BM于D，作DE⊥x轴于E，可得出∠NDB+∠NFB=90°，从而点N、F、B、D共圆，从而得出∠DFE=∠BND=∠ACO，从而tan∠DFE=tan∠ACO，故DEEF=OAOC=12，得出EF=2DE，设M(t,12t2−t−4)，可表示出D(t+42,12t2−t−42)，故DE=12t2−t−42，EF=t+42−1=t+22，从而得出t+22=12t2−t−4，求得t的值，进一步得出结果；
(3)作PF/​/x轴，作AF⊥PF于F，作QH⊥AF于H，可证得△APF∽△QAH，从而得出PFAF=AHHQ，设P(m,12m2−m−4)，Q(n,12n2−n−4)，从而得出m+212m2−m−4=−(12n2−n−4)n+2，于是mn=4(m+n)−20，设PQ的解析式为：y=kx+b，代入P，Q两点坐标，可求得y=[12(m+n)−1]⋅x−12mn−4x−12mn−4=[12(m+n)−1]x−12[4(m+n)−20]=[12(m+n)−1]x−2(m+n)+6，于是得出直线PQ过定点I(4,2)，根据∠ADI=90°得出点D在以AI的中点E为圆心，AI为半径的圆上运动，进一步得出结果．
本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是求出直线PQ过定点．